突出理性思维 培养关键能力——椭圆几何性质中的范围问题

秦 俭 林 方

(1.湖北省武汉市华中师大一附中;2.湖北省武汉市湖北大学附属中学)

题型一:与椭圆边界性质有关的范围问题

题型二:与椭圆几何性质有关的范围问题

【答案与详解】

【题1】设P(x0,y0),

因为-b≤y0≤b,

即|PB|max=2b,符合题意,

由b2≥c2可得a2≥2c2,

显然该不等式不成立,故选C.

由椭圆的几何性质,知a-c<|PF2|

即e2+2e-1>0且e2+1>0,

【题3】由已知得到P(0,1),

设Q(x,y)是椭圆上的任意一点,

所以x2=3(1-y2),

又因为-1≤y≤1,

【题4】依题意可设椭圆的标准方程为

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,

则当y=-b时,d2有最大值,

从而d有最大值,

解得b2=1,所以a2=4,

【题5】设点P(x,y),

因为0≤x2≤a2,

即b2-c2≤c2≤b2,

【题6】易知A(0,b),设P(x0,y0),

若在C上存在点P,使得|PA|=3b,

则等价于|PA|max≥3b,

则a4+9c4-9a2c2≥0,

整理得9e4-9e2+1≥0,

【题7】由题意,如图,

若在椭圆C1上不存在点P,

使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,

则只需∠APB>90°,

等价于∠APB的最小值大于90°,

当点P位于C1的长轴端点时,∠APB的值最小,

即设∠APO=α>45°,

因为a2=b2+c2,则3a2>8c2,

【题8】连接OP,

当P不为椭圆的上、下顶点时,

设直线PA,PB分别与圆O切于点A,B,∠OPA=α,

∵存在M,N使得∠MPN=120°,

∴∠APB≥120°,即α≥60°.

又α<90°,∴sinα≥sin60°.

又P是C上任意一点,

证明:设P(x0,y0),半焦距为c,

由椭圆的对称性,不妨设y0>0,x0≥0,

此时tan∠APB<0,故∠APB为钝角,

又当y0最大,即P为短轴的上顶点时,

tan∠APB最大,即∠APB最大.

当0

设上顶点为M,则∠AMB≥120°,

当m>3时,此时焦点在y轴上,

设右顶点为N,则∠ANB≥120°,

综上所述,m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).

【题10】由椭圆的对称性知|NF1|=|MF2|,

且|MF2|+|MF1|=2a.

因为|MN|=|F1F2|,

所以四边形MF1NF2为矩形,

设∠NMF1=α,

因为2a=|MF2|+|MF1|=2c(sinα+cosα),

证明:设点P(x0,y0),当切线的斜率存在时,

过点P作椭圆的切线方程为y=k(x-x0)+y0,

令m=y0-kx0,

与椭圆方程联立消y整理得(1+a2k2)x2+2kma2x+a2(m2-1)=0,

当切线的斜率不存在时,P也在圆x2+y2=a2+1上.

因为圆x2+y2=a2+1上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直,

所以当直线3x+4y-10=0与圆x2+y2=a2+1相离时,∠APB恒为锐角,

解得1