浅谈化归思想在解方程组中的应用

何玉龙

摘 要：化归思想是中学数学中一种常见的数学思想，在每年的中考中都有涉及.本文以苏科版七年级下册解方程组为例，在学生有了对一元一次方程认识的基础上，对二元一次方程组的代入消元法进行探索，培养学生主动学习的能力，激发学生的求知欲，让学生初步体验化归思想，有效强化学生对化归思想在解方程组中的认识与把握.

关键词：化归思想；解方程组；代入消元法

化归思想在我们的日常生活中经常会被用到.所谓化归思想，即是转化和归结，化未知为已知，化繁为简，化难为易.回顾我们处理数学问题的过程和经验不难发现，化归其实是将没有见过或者复杂的问题转化成已学过的或者简单的问题来解决.往往我们在对一些陌生问题不知如何下手时，就需要将它转化成比较熟悉的问题情境，这样既可以解决问题，又能调动学生的学习热情.化归方法是我们解决问题的一种常规方法，其基本思想是：当遇到一个没有见过的数学问题时，通常会将这个待解决的问题A借助于某种方法转化为我们熟悉的问题B，而问题B是可以解决的或者可以继续转化为我们熟悉的问题，这样就可以通过解决一个熟悉问题得到原问题的答案.用框图可直观表示为：

下面就化归思想在中学数学《解二元一次方程（1）》中的應用，谈谈自己的教学设计.

1 教学概述

《解二元一次方程组（1）》是我们对七年级下册解一元一次方程的巩固和延伸，在这里面我们通过利用等式的基本性质，将两个不同的未知数转化为一个未知数，这种方法是解方程组的一种基本解法，也为今后学习解多元方程组的内容奠定基础.

2 教学目标

1. 通过具体实例，感受解二元一次方程的必要性；

2. 会用代入消元法解二元一次方程组；

3. 了解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转换过程；

4. 体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的转化思想.

3 教学环节

3.1 创设情境，出示问题

问题1：参考学校篮球的比赛规则，每一场比赛都需要决出胜负，而且获胜的一队可以加2分，输的一队加1分.如果某学校想要取得靠前的名次，想在12场比赛中获得20分，请问：这个队胜、负场数应该各是多少？

师生活动：学生根据已有的经验，通过列一元一次方程求解后，得出结论.

解：设这个队胜了x场，负了（12-x）场.

根据题意，得2x+（12-x）=20.

解得x=8.

12-x=12-8=4

答：这个队胜了8场，负了4场.

教师总结：这其实就是由问题到方程的模型，体会方程在解决实际问题中的作用与价值.

追问1：运用以前的方法，我们还能想出其他办法吗？

师生活动：这一环节中，教师应该留出充足的时间，让学生自主思考、探究，尝试，通过不同同学的讲述，不断引导、更正，不少学生可以观察出，一个未知数可以，同样两个未知数也行，进而大胆地列出两个不同的方程.如果这个队胜了x场，负了y场，根据题意，得x＋y＝12，

2x＋y＝20.教师首先肯定学生的做法，然后告知学生解应用题不但可以用一元方程，同样也可以用二元方程组.

设计意图：在这个题目方法中，老师可以借助这两种方法的比较来激发学生的求知欲，让学生能够清楚地认识到一元一次方程和二元一次方程组都能解决我们生活中的实际问题.

追问2：那么怎样求二元一次方程组的解呢？

师生活动：学生观察、思考、感悟. 教师说明解二元一次方程组是这节课的重点.

3.2 探索比较，体会化归

问题2：二元一次方程组x＋y＝12，

2x＋y＝20与一元一次方程2x+（12-x）=20之间有什么关联？

师生活动：学生通过对比观察发现：二元一次方程组中有两个未知数，可以利用等式的性质将方程x+y=20变形为y=12-x，将方程2x+y=20中的y换为12-x，这个方程就转化为一元一次方程2x+（12-x）=20.

教师总结：二元一次方程组可以转化为解一元一次方程，这里面运用了消元的化归方法，也就是把没有学过的知识点向已有的知识转化，把复杂的问题简单化.

设计意图：留给学生足够多的独立思考和小组讨论的时间和空间，让他们探索不同的方法.学生能根据已有的知识储备，在老师的启发下观察出问题的本质，关注方程之间的内在联系，让学生突破自己，寻求新的解决问题的策略，为掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤及依据埋下伏笔，进而体会到化归思想在数学学习中的地位.

问题3：从前面两种方法的研究中，我们发现了什么？

师生活动：教师引导学生观察两个方程之间的联系，并让学生尝试表达，当学生之间意见不一致时，可以采取小组讨论的办法最后一起得出答案.

教师总结：以后我们在解决问题的时候，往往不止一个未知数，那么就需要我们将多个未知数变的少一点、再少一点，变成一个未知数的想法就是消元思想，先将方程组中的一个未知数通过等式的性质变成含有另一个未知数的代数式，再代入另一个方程中去，这样可以减少一个未知数，也就把解二元一次方程组的问题就转化成了一元一次方程，这种方法统称为代入消元法，简称代入法.

设计意图：让学生能从不同的方法中，找到内在的联系.学生通过亲自参与、小组的共同完成，最后的总结归纳，不断加深对数学化归思想的认识.

3.3 例题教学，示范引导

问题4：例1.用代入消元法解方程组

x＝y＋3，①

3x-8y＝14.②

师生活动：教师通过对学生的提问和学生的回答，最后给出规范的例题格式的书写，引导学生发现和思考以下问题.

1. 需不需要利用等式的性质将一个未知数用另一个未知数表示？其目的是什么？

2. 方程①能否直接代入②？目的达到了吗？

3. 只求出y＝-1，方程组解完了吗？把y＝-1代入哪个方程求x的值较简便？

4. 怎样知道你运算的结果是否正确呢？

在学生的回答中，教师总结归纳易错的地方.

设计意图：教师展示例题，规范步骤及方法，起到示范作用.教师指出学生容易犯错的地方，用不同颜色标记，引起学生的关注，起到正向引导的作用.同时在教学中教师要注重引导学生关注化归思想在解二元一次方程组中的价值.

师生活动：学生独立完成，教师请个别学生到黑板上板书，教师巡视，收集问题，并通过投影订正.教师重点关注学生是否会将二元一次方程组转化为一元一次方程，是否能准确求出结果.

设计意图：巩固练习，让学生掌握这一类题的解法.

问题5：例2.用代入法解方程组2x-y＝5，①

3x＋4y＝2.②

师生活动：本环节比例1加深了一定难度，可以以教师为主，起到示范作用，也可以让学生回答，教师板书，关注学生书写过程中的问题，及时纠正.

设计意图：通过和例1的比较，让学生知道通常选择系数比较简单的二元一次方程来变形，这样可以减少出错率，也便于消元，为本节课的难点解决有效地缩短了时间.

3.4 巩固练习，深化化归

问题6：研究下面的方程，你能否用一个未知数来表示另一个未知数？

（1） 2x-y=3;

（2） 3x+y-1=0.

问题7：用代入法解方程组x-y＝3，

3x-8y＝14.

师生活动：学生独立完成上面题目，并讲解思路，教师也可以引导学生进行解二元一次方程组的验证过程，将解代入到原方程组中即可.

设计意图：问题6的设置是比较简单的，便于学生操作，为代入消元作准备，这也是本节课的重点；问题7让学生通过实践，体会用代入消元法解方程组的一般过程及化归思想，引发学生积极思考，使新知识更加系统化.

3.5 回顾反思，课堂小结

问题1：代入法的基本思路是什么？

问题2：小组合作，归纳代入法的一般步骤是什么？

问题3：代入法的主要思想是什么？

师生活动：对于问题1，学生可以自己总结，得到代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数；对于问题2，教师可以引导学生回顾本节课例题的解题过程进行归纳；对于问题3，教师可以引导学生认识化归思想，从已知到未知，由陌生向熟悉转化这一重要化归思想是研究数学问题的基本方法之一，接下来我们在学习解三元一次方程组的解法时也会用到.

设计意图：这里的合作学习，让学生充分观察、讨论，然后自然地归纳出步骤，比教师机械化地讲给学生听，要好得多，能让学生完成知识的整合和提升.接下来，学生在讨论交流的过程中，小组间可以发现问题，提出问题，然后所有学生一起参与进来并分析问题，最后可以形成良好的总结和归纳.学生这样能够很容易地接受代入消元法，体会化归思想在解方程组中的重要性.最后教师通过对本节课用代入法解决二元一次方程组的归纳总结，让学生在以后的解方程中更加得心应手，为以后解三元一次方程组以及多元方程组埋下伏笔.

4 教学反思

4.1 数学教学要注重数学思想和方法的培养

俗话说：“授人以鱼，不如授人以渔”.数学知识很重要，但更重要的是以数学知识为载体所体现出来的数学思想和方法.就以本文为例，教师以生活情境篮球比赛规则问题为导向，经过和学生的互动，得到两种不同的方程解法.第一种一元一次方程方法学生已经学过，处理起来比较简单.第二种方法老师引导学生用两个未知数列二元一次方程组来解决问题，学生不知道怎么解.这个时候老师就应该渗透数学思想——化归.化归的目的是在于通过向已有的知识经验转化，将一些陌生、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、程序化、简单的问题.解二元一次方程组可以利用等式的基本性质将一个未知数用另一个未知数表示，从而转化成数学的一元一次方程.平时的教学经验告诉我们，在教学的过程中，应该靈活运用化归思想，正确引导学生不断反思、总结，在不同问题中发现通法，学会举一反三.同时，要求教师在平时的教学过程中，要从学生的认知发展水平和已有的知识经验出发，实施有效的学习方法，在摸索中不断总结归纳，从而完成本节课的教学任务.有效的教学课堂是以教师为主导，学生为主体的课堂，是师生共同互动的课堂.这样有助于知识的火花不断地碰撞、修正，从而催生出生动活泼的有效课堂.总之，化归思想已经渗透到我们的日常的生活和课堂中.

4.2 数学教学要注重学生能力和品质的提升

化归是一种数学思想，是对一些未知的、复杂的问题进行变形，而这种变形其实是有方向可循的.因此，我们要盯紧“目标”，转化为已学过的知识来解决问题.本文以前面解一元一次方程已有的知识为起点，以两个未知数方程组“如何解”为问题导向，让学生通过研究发现可以通过减少未知数的个数，逐渐过渡到用一个未知数来表示另一个未知数，最终得到本课的思想方法——代入消元法，从而培养学生知识迁移的能力.本课关键是要抓住对“消元”“化归”思想方法的讲授，过程中应该注重学生的创新能力以及小组探究能力，有利于提高学生学习兴趣，培养学生之间的合作能力，促进学生主体的发展［1］. 在向学生展示知识的发生、发展的过程中，应尽力向学生渗透化归思想，培养学生运用化归思想的能力，充分发挥化归思想方法的指导作用.这对于学生形成良好的思维品质大有益处，也是进一步落实素质教育，培养学生的创新能力所必需的.

4.3 数学教学要注重师生关系和地位的建设

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者［2］.教师在数学教学的过程中，应该重视学生主体性和个性差异化的发展，摒弃传统的教学模式，采用启发式的教学模式.教师在教学的过程中应采用引导式、讨论式等各种不同的教学方法，将知识以多种形式呈现给学生，这样有助于培养学生发现问题的能力，通过小组之间自主学习、合作学习、探究学习，引导学生提出问题和分析问题，最后找到解决问题的方法.在教学过程中.教师要发挥主导作用，不能一味将知识硬塞给学生，要让学生体验“先发现、有想法、有思路、讲出来”的过程，激发学生课堂主人翁的意识，这样才能有效促进课堂的灵动性.

教材应为学生提供丰富的问题情境、充分的思考空间，让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等数学活动过程，帮助学生感悟基本思想，积累基本活动经验［2］.在数学教学过程中，教师必须要牢牢地抓住书本，了解这个阶段学生的基础认知水平，寻找符合学生的生活情境，发挥老师在课堂中的组织者、引导者、合作者的作用，打造一个生动活泼的课堂，让学生真正认识到自己是学习的主人，同时教师也需要不断地给自己充电，不断加强个人业务能力的学习，提高自己的专业化水平和个人魅力，这样才能积极调动学生的自主性、能动性和差异性，才能使课堂得到充分的展示.

参考文献：

［1］ 齐欣.注重过程教学 促进主体发展：有理数加法运算律教学设计及反思［J］. 中学数学杂志，2018（4）：23-26.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.