核心素养背景下初中生数学解题能力的培养

从丽华

摘 要：初中数学教学是由数学知识教学和解题教学组成的，通过解题教学来让学生对所学的数学知识进行灵活地应用，可以提升学生对数学知识的掌握，实现对学生数学能力的培养.同时，学生的解题能力是数学核心素养下，需要进行重点培养的能力，所以教师在进行解题教学的过程中需要培养学生的习题解决能力和实际问题解决能力来提升学生的解题能力.本文将以三角形的相关试题为例来对初中数学的解题能力培养策略进行研究，希望对初中数学解题教学提供一定的帮助.

关键词：核心素养；初中数学；解题教学；解题能力；三角形

初中数学教学的目标是让学生能够通过所学的数学知识来对数学问题进行分析和解答.同时学生的解题能力是一种检验教师教学质量的重要手段.所以在进行初中数学教学的过程中，教师需要基于数学核心素养来对学生的解题能力进行培养，让学生能够充分利用所学的数学知识来解决数学问题以及解决实际问题.下面将通过三角形的相关试题来对其进行说明.

1 原题呈现

例题1（2022年绵阳中考25题）：我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如有关线段比，面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请用三角形重心的概念完成如下问题：

（1） 若O是△ABC的重心（如图1）连接AO并延长交BC于D，证明：AOAD=23;

（2） 若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足AOAD=23，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明，如果不是，说明理由；

（3） 若O是△ABC的重心，过O作一条直线分别与AB，AC相交于G，H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究S四边形BCHGS△AGH的最大值.

2 初中数学解题能力培养策略

2.1 培养学生认真审题的习惯

初中数学问题会根据题目所考查的知识点和出题形式的不同而进行题型的变换，所以初中数学解题教学的过程中，非常重要的一步就是需要教会学生如何对试题进行审题，让学生养成良好的审题习惯.在审题的过程中，首先需要明确题目的意思，例如在例题1中采用了一长段的叙述来对三角形的重心进行了描述，然后需要通过三角形重心的性质来对问题进行求解.这里就需要学生对中线的性质有一个明确的认识，才能够在后续解题的过程中能够顺利地对问题进行解决.然后找到题目中所隐含的已知条件，根据中线的性质，可以知道在△ABC中必然存在BD=DC这样的等量关系，找到这个关系与解题的联系.

2.2 根据审题来寻找试题的求解方式

通过审题来对试题进行梳理之后就需要结合审题所得到的相关关系来对试题的解题方式进行梳理，根据三角形重心的性质，可以在解题的过程中作出三角形的另一条中心，连接CO并延长交AB于P，就可以得到BP=PA的关系，这样再将D，P进行连接就能够得到PD=12AC，此时可以利用相似三角形的方式来证明AOAD=23，同时利用这样的条件也很快能够实现对第二个问题的证明.然后是第三个问题，这里题目中给定了这条直线是过三角形的重心，与三角形两边的交点不与三角形的顶点重合，要求面积比的最小值，那么首先就需要來对这两个面积进行转化，S四边形BCHG=S△ABC-S△AHG，这样就可以将原式S四边形BCHGS△AGH转化为S△ABC-S△AHGS△AGH，所以这里就需要对△ABC和△AHG的面积进行表示，然后就需要将三角形的面积关系转化为三角形的边长关系，利用三角形重心的性质来对边长关系进行分析，这里可以知道△ABC和△AHG有一个共同的∠A，根据三角形的面积计算公式S=absinC2，可以对两个三角形的面积进行表示，能够得到S△ABC=AB·AC·sin∠BAC2，S△AHG=AG·AH·sin∠BAC2，这样就可以将S△ABC-S△AHGS△AGH转化为AB·ACAG·AH-1的形式.因此只需要找到 AB·ACAG·AH中线段存在的关系就可以对问题进行求解.如图所示，连接CO并延长交AB于F，连接BO并延长交AC于E，然后过点O分别作OM∥AB，ON∥AC，利用（1）中所证明的AOAD=23关系可以得到OM=13AB，ON=13AC，在△AGH中有OM∥AG，ON∥AH，可以得到OMAG=OHGH，ONAH=OGGH，因为OG+OH=GH，所以OMAG+ONAH=1，利用OM=13AB，ON=13AC就能够得到AB·ACAG·AH 的值来对问题进行解答.

2.3 正确进行试题的解答

试题的正确解答是初中数学解题能力培养的关键，在解题的过程中需要理清条件和结果之间的逻辑关系来保证试题的解答有理有据，所以在解题的过程中需要通过正确的试题解答逻辑来对解题的步骤进行表达.同时良好的逻辑关系的展现能够让学生在解题过程中充分掌握相关数学知识的应用，在后续的相似问题的解答过程中也能够更加从容地对问题进行解决.下边将通过对例题1的解题步骤来进行说明.

解：（1） 证明：如图所示，连接CO并延长交AB于P，连接PD.

∵点O是△ABC的重心，

∴P为AB的中点，D为BC的中点，

∴PD是△ABC的中位线，即PD∥AC，PD=12AC.

∴∠DPC=∠ACP，∠PDA=∠CAD.

∴△OPD∽△OCA.

∴ODOA=PDAC=12.

∴AOAD=23.

（2） 点O是△ABC的重心，

证明：如上图作△ABC的中线PC，两条中线的交点为Q，则点Q为△ABC的重心，

由（1）可知AQAD=23，

∵AOAD=23，

∴点Q与点O重合.

∴点O是△ABC的重心.

（3） 如图，连接CO并延长交AB于F，连接BO并延长交AC于E，然后过点O分别作OM∥AB，ON∥AC，

∵点O是△ABC的重心，

∴AOAD=BOBE=COFC=23.

∴OM=13AB，ON=13AC.

∵在△AGH中有OM∥AG，ON∥AH，

∴OMAG=OHGH，ONAH=OGGH.

∵OG+OH=GH，

∴OMAG+ONAH=1，即13ABAG+13ACAH=1，

∴ABAG+ACAH=3.

∵S四边形BCHGS△AGH=S△ABC-S△AHGS△AGH，且S△ABC=AB·AC·sin∠BAC2，S△AHG=AG·AH·sin∠BAC2，

∴S四边形BCHGS△AGH=AB·ACAG·AH-1.

AB·ACAG·AH=ABAG·ACAH，令ABAG=x，则ACAH=3-x.

∴S四边形BCHGS△AGH=x（3-x）-1=-x-322+54.

∴当ABAG=x=32时，S四边形BCHGS△AGH有最大值，此时S四边形BCHGS△AGH=54.

2.4 试题回顾，寻找一题多解优化解题思路

初中数学的很多问题都可以采用不同的方式来实现对问题的求解，所以在进行解题教学的过程中教师需要通过对试题进行多种解答方式的分析，来对学生的解题思路进行拓展.实现对学生的解题能力进行培养.在例题1的解题教学中，上述（3）是较为常规的解题方式，当然也可以分别过B，C作BE∥AD∥CF（如图所示）与直线GH交于E，F两点，这样就构建了△BEG∽△AOG，△CFH∽△AOH，从而就可以得到CFAO=AC-AHAH，BEAO=AB-AGAG，同時根据梯形的性质可以知道OD=12（BE+CF），且由AOAD=23可得AO=2OD，就能够得到CFAO+BEAO=1，进而就可以得到AGAB+AHAC=1，此时根据上述（3）中的后续解答方式就可以对问题进行求解了.当然还可以采用如图所示地过A，B，C，D四点分别作直线GH的垂线的方式来进行求解，这里具体的解题思路就不进行赘述了.通过这样多样化的解题策略能够有效地拓宽学生的解题思路，提升学生的解题能力.

3 结语

综上所述，本文通过一道三角形的相关例题来对初中数学解题教学中提升学生解题能力的策略进行了说明，在进行解题教学的过程中需要让学生养成审题的习惯，通过审题来分析题目中的已知条件，找到隐含条件，为解题创造有利条件.然后需要根据审题所得到的信息对试题进行详细的分析，再开始进行试题的解答，并且在解答的过程中需要让解题的步骤逻辑严谨.最后通过对试题进行再次分析以寻找多样化的解题思路从而拓宽解题思维，实现对学生解题能力的提升.希望对初中数学的解题教学提供一定的帮助.

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