一类非线性复微分差分方程超越整函数解的性质

廖志华，付雨欣，蒋业阳

（江西科技师范大学大数据科学学院，江西 南昌 330038）

1 前言

复分析是一个有着众多分支的研究领域，对复微分差分方程解的研究是复分析中的一个重要的课题[1]。上世纪20 年代，芬兰数学家R.Nevanlinna从Possion-Jessen 公式出发，通过研究复平面上亚纯函数零点、极点的多少和模增长快慢等问题，引进了均值函数、计数函数和特征函数，得到了两个重要的基本定理，并由此建立了Nevanlinna 值分布理论[2，3]。

近二十年来，随着Nevanlinna 值分布理论差分模拟的建立，特别是Halburd-Korhonen[4]以及Chiang-Feng[5]等关于对数导数引理差分模拟以及差分计数函数和差分特征函数相关结论的建立，复差分方程亚纯解的研究取得了非常多的成果，并进一步拓展到了复微分差分方程亚纯解的研究领域[6-14]。

本文中的m（r，f）、N（r，f）、N（r，1/f）、T（r，f）分别表示亚纯函数f 的均值函数、极点计数函数、零点计数函数和特征函数[2，3]。σ（f）、λ（f）、λ（1/f）、σ2（f）分别是f 的增长级、零点收敛指数、极点收敛指数和超级[1]。S（r，f）是满足S（r，f）＝O（log r（T（r，f）））的一个变量，至多除去一个有穷对数测度集。若一个亚纯函数g 满足T（r，g）=S（r，f），则称g 是f 的小函数[3]。

有穷级指数型多项式函数被定义为：

其中Pj、αj（j=1，2，…，k）是关于z 的多项式。另外，简单指数型多项式被定义为：

2010 年，Laine 和Yang[13]研究了非线性复域微分差分方程fn+L（z，f）=h（z）的有穷级整函数解，其中n≥2，h（z）是一个不恒等于零的亚纯函数。L（z，f）是一个关于f 的线性微分差分多项式，其系数是关于f的小函数。特别地，如果L（z，f）退化成q（z）f（z+1），则非线性复域差分方程f（z）2+q（z）f（z+1）=P（z）将不存在有穷级超越整函数解，其中q（z）和P（z）是一般多项式。2012 年，Wen 等[14]将q（z）换成q（z）eQ（z），即考虑方程fn（z）+q（z）eQ（z）f（z+c）=P（z），其中P（z），q（z）是多项式且q（z）≢0，并且Q（z）是一个非常数多项式。他们证明了该方程的超级σ2（f）＜1 的亚纯函数解都是整函数，并且得到了定理1.A：

定理1.A[14]若q（z）、P（z）、Q（z）是多项式，且Q（z）不是一个常数，q（z）≢0，以及n≥2，那么对于方程fn（z）+q（z）eQ（z）f（z+c）=P（z）的每个有穷级整函数解满足：

（i）每个解f 满足σ（f）=deg（Q（z）），并且是正规型；

（ii）每个解f 满足λ（f）=σ（f）当且仅当P（z）≢0；

（iii）每个解f 属于Γ0当且仅当P（z）≡0；特别地，这是n≥3 的情形；

（iv）如果一个解f∈Γ0，并且g 是该方程的任意一个有穷级的超越整函数解，那么f=ηg，其中ηn-1=1；

（v）如果f 是一个形如（1.1）的指数型多项式解，那么f∈Γ1。进一步，如果f∈Γ1Γ0，那么σ（f）=1。

2016 年，刘凯[9]进一步考虑了下列非线性复微分差分方程

的超越整函数解，得出了与定理1.A 类似的结果。

很自然地，若将方程（1.2）中的单项f（k）（z+c）推广为多项和时，新方程的超越整函数解f 的性质又将如何？事实上，本文研究了

得到了下面的结论：

定理1 在方程（1.3）中，若q（z）≢0，Q（z）、ai（z）、P（z）是多项式，其中Q（z）不是常数，k≥1 以及n≥2，那么方程（1.3）的有穷级超越整函数解f 满足：

（i）σ（f）=deg（Q（z）），并且它是正规型；

（ii）λ（f）=σ（f）当且仅当P（z）≢0。

可以得到下面的结论。

定理2 在方程（1.4）中，若q（z）、P（z）、ai（z）是多项式，Q（z）是一个非常数多项式，q（z）≢0，k≥1 以及n≥2，则方程（1.4）的超越整函数解f 满足：

（ii）如果解f、g∈Γ0，且ai（z）退化成常数ai，那么f=ηg，其中ηn-1=1。

2 主要引理

引理1[3]设f（z）为超越亚纯函数，则

引理2[3]设f（z）是非常数亚纯函数，aj（1≤j≤q）是q 个互相判别的复数，则

引理3[2]（Hadamard 分解定理）设f（z）为非常数有穷级亚纯函数，在z=0 附近满足

引理4[5]设f（z）是有穷级的非常数亚纯函数，c∈C 且δ＜1，则对一切r 有

至多除去一个具有有穷对数测度例外集E2。

再由引理1 可得，

对于任意有穷级的亚纯函数f 都成立，其中η是一个非零复数，至多除去一个具有有穷对数测度例外集E2。

引理5[5]设f（z）是非常数有穷级亚纯函数，且η≠0 那么对任意r 有

3 定理的证明

3.1 定理1 的证明

（i）假设f 是方程（1.3）的一个有穷级超越整函数解，所以N（r，f）=0。由（1.3）及其变形，结合引理1、引理4 和引理5，可得（3.1）和（3.2）。

因此当n≥2 时，结合（3.1）和（3.2）可得σ（f）=deg Q。

（ii）“⇐”如果P（z）≢0，运用引理2、引理4 和引理5，结合f 是一个超越整函数，可以得到

因此当n≥2 时，λ（f）≥σ（f）。又因为λ（f）≤σ（f），可得λ（f）＝σ（f）。

“⇒”如果λ（f）≤σ（f），要证P（z）≢0。用反证法，先假设P（z）≡0。因为f≢0，所以得到

对于n≥2，方程（1.3）意味着

结合（3.5）和（3.6），可以得到N（r，1/f（z））≤S（r，f（z））。因此λ（f）＜σ（f），这与λ（f）=σ（f）矛盾，因此P（z）≢0。

3.2 定理2 的证明

（i）与定理1（ii）的证明过程类似地，容易证到：当且仅当P（z）≡0 时，方程（1.4）的每个超越整函数解f 满足λ（f）＜σ（f）。

如果P（z）≡0，那么λ（f）＜σ（f）。根据引理3，不妨设f（z）=A（z）eα（z），其中α（z）是一个非常数多 项式，A（z）是超越整函数或者是一般多项式。

若A（z）是一个超越整函数，设A（z）=zmH（z），其中H（z）是f（z）的非零零点构成的典型乘积（m 是f在原点处取零点的重数），易得N（r，A（z））=0，根据引理3，可得

将f（z）=A（z）eα（z）代入到方程（1.4）中，可以得到

其中Li（z，A）是一个关于A（z+c）及其导数以及α（z+c）的导数的微分差分多项式，由引理4，可以得到

由方程（3.8），因为A（z）≢0，所以

由方程（3.10），可以得到

因此由（3.11）和（3.12）可以得到

所以λ（A）＜σ（A），这与（3.7）中λ（A）＝σ（A）矛盾。因此我们可以断定A（z）是一个多项式，所以f∈

特别地，如果n≥3 且P（z）≢0，根据引理2，引理4 和方程（1.4）得

（ii）根据上述（i）的结果，如果f、g∈Γ0，那么P（z）≡0、A（z）≡1。根据方程（1.4）及ai（z）退化成一个常数ai，则q（z）也退化成一个常数q。由Li（z，A）的表达式以及α（z）是一个多项式的事实，容易得到α′（z）也是一个常数，即α（z）是一次多项式。

两式相除得，

所以

4 结论

本文运用Nevanlinna 值分布理论及其差分模拟和Hadamard 分解定理研究了一类非线性复微分差分方程（1.3）的超越整函数解的增长级以及零点收敛指数和增长级相等的等价条件。同时，研究表明方程（1.4）的指数多项式解满足f∈时的等价条件，以及当f∈Γ0时，这样的解只相差常数倍。