构造微分方程组的线性哈密顿结构

吴 俊，章 海

（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）

在经典力学中，有限自由度的力学系统运动方程通常可以表示为拉格朗日量L=T-U的欧拉-拉格朗日方程，其中，T表示动能，U表示势能。运动方程也可以用哈密顿方程形式表示，即={f,H}，其中，f是相空间上的任意不显含时间的函数，{,}是泊松括号，H是系统的哈密顿量，常对应于系统的总能量，但也有反例[1-2]。哈密顿量通常可通过勒让德变换从拉格朗日量获得。一个给定的力学系统有无穷多个哈密顿量，它们不需要从拉格朗日量推导出。对于每一个选定的哈密顿量，都有无穷多个泊松括号使得哈密顿正则方程等价于系统的原始运动方程[3-5]。

本文展示了辛结构在构造微分方程的哈密顿结构中的应用，对于给定的守恒量可以当作哈密顿量，且通过求解辛结构满足的充分必要方程可以得到适当的辛结构，进而可以构造出系统的一组正则变量，从而得到力学系统的新的哈密顿量。利用勒让德变换得到系统拉格朗日量，从而把原始微分方程表示为变分问题的欧拉-拉格朗日方程。Torres del Castillo在哈密顿系统专著[6]中阐述了辛结构与哈密顿正则变换的密切关系，[7]研究了可积哈密顿系统辛积分算法的数值不变环面。

本文具体介绍了辛结构及其性质，揭示了辛结构和哈密顿函数之间的密切关系；同时考虑了四类具体的微分方程，在知道守恒量后寻找适配的辛结构和正则变量，从而得到系统的哈密顿表示和拉格朗日表示。此外，对于几个可积系统，本文推导了额外守恒量在正则坐标下的表达式。

1 辛结构和哈密顿函数

自由度为n的系统可由广义坐标q=(q1,q2,q3…,qn)和广义动量p=(p1,p2,p3…,pn)来描述，这些变量的全体构成了系统的相空间{(q,p) }。通常相空间是位形空间M={q}的余切从T*M[6]。在T*M上坐标(q,p)下，β=dpi∧dqi为T*M上的一个辛形式，于是T*M具有一个辛结构，其中(T*M,β)为辛流形。正则变换保持相空间的辛形式不变[8-11]。在正则坐标下，哈密顿方程形式如

式中H为力学系统的哈密顿函数。如果（1）式右侧不显含时间，那么可以假设函数H不明显地依赖于时间，则利用方程式（1）和求导的链式法可得=0，可见H是系统的一个守恒量。

类似地，对于任意可微函数f=f(qi,pi)，有

这里{ ·,· }是泊松括号。如果xμ(μ=1,2,3,…,2n)是相空间的任意坐标系，则两个任意函数f和g的泊松括号表示如

泊松括号满足Jacobi恒等式，即对于相空间上任意函数φ,ψ,χ，有

通过方程（2）和（3）可得

从方程（4）可以看出，τμν是一个反对称矩阵，即τμν=-τνμ，必须服从非线性偏微分方程（5）。若取坐标为正则坐标(x1,x2,x3,…,x2n)=(q1,q2,q3,…qn,p1,p2,p3,…,pn)，则矩阵

为标准辛矩阵，其中I是n阶单位矩阵，此时方程（5）也成立。另一方面，根据达布定理，如果τμν是一个满足方程（5）的非奇异反对称矩阵，则存在正则坐标使得τμν具有（7）的形式[12]。如果2n×2n矩阵(τμν)可逆，其逆矩阵(ωμν)也是一个反对称可逆矩阵，则方程（5）等价于下列偏微分方程：

任何满足这些条件的矩阵(ωμν)都是一个辛结构，则哈密顿方程等价于

在力学中，通常可以借助于勒让德变换来实现由力学系统的拉格朗日量得到系统的哈密顿量。换一种观点看，力学系统的一个守恒量可以当作哈密顿函数，再适当地定义泊松括号即辛结构，就可以得到系统的哈密顿表示。进一步可以构造系统在这种辛结构下的共轭正则变量，并用正则变量来表示系统的哈密顿量和拉格朗日量。

2 构造四维系统的线性哈密顿结构

2.1 中心力场中的粒子

考虑微分方程

其中，ε是任意常数，V(x)是任意可微函数。取相空间上的函数

其使用了演化方程（10）。通过观察发现上述方程的一组特解为

上述常值解亦满足条件（8）中的偏微分方程。此外，对于任意的ε值，由方程（13）给出的反对称矩阵(ωμν)是非退化的，计算得到它的逆矩阵是

这意味着在原坐标下所有不为零的泊松括号是

从而也可以得到系统（10）的变分表示。通过勒让德变换，系统（10）的拉格朗日函数是

将上述拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程，即可得到方程（10）的等价运动方程。

2.2 坐标分离型系统

考虑运动方程（ε是任意常数）：

物理上这是双摆系统的运动方程。取函数

通过观察可以得到上述方程的一组特解：

其也满足方程（8）中的偏微分方程。由方程（19）给出的反对称矩阵(ωμν)是非退化矩阵，其逆矩阵是

可见在相空间坐标下所有不为零的泊松括号为

显然(x,y,px,py)不是辛结构(ωμν)的正则坐标。可以验证下述这组变量：

构成辛结构(ωμν)的正则坐标，其中Q1和P1，Q2和P2分别是两对共轭变量。在正则坐标下哈密顿量（17）表示为H=-εP1P2-cos2πQ1-cos2πQ2。

通过勒让德变换可推得相应的拉格朗日量，即

将L代入欧拉-拉格朗日方程，即可得到原方程（16）。

2.3 具有四次多项式势能的系统

考虑下述带有四个任意参数的微分方程组：

其中a，b，c，ε是任意参数。取函数

可验证此函数H是方程的一个守恒量。同样设(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py)，则方程（9）即为

通过观察，可知上述方程有一组特解为

其自然满足方程（8）。对于任意的ε值，反对称矩阵(ωμν)非退化，其逆矩阵是

2.4 一个具有超越守恒量的可积系统

考虑方程（ε是任意常数）：

同样记变量(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py)，根据方程（9）可以得

上述方程有一组特解ω12=0，ω13=-，ω14=-，ω23=-，ω24=0，ω34=0，这组解也满足方程（8）。反对称矩阵(ωμν)非退化，其逆矩阵为

由此得到相空间坐标下不为零的泊松括号是{x,py}=2，{y,px}=3，{y,py}=-ε，显然(x,y,px,py)不是辛结构(ωμν)的正则坐标，变量Q1=x，Q2=y，P1=构成一组正则坐标。利用它们可以将方程（26）的哈密顿量表达为

方程（26）的哈密顿量（27）属于常规的动能加势能类型，即自然型系统。此系统超可积，具有两个额外守恒量，只能用抛物柱面函数来表示。对于方程[14]y″(x)+=0，两个独立标准解是朗斯基行列式W+(a,x)，W-(a,x)=W+(a,-x)，其中W+和W-的朗斯基行列式等于1，方程中的W′+表示对px的微分，E表示哈密顿函数H。它的两个额外守恒量是

同样可利用上述定义的辛结构的正则坐标来表示系统（26）的额外守恒量，即（28）和（29）的守恒量

3 结论

ROUBTSOV等[15]和HOLM[16]介绍了泊松结构和辛结构、矩映射、哈密顿作用，还讨论了相空间约化和泊松-李结构，这些与可积系统都有密切联系。给定一个n自由度的力学系统，至少存在(2n-1)个独立的（局部）运动积分。本文对几类运动方程寻找首次积分，适当定义相空间的辛结构，并得到系统的哈密顿量。然后通过勒让德变换找到系统的拉格朗日量，本文方法构造系统的辛结构是关键，辛结构要满足复杂的偏微分方程组（8）。这组方程的制约是研究工作的难点，也是今后进一步调查研究的一个方向。