换元法在因式分解中的应用

涂倩

针对有些复杂的多项式，如果把其中某 些部分看作一个整体，用一个新的字母代替， 将含“新字母”的多项式分解因式，最后将“新 字母”用原来的式子代换，得到原多项式因式 分解的结果，这种方法就是换元法.因式分解 中的换元有多种方法，如整体换元、对称换 元、平均换元等.下面举例进行分析说明.

一、整体换元

整体换元是指把要分解的多项式中的某 一部分视为一个整体，并用新的变元代替它， 从而将多项式简化，使之能用基本方法分解 因式.运用整体换元法解题的关键是找到合 适的式子进行换元.有时候我们要通过适当 的变形，才能发现这个“整体”.

例1

解法1

解法2

点评：当一个多项式的项数次数较高时， 运用整体换元法可直接将其化成二次三项式 （以 y 为主元），再用十字相乘法进行因式分 解.这样会降低解题难度，提高解题速度.

二、对称换元

对称代换指的是在原多项式中，如果其 中出现对称形式的代数式，可用两个新的字 母（元）分别代换原多项式中的代数式，将旧 元用新元表示出来，通过对称换元后再分解 因式．这样有利于转换解题的思路.

例2

分析：直接去括号分解因式显然不可取， 但以 x，y 的和与积的对称式为辅助元求解， 就方便簡洁许多.

解：

点评：最基本的对称式是 xy 与 x + y ，其 最本质的特点是将 x 、y 进行代换的前后，代 数式的形式没有发生改变.

三、均值换元

均值换元是指对原代数式中存在实质联 系的两部分，取它们的算术平均值，将这个算 术平均值换元.即若 x + y = 2S，则可设 x = S + t， y = S - t ，其中 S 是 x，y 的平均值，t 是新元.这 样便将变量用新元 t 替换，从而实现方便因 式分解的目的．

例3

分析：直接去括号太复杂，取两个括号内 的常数的平均数进行均值换元，便于合并，简 化运算.

解：

点评：x + 1 与 x + 3 的算术平均值即为 x + 2，因此，令 x + 2 = t 进行换元.换元的目的 是消去四项式中的奇数次项，如此一来，原式 可化为二次三项式的形式，并运用十字相乘 法进行因式分解.

四、常值换元

常值换元法，即把题目中某个已知数值 用新的辅助元去替代，化已知为未知，变原来 的主元为常量，从而使数字间的特征更加突 出，规律更加明显，这样使代数式实现巧妙的 转化，更容易进行因式分解.

例4

分析：本题如运用分组分解法按“二二分 组”或“三一分组”均难以奏效，但由于数字 2008 出现频率高，若以 2008 为辅助元 a ，则 2007可转化为 a －1，从而原来的四项式可转 化为五项式，采用“三二分组”就便于提取公 因式和利用公式法求解．

解：

点评：在处理一些数值较大的问题时，可 根据其形式特征，将问题中的某个或某些特 殊的已知数值换元，这样暂时化“已知”为“未 知”，既更容易找到解题途径，又可避免繁冗 的运算过程.

五、倒数换元

对于某些数学问题，若题目中隐含着倒 数关系，同学们要注意转变思路，利用倒数换 元法去灵活解题.倒数换元即抓住代数式之 间的倒数关系巧妙设元，将互为倒数的代数 式用一个字母来代替它，使原问题转化为易 于求解的形式，进而完成因式分解.

例5

分析：本例看似无法入手，仔细观察可发 现，该多项式系数呈对称形式，提取 x 2 后，出 现互为倒数的项，整理后便可分解因式了.

解：

点评：

使用换元法分解因式的关键是选择辅助 元.在选择辅助元时，要反复比较式子中重复 出现的整体结构，寻找最恰当的辅助元，恰当 地换元才能起到减少项数、降低次数和凸显 隐含因式等作用.