关于分裂四元数及其矩阵的共轭相似性探讨

谢克莱·热不哈提，邓 勇，b

（喀什大学a.数学与统计学院；b.现代数学及应用研究中心，新疆喀什 844000）

0 引言

众所周知，Hamilton 于1843 年引入了实四元数，它可表示为H={q=q0+q1i+q2j+q3k:ql∈R,l=0,1,2,3}，其中：i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j.由上述乘法规则可知，实四元数环是一个乘法非交换环，这将导致交换环中的许多良好性质丧失.基于此，研究实四元数矩阵的障碍之一归结为实四元数乘法的非交换性[1].目前，已有很多关于实四元数矩阵的研究.例如，文献[2]讨论了实四元数矩阵的右特征值；黄礼平[3，4]给出了实四元数矩阵的左特征值、共轭相似性和基于共轭相似的Jordan 标准形；姜同松等[5]研究了基于共轭相似的实四元数矩阵的对角化问题和两种计算方法.

继Hamilton 之后，在1849 年，James Cocker 利用实四元数又定义了分裂四元数.同样，分裂四元数环的乘法也非交换，而且包含零因子、幂零元和非平凡的幂等元[6].由于Lorentz 关系可用分裂四元数表示，所以其应用非常广泛，包括几何和物理意义[7].此外，Erdoğdu 和Özdemir 利用分裂四元数矩阵的复表示，得到了其特征值的计算方法，并推广了Gerschgorin定理[8，9].

1 分裂四元数的共轭相似性

设R 是实数域，C=R⊕Ri是复数域，HS=R⊕Ri⊕Rj⊕Rk表示实分裂四元数环，其中

令q=q0+q1i+q2j+q3k∈HS，其共轭和范数分别定义为q=q0-q1i-q2j-q3k和定义q∈HS的左、右表示Rq和Lq分别为Lq：HS→HS，Lq(x)=qx和Rq：HS→HS,Rq(x)=xq.对分裂四元数q=q0+q1i+q2j+q3k∈HS，映射

是HS到矩阵代数M4(R)上的同构[10]，称L(q)为q∈HS的左矩阵表示.同样，q∈HS的右矩阵表示可定义为

定理1.1[10]设p,q∈HS，λ∈R，则有

定义1.1分裂四元数a,b称为相似，如果存在可逆的p∈HS，使得a=pbp-1，记作a ∼b.

显然，相似的两个分裂四元数有相同的范数.此外，分裂四元数的相似关系∼是等价关系.一般地，对∀a,b∈HS，因不是HS上的等价关系.为此，需重新定义分裂四元数的共轭相似性.

定义1.2设a=a0+a1i+a2j+a3k∈HS，称=jaj=a0-a1i+a2j-a3k为a的j-共轭.

容易验证：对∀a,b∈HS，有

定义1.3分裂四元数a，b称为共轭相似，如果存在可逆的p∈HS，使得，记作a～cb.

定理1.2对∀a,b,c∈HS，共轭相似关系～c满足:

（1）a～ca(自反性)；（2）若a～cb，则b～ca(对称性)；（3）若a～cb且b～cc,则a～cc(传递性).

因此，共轭相似关系～c是HS上的等价关系.

证明：（1）自反性.对∀a∈HS，因故～c自反.

定理1.3[11]设a=a0+a1i+a2j+a3k∈HS，b=b0+b1i+b2j+b3k∈HS，且Ia,Ib>0 (或Ia,Ib<0).方程ax=xb有非零范数解x=x0+x1i+x2j+x3k∈HS⇔‖a‖=‖b‖.在方程有解时，若a+b ≠0，则其 有解x=λ(a+b) (λ∈R)；若a+b=0，则其解x满足a0x0-a1x1+a2x2+a3x3=0.

定理1.4[11]设a∈HS且‖a‖≠0.若a ∉R，则二次方程x2=a有两个分裂四元数解：

2 分裂四元数矩阵的共轭相似性

我们知道，对A,B∈Cn×n，若存在复可逆矩阵P，使得，则称它们复共轭相似.容易验证，复共轭相似关系是Cn×n上的等价关系.分裂四元数在Lorentz 空间的微分几何和结构理论中占有重要地位，而对A,B∈，根据定理2.1，由于AB ≠BA，(AB)T ≠BT AT，所以映射A→PAP-1不是上的等价关系.因此，有必要给出分裂四元数矩阵共轭相似的新定义.

故定理得证.

（1）A～c A(自反性)；（2）若A～cB，则B～c A(对称性)；（3）若A～cB，B～cC，则A～cC(传递性).因此，～c是上的等价关系.

显然，若A∈Cn×n，因，故分裂四元数的共轭相似是复共轭相似的自然扩展.

定理2.4设A,B∈，A～cB⇔jA～jB⇔Aj～Bj⇔jA～Bj.

证明A～cB⇔存在可逆的P∈，使得AP-1=jPjAP-1=B.因此，A～cB⇔PjAP-1=jB⇔jA～jB.此 外，由j-1jAj=Aj，可 知jA～Aj，同 理，jB ∼Bj.综上可得，jA ∼jB⇔Aj ∼Bj⇔jA～Bj.

众所周知，若x∈(x ≠0)，λ∈HS满足Ax=xλ(Ax=λx)，则称x是A的一个特征向量，λ称为A的右(左)特征值.或者，称x是对应于右(左)特征值λ的特征向量.由定义2.2同样有

定理2.6设A∈，λ0∈HS.λ0是A的共轭右特征值⇔jλ0是jA的右特征值⇔λ0j是Aj的右特征值.

证明设λ0是A的共轭右特征值，即∃0 ≠x∈，使得

是Aj的右特征值；

同样，

是jA的右特征值.

定义2.4[11]设称2n× 2n阶矩阵为A的复伴随矩阵，用χA表示.

利用定义2.4 容易证明：A∈可由复矩阵A∈C2n×n唯一确定.

引入符号≅，于是

因此，A,B∈的乘法可以借助普通矩阵的乘法AB≅(χB)T A来表示.

定理2.7[11]设A,B∈H n×nS，则有：

（1）χA+B=χA+χB；（2）χAB=χA χB；（3）若A可逆，则(χA)-1=χA-1；（4）一般地≠(χA)*成立.

是χA的共轭特征值集合.

证明设若λ∈C是A的共轭右特征值，故，使得，即

这两个方程可写成矩阵形式

因此，A的复共轭右特征值等价于其伴随矩阵χA的共轭特征值，即

3 分裂四元数矩阵的实表示

因此，A∈的实矩阵可表示为

即它可由实矩阵A∈R4m×n唯一确定.

引入符号≅，于是

定理4.1在分裂四元数矩阵环中，下列恒等式成立：

其中

证明（1）—（5）恒等式很容易证明，这里只证明（6）.

（6）设A∈，λ∈C 是A的共轭右特征值.于是，∃0≠x∈，使得=xλ，将其写成φA x=xλ.因此，A∈的复共轭右特征值等价于φA的特征值[12]，即(A) ⋂C=σ(φA).