怎样求图形中阴影部分的面积

赵志川

求阴影部分的面积是平面几何中的一个重难点问题.这类问题中涉及的图形一般不是规则图形或特殊图形，无法用现成的面积公式进行求解.因此，我们在求阴影部分面积时往往要利用转化思想，化不规则图形为规则图形再求解.转化的方法有多种，应结合阴影图形的特征确定具体的方法，下面举例予以说明.

一、利用割补法求阴影部分的面积

割补法是指在求平面几何图形阴影部分的面积时，把不规则图形进行合理的分割和填补，使之转变为规则的几何图形，再利用所学的规则图形的面积公式求解.

例1

f分析

解：

评注：通过添加适当的辅助线，可以将不 规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面 积的差，然后利用正方形的性质，扇形面积公 式求解即可.当直接计算面积存在难度时，巧 用割补法可以聚“零”为“整”，化难为易.

二、利用旋轉法求阴影部分的面积

旋转法是指在求阴影部分的面积时，通过旋转变换改变图形的位置，而不改变图形的面积大小，从而将不规则阴影图形组合为规则图形，再借助有关的面积公式求解.

例2如图2，矩形 MNPQ 的对角线 MP、 NQ 相交于点 O，过 O 的直线RS 分别交 MQ、 NP 于 R、S，且 MN =6，MQ =7，则图中阴影部 分的面积为  .

分析：本题中的阴影部分由三个阴影部分组成，由于图中 R、S 两点的位置并不明确，因而△MOR、△NOS 的面积也不明确，这样就无法直接求出每一个阴影部分的面积.仔细观察该几何图形，不难看出，整个图案是一个中心对称图形，这样通过旋转变换，把△MOR 旋转到△POS 这个位置，即可使问题迎刃而解.

解：把△MOR 绕 O 点旋转180° ， 使得点 M 与 P 点重合，点 R 与点 S 重合，

这样三个阴影部分就组成了 Rt△NPQ，

S阴影部分= S△NPQ = ×6×7=21.

评注：当阴影图形由几个部分组合而成，且整个图形为中心对称图形时，若按照常规思维无法直接求出每一个阴影部分的面积，同学们要注意把某个阴影部分绕中心点进行旋转变换，以使分散、零碎的图形组合为规则图形来求解.

三、利用等积代换法求阴影部分的面积

等积代换法即在不改变图形面积的基础上，利用面积相等的图形进行等量代换，将阴影部分的面积转化为与它面积相等的特殊图形的面积，从而使问题顺利获解.

例3如图3所示，已知四边形 ABCD 为菱形，它的对角线长分别为5和8，点 E 是对角线 AC 上的任一点（点 E 不与点 A、C 重合），且 EF ∥ AB 交 AD 于点 F，EG ∥ BC 交 AB 于 G，AE 与 FG 相交于点 H，则阴影部分的面积是  .

分析：该阴影部分的面积为不规则图形的面积，由题意易知四边形 AFEG 为平行四边形，这样可知△AHF 与△EHG 的面积相等，于是阴影部分的面积就转化为△ADC 的面积，而△ADC 的面积等于四边形 ABCD 的一半，问题由此得解.

解：∵四边形 ABCD为菱形，且它的两条对角线长分别为5和8，

∴ SABCD = ×5×8=20.

∵ EF ∥ AG ∥ DC，EG ∥ AF ∥ BC，

∴四边形 AFEG 为平行四边形，

∴ S△AHF = S△EHG ，

∴ S阴影部分= S△ADC = S△ABCD = ×20=10.

评注：等积代换法主要是利用图形之间面积相等的关系来解题.面积相等的图形主要包括：等底等高的三角形或平行四边形面积相等；两个全等的图形面积相等；两个全等的图形除去重合部分，剩余部分面积相等.解题时可从这三个角度寻找面积相等的图形.