巧用直线的斜率公式解三类题

张淼

若 A（x1，y1）、B（x2，y2），则直线AB的斜率为 k = y2 - y1 x2 - x1 ， 该式即为直线的斜率公式.直线的斜率公式的应用比 较广泛，不仅可以用于求直线的斜率和倾斜角，还可 以用于求圆锥曲线中点弦的方程、证明分式不等式、 求分式函数的最值.下面结合实例来进行探讨.

一、求圆锥曲线中点弦的方程

圆锥曲线中点弦是指直线与圆锥曲线相交于两点时，过这两点所在弦的中点的直线.求圆锥曲线中点弦的方程，需先将两个交点的坐标分别代入圆锥曲线的方程并作差；再根据中点坐标公式将差式化简，得到只含有两点的纵坐标之差、横坐标之差的式子，这样便可直接根据直线的斜率公式求得中点弦的斜率和方程.运用直线的斜率公式求圆锥曲线中点弦的方程，能有效地简化运算，大大提升解题的正确率.

例1.

解：

我们将两交点的坐标分别代入抛物线和圆的方 程中，并作差，便可得到关于两点横纵坐标之和、差的 关系式，再结合中点的坐标公式和直线的斜率公式， 即可化未知为已知，顺利求得弦的方程.

二、证明分式不等式

有些分式不等式的结构较为特殊，单凭观察或计 算并不能证明不等式，此时可以将分子、分母视为两 点横纵坐标之差的关系式，将分式看作某条直线的斜 率，通过比较直线斜率的大小来证明不等式.

例2

证明：

通过观察，可以发现所要证明的式子与直线斜率 的公式相似，于是构造出直线，运用斜率和倾斜角之 间的关系来证明不等式.证明分式不等式，要将不等式 与直线的斜率公式相关联，根据斜率公式以及直线倾 斜角的取值范围来建立新关系.

三、求分式函数的最值

对于与直线斜率公式的结构类似的分式函数，我 们可将其與直线的斜率公式关联起来，将函数式看作 两点所在直线的斜率，通过讨论直线的斜率和倾斜角 的取值范围，来间接求得函数式的最值.

例3

解：

根据分式函数的结构特征，将其看作点 P（2， 1）和点 M（-cosa，-sina）连线的斜率，并构造单位圆，即可从几何角度，通过讨论直线与圆的位置关系，确定直线斜率的最值，从而确定函数的最值.

可见，运用直线的斜率公式来解题，可使解题的思路更加清晰，更加有条理性，这样往往会大大降低解题的难度，缩短解题的时间.

（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）