有关整式求值问题的几种巧妙解法

彭恬

在学习了整式运算的知识后，同学们经常会遇到整式运算中的求值问题.对于一般的整式求值问题，若能化简，要先化简整式然后再求值；如果式子比较复杂，则需要根据实际情况灵活处理.下面举例说明整式求值中的几类常见问题及其解法.

一、直接代入求值

如果已知条件给出了整式中所含字母的值，可以直接代入求整式的值，或把整式化簡后再代入求值.化简后整式达到最简化，代入计算更简便.这是整式求值最基本的方法.

例1

分析：

解：

点评：当所给需要求值的式子能化简时，可通过因式分解将多项式合理变形，这样可使运算过程简捷．

二、利用概念及定义求值

如果已知条件没有直接给出字母的值，只是给出了字母满足的条件，可以由已知条件中给出的相关概念和定义先求出字母的值，再化简整式，最后代入求值.

例2

分析：

解：

点评：本题在求字母的值时，利用了相反数、绝对值及倒数的概念.解题的关键是根据题意分类讨论．

三、整体代换求值

当已知条件式与求值式之间满足某种关系时，可以先不求出条件式中字母的值，而是将条件式看作一个“整体”，然后直接代入求值式中求值.

例3

分析：

解：

点评：本题巧妙地把已知条件转化为三个完全平方式，然后将 a2 + b2 + c2＝1 整体代入求值即可.解答过程既运用了整体思想进行化简，又运用了整体代入进行求值.

四、巧用换元法求值

换元法就是把某些结构相同的式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它.在整式运算中运用换元法能起到减少项数，降低次数的作用.这样可使代数式的结构变得简单，易于求值.

例4

分析：

解：

点评：本题可直接带入求值，但运用换元 法更为简单.换元法是处理较复杂的代数式 的常用方法.通过换元，可以使代数式的特征 更加突出，从而简化了整式的形式．

五、运用数形结合法求值

学习了整式的乘法和因式分解后，我们 不仅要能从“数”的角度进行运算，还要能从 “形”的角度理解公式、法则的几何意义，能够 根据需要计算的数量关系联想到图形之间的 关系.灵活运用数形结合思想有利于拓宽解 题思路，获得解题灵感．

例5

分析：

解：

点评：根据题意画出图形，利用数形结合 法求解是解答此题的关键．