m-渐近负相协变量的若干强收敛性质

何其慧

随机变量的收敛性是极限理论中重要的研究方向.依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛等都在极限理论和数理统计中起到了极其重要的作用.本文旨在较为宽泛的相依假设下研究随机变量加权和若干强收敛性质.对于强收敛性，HSU 和ROBBINS 给出了完全收敛性的定义：称随机序列{Xn,n≥1}完全收敛于μ>0，若对任给的ε>0，都有.由著名的BOREL−CANTELLI 引理容易得到Xn→μ a.s..此外，利用完全收敛性还可以得到随机变量加权和的收敛性质及收敛速度.令an>0,bn>0,q>0，若对∀ε>0 都有，则称随机变量序列{Xn,n≥1} 完全矩收敛于0.完全矩收敛的结果首次由CHOW 建立［2］.完全矩收敛性比完全收敛性更加精确地刻画了随机序列部分和或加权和的收敛速度，此外，完全收敛性可由完全矩收敛性得到.完全f−矩收敛性则是一种比完全矩收敛性更强、更宽泛的收敛性，其概念如下：设f:R+→R+为一单调递增的连续函数且f(0)=0.设{Xn,n≥1}是一随机变量序列，cn>0，若对任意 的ε>0，,则 称{Xn,n≥1}是完全f−矩收敛的［3］.

软管都取出来了，王姐还不死心，缠着段主任说：您别放弃呀，求您再给试试呗。段主任摇头说：没必要了。王姐说：那总不能让我妹夫这样过一辈子吧？您再给想想别的办法。段主任说：我这是没办法了，你转到胸外科，看看他们有没有好办法吧。王姐说：成，胸外科我也有熟人，您估计他们有什么好办法？段主任说：开胸。

读者们可想象一张地图。你在心情愉悦的情况下打开一张地图。这张在你凝视下的地图在渐渐变大，就像一只棘皮动物——海星那样，始自一个碎片，任意一个碎片，以一个对称圆形物的方式渐渐地扩展、变大。这其实是一个关于梦想的比喻，即部分来自于全部。当这个梦想属于画家时更具野心：一次又一次地，当有人说油画不能打破它形式上的障碍，障碍消失了；当有人说绘画没有界限，绘画国度的国境线就被挑战了；当某种艺术形式的拓荒者人头济济，已栖居扎根的移民就会渴望返回。

由于在很多实际问题中数据都呈现出或多或少的相依性，从而独立的假设在很多时候都是非常不合理的.因此，统计学家们陆续提出各种相依随机变量的概念并将独立场合下的结果推广到这些相依情形下.其中JOAG−DEV和PROSCHAN提出了如下关于负相协（NA）随机变量的概念[4].称随机变量{Xi,1≤i≤n}是NA的，如果对{1,2,…,n} 的任意非空不交子集A与B都有

其中：f1与f2是具有相同单调性且使上式有定义的函数.在NA 的相依假设下，文献［5］证明了如下结论.

定理1 假设{X,Xn,n≥1} 为NA 随机序列且具有同一分布，{ani,1≤i≤n,n≥1} 为满足

的常数列，其中0 <α≤2.记，其中常数γ>0.并且假设当1 <α≤2时，EX=0.如果

则对任意的ε>0，都有

自从文献［5］建立了定理1 中的结论，很多学者都对其进行了推广.其中文献［6］对α>γ时建立了ρ*−混合变量下的结果；文献［7］在ρ*−混合变量下得到了α=γ时的结果；文献［8］则在α<γ下将定理1 推广到了ρ*−混合变量的情形；文献［9］在负超可加相依（NSD）序列下建立了与定理1 一致的结论；在随机控制的假设下，文献［10］将定理1 推广到渐近负相协（ANA）序列并建立了如下完全矩收敛性的结果：

0)且a−=−aI(a<0).

ANA 随机变量的概念是由文献［11］所提出的.定义混合系数

因此当n充分大时，对任意的t≥1 都有

最近，文献［12］又将ANA 随机变量的概念推广到m−ANA，其定义如下：若对于任意n≥2 以及满足|ik−ij|≥m，1≤k≠j≤n的ik,i2,…,in都有Xi1,Xi2,…,Xin是ANA的，则称随机序列{Xn,n≥1} 是m−ANA 的.显然ANA 为m−ANA 中当m取1 时的特例.

则称随机序列{Xn,n≥1} 是ANA的.ANA 是包含ρ*−混合和NA 的一类非常宽泛的相依结构.

政府间事权和支出责任的划分是个技术性问题，确实需要提出政府间事权和支出责任划分的具体方式、方法，但其并不仅仅是技术性问题，还是严格意义上的制度问题。应通过法律的形式明确界定政府作为整体所应承担的事权和支出责任边界、明确各级政府的专有事权和支出责任、细化政府间共同事权和支出责任、规范政府间委托事权和支出责任（李苗、崔军，2018），形成相对稳定的制度安排并成为各级政府都必须遵守的共同规则，由此才能保证各级政府间的事权和支出责任划分能落到实处，并有助于在集权与分权之间实现稳定均衡。■

不过，在搭建宫殿之前，大林先要解决早餐。于是，他对倩倩说，爸爸去煮面条，不过，烧水的这段时间我们也别浪费，玩一个短游戏。

本文将定理1 的结果推广到m−ANA 序列并且得到更强的完全矩收敛性，此外，还将建立更一般的完全f−矩收敛的结果.这些结果推广并改进了文献［5−10］相应的结果.在本文中，C始终代表某个大于0 的常数，I(A)=，a+=aI(a≥

俗话说“面由心生”，面部是一个人情绪最直接的外在表现，面部表情是我们传递情感的一个方式，通过面部表情可以判定一个人喜悦与否，在与人的交往中我们首先是通过眼神、姿态、语气语调来感受对方，而舞蹈是通过肢体语言来传达情感的，在无声的传递中，面部表情显得尤为重要，它是技术动作的延伸，也是情感的传递，起到画龙点睛的作用，甚至有时会起到举足轻重的作用。

其中：q<α.

1 预备知识

很快，救护车到了，哎哟一声那人捂着脑袋被抬上了救护车。警车又到了，一堆灯光又闪烁开来，左小龙恍惚间好像又回到了和泥巴在旅店的二楼看楼下的情景。警察查了半天，现场没查明白那人是怎么头破血流的，左小龙也没犯什么法，只不过当众爆缸而已，属于产品使用不当。警察再次驱散了人群，人们欢呼着，睡觉去喽。

引理2［12］令{Xn,n≥1} 为均值为0 的m−ANA 随机变量序列且存在p>2 使得E|Xi|p<+∞，则存在仅依赖于m，p及ρ−(⋅)的正常数C使得对所有的n≥1，

引理3［8］令{ani,1≤i≤n,n≥1} 为一满足式（1）的常数阵列，其中α>0，X为一随机变量.令bn=n1α(logn)1γ，其中常数γ>0，则

引理4［8］令{ani,1≤i≤n,n≥1} 为一满足式（1）的常数阵列，其中α>0，X为一随机变量.令bn=n1α(logn)1γ，其中常数γ>0，则对任意的q>max(α,γ)，都有

2 主要结果

由引理1 可知，{Yni,1≤i≤n,n≥1} 仍然是混合系数为{ρ−(n),n≥1} 的m−ANA 随机变量阵列.容易验证

炳发呀！我今年是十九岁了，我难道一点儿不知道吗？每次看到天上的月亮圆了，花园里的花开了，想起我们的青春年少……

由Markov 不等式及引理3 可得：

故下面只需证明I2<∞.首先验证

最后将证明I22<+∞.由式（1）、Markov 不等式、α≤2 及q>2γ/α，得：

将玫瑰茄冻干花萼粉碎后过 20目筛，按料液比1：30加入60%乙醇浸提过夜（约12 h）。真空抽滤后继续用 60%乙醇冲洗滤渣，合并两次滤液。40 ℃下旋蒸并冷冻干燥后得到花色苷粗提物。

如果1 <α≤2，则由EXi=0，式（1）及式（2），可得：

引理1［12］令{Xn,n≥1} 为m−ANA 随机变量序列，其混合系数为ρ−(n).假设f1，f2，…都为单调非降（或非增）的连续函数，则{fn(Xn),n≥1} 仍然为m−ANA 随机变量序列，且其混合系数不大于ρ−(n).

因此式（5）成立，这意味着当n充分大时都有取q>max{2,2γ/α}.由Markov 不等式、引理2、Cr不等式及Jensen 不等式，可得：

注意到q>max(α,γ)，由Markov 不等式、引理3 及引理4 可得：

如果0 <α≤1，则由Markov 不等式、式（1）及式（2）可得：

证明 不失一般性，仍然假设ani≥0.注意到

由定理2 可知J1<+∞.因此要证明式（4），只需要证明J2<+∞.对任意t≥1，记

随机抽取2017年2月-2018年2月至我院接受治疗的104例冠心病患者为检验组(n=56),再随机抽取同时期至我院接受健康体检的健康者为对照组(n=48),检验组男33例,女23例,年龄45-70岁,平均年龄(57.58±12.74)岁,病程1-9年,平均病程(3.47±2.39)年;对照组男23例,女25例,年龄47-74岁,平均年龄(57.79±12.83)岁,病程2-7年,平均病程(4.32±2.18)年;将两组人员年龄、病程、性别等基本资料纳入统计学中分析显示无显著差异(P>0.05),具有比较意义。

则由引理1 可知，{Zni,1≤i≤n,n≥1} 仍然是混合系数为{ρ−(n),n≥1} 的m−ANA 随机变量阵列.注意到

由引理3 及式（2）可得：

如果0 <α≤1，则由Markov 不等式、式（1）及式（2）可得：如果1 <α≤2，则由EXi=0、式（1）及式（2）可得：

其中：ℂ是非降函数的集合.若混合系数

取q>max{2,2γ/α}，类似I2的处理可得：

从媒介设计上来说，信息化视域下的旅游景区艺术形象设计需要按照人类行为的感知特征对不同阶段的对象进行分类。在宣传类设施上要统一地域文化的界定范围。不同地域文化的历史和景物不同，形成的地域环境和生活习惯的堆积是由各地域的民俗文化传承堆积而来的，进而在信息化视域下的旅游景区艺术形象设计上需要遵循历史和景物堆积的人文精神，以此为依据，对历史文化景区的艺术形象进行设计和提炼。在提炼的过程中需要将所在地域文化的深刻认识保留下来，以图形和色彩的表现形式设计出来。

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最后证明J222<+∞.注意到αq/2γ>1，由Cr不等式、Markov 不等式及式（1）可得：

随着中国储罐向大型化和集群化方向发展，油库建设规模不断扩大，运行管理难度和安全风险增大。目前储罐火灾扑救中存在消防水供给强度低、消防设施维护检测不及时、缺乏大功率移动式消防设备和应急演练不到位等问题。本文介绍了国内外储罐火灾扑救技术的新进展，如储罐自动泡沫灭火单元、储罐罐顶自动消防炮、移动式大流量泡沫炮等。通过借鉴国外储罐灭火先进技术，对于提高油库安全性和可靠性具有重要意义。

因此，定理3 是比定理2 更强的结果，此外还推广了文献［6−9］相应的结论.然而，相比文献［10］并不能直接看出定理3 是否改进了其结果，为此先利用定理3 建立如下更为一般的结果.

设f:R+→R+为一单调递增的连续函数且f(0)=0.令g:R+→R+为f的反函数，即g(f(t))=t,∀t≥0.假设存在正常数δ使得

证明 容易验证

由定理2 即得K1<+∞.下面证明K2<+∞.由Markov 不等式、定理3 及式（5）可得：

在定理4中，若取f(t)=tq,其中0

容易看出，作为定理4 的应用，推论1 即为文献［10］所建立的完全q−阶矩收敛的结果.故而定理3 和定理4 推广并改进了文献［10］的结果.

3 结语

本文主要利用m−渐近负相协变量的Rosenthal 型极大值矩不等式建立其加权和的完全收敛性进而得到几乎必然收敛性，并且在同样的条件下得到了更强的完全矩收敛性.在此基础上，本文还进一步建立了更一般的完全f−矩收敛性，所得结果推广并改进了文献已有结果.