问题探究促发现，深度学习促素养

杨建新

一元二次不等式是高考数学中的重要知识点，我们有必要加强对其难点的突破，以巩固基础知识并提高对所学数学知识和方法的灵活运用能力。

一、课程导入，创设教学情境（温故知新）

师：同学们，我们刚刚学习了“一元一次不等式”，今天，我们尝试将所学的知识应用到具体的例题中。

借助PPT，让学生回顾所学内容。

师：同学们，我们要如何求解一元二次不等式？

对于学生来说这道题非常简单，因而学生会争先恐后地举手回答。

生1：通过移项，可以得到x2＞1，故x＞1或者是x＜-1。

师：同学们，你们说这位同学的回答正确吗？

生2：正确。因为将其因式分解可得（x-1）（x+1）＞0，因此可以得到方程组

x-1>0x+1>0或x-1<0x+1<0

最终可以得到x＞1或者是x＜-1。

师：因式分解可以将二次式转化为两个一次式的乘积，通过实施降次的操作，将高次项变成低次项，使得问题更加熟悉和易于处理。根据实数乘法的符号法则，我们可以将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组。这种代数方法不仅有助于解决一元二次不等式，还为解决更复杂的高次不等式问题奠定了基础。

（设计意图：通过启发和引导，帮助学生从函数的视角理解和处理一元二次不等式。）

在教学中，我们应以批判的眼光审视教材，并以开阔的视野来分析教材。在温故阶段，教师需要综合思考与学生的认知能力、生活经验、学科思维特点和技能相适应的要求，以确保学生能够通过自身经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

因此，在教学设计中，我们可以通过情境引入环节提出以下问题：

习题1：一家粮食加工厂引进一条生产线，该生产线的大米产量为x吨。由于设备成本、人工费用和运输方式等因素的不同，每吨大米的收益与产量之间存在以下关系：

师：同学们，如果你是这家粮食加工厂的管理人员，你如何保障大米产量在可盈利的范围内？

（设计意图：培养学生的数据分析能力和数学抽象能力以及对该知识进行探究的兴趣。）

二、启发思考，深入探究

通过PPT向学生展示例题即ax2+bx+c>0的解为x|-3

师：同学们，现在我们以小组的方式展开讨论，最后我们选出小组代表，展示本组的解题思路。

小组1：我们小组讨论认为可以先分别求解出a、b和c，根据题干，可以知道-3和4为方程ax2+bx+c>0的解，由此可以推导出9a-3b+c=0 （1）和16a+4b+c=0 （2），但是按照这一思路，我们无法推导出结果，故陷入了无解当中，目前我们还在讨论。

师：小组1提出了一种思路，但是不够完善，还有哪组同学有新的想法呢？

小组2：我们小组讨论可以使用对称轴。根据对称轴方程，可以获得 = （3），在小组1提出的方程（1）和方程（2）的基础上，与方程（3）进行联立，可以求出a、b和c对应的数值。

师：第二小组同学结合建模思想，通过联立方程组的方式，将a、b和c对应的数值求解出来，虽然理论上是可行的，但是求解难度非常复杂，很容易求解错误，哪个小组还有比较简化的思路呢？

小组3：我们可以采用韦达定理，这样可以直接替代方程（1）和方程（2）。

师：你可以具体讲解你们小组的思路吗？

小组3：按照韦达定理，将方程（1）和方程（2）改写为-3+4= ，-3×4= ，与方程（3）进行联立，可以直接求解出来。

师：同学们，你们观察一下，刚才小组1、小组2和小组3的同学采用的方法有什么共性，哪个小组还有其他的思路吗？

小组4：小组1、小组2和小组3的同学都采用了先求解出a、b和c数值的思路，但是我们小组认为可以直接使用韦达定理来求解。我们小组是这样讨论的，按照韦达定理，可以得到方程-3×4=  （4）和方程-3×4=  （5），由此可以得出b=-a，c=-12a，将其代入不等式bx2+2ac-c-3b<0中，可以得到新的方程-ax2+2ax+15a＜0，结合图像，可以得到a＜0，当两边同时除以-a后，进而得出x2-2x-15＜0，故可以得到

-3＜x＜5。

此时其他小组的成员对这一解法表示感叹。

我也没有想到小组4可以有这样的解法，他们打破了常规思维（单纯求解a、b和c的数值），解出了不等式。

师：若是将方程（4）和方程（5）进行联立，求解的结论不使用a表示b和c，而是利用b表示a与c或者是使用c表示a和b，是否可以得出类似的解呢？

于是，学生展开了激烈的讨论。

生2：我认为可以按照对称轴方程，表示出b，即 = 。

生3：我认为可以通过-3×4= 或者对称轴方程来确定c。

師（非常激动）：同学们，你们真棒，可以通过举一反三的方式推导出不同字母的表示方法。

三、自主探究，进行质疑

师：同学们，我们按照刚才两位同学提出的解题方法尝试求解，看能否得出结论。

在我提出后，学生积极解题，但是我发现大家都表现出疑惑的神情，我问道：你们得到结果了吗？

生2：老师，我按照自己的解题思路，无法得到具体的答案，我不知道哪里出现问题了，非常困扰。

生3：老师，我求出来了，但是我不知道是否正确。

师：那你就勇敢地说出自己的解题思路，我们大家一起来判断是否正确。

在我的鼓励下，生3分享了自己的解题方法：

由题意可知-3和4是方程ax2+bx+c=0的解，将公式ax2+bx+c因式分解，可以得到（x+3）（x-4）＞0，其解集为x|-3

由题可知该图像开口方向朝下，因此需要增加一个负号，则为-（x+3）（x-4）＞0，后可以得出a=-1、b=1和c=12。

师：大家觉得生3的解题思路是什么呢？为什么前两个方程组无法解出，但是现在这种可以解答呢？有同学知道什么原因吗？

问题提出来，教室里面一片安静。

为了更好地引导学生，我提出：生3提出ax2+bx+c>0，并将其分解成-（x+3）（x-4）＞0，你们觉得这种思路是否正确呢？

通过引导，有学生举手回答：老师，我知道了，生3的说法并不完全正确，我认为这里可以写成-k（x+3）（x-4）＞0。

我接着问：那k的取值范围是什么？

生4：k应该是大于0的。

师：说得很好，请坐。我们在之前的等差数列中也讲过类似的方法，我们一起回顾一下。

于是我借助PPT给学生展示。

数列an、bn为等差数列，an的前n项和为Sn，bn的前n项和为Tn，其中 = 。

生5：老师，因为Sn与Tn为缺常数c关于n的二次函数，故设Sn为kn（7n+2）；Tn为kn（n+3）。

师：非常正确。

四、教学反思，实现深度学习

教学设计是教师通过自身技能对教学内容进行规划和思考的过程。教学设计是一个动态的过程，需要教师不断探索、思考、学习、实践和总结，以学生为主体设计符合学情的教学活动，以此来激发学生主动探究的积极性，使学生通过新问题、新思维、新质疑来活跃思维。

教师在具体教学中应将发展学生的认知能力作为教学的最大目标，鼓励学生主动获取知识，并在不断质疑和反思的基础上实现知识的建构和生成。

在本节课的设计中，通过一道看似普通的习题研究引入，低起点但高立意，激发学生的学习动机，通过理性思维延伸教学，贯穿自主探究的主线，体现了以思维为导向的教学观，促进了学生深度探究，并进一步提升了学生的数学素养和思维水平。只有将课堂真正还给学生，给予学生充分的主动权，才能让课堂焕发活力。在课堂教学中，教师以学生的思维为起点，通过有意识、有目的地引导和激励学生，调动学生的积极性，让学生通过多种感官参与学习活动，关注学生的思维障碍和质疑问题，培养学生积极思维，并提升课堂的有效性。

启发性质疑是教师智慧的体现，也是质疑式教学的主要特征之一。在教学过程中，通过一个提示语或一个问题，引发学生的质疑和反思，促使学生主动探究，并通过再探究获得新的认识，使原有思维具有更强的延展性，让经验焕发新的生命。在本案例中，教师通过不断提问引发学生的质疑和反思，让学生自然地产生一个又一个想法，促使学生提出困惑，并激发学生的热情和动力，展开探究和讨论，推动学习的深入，并深化学生的思维品质。

在高中数学课堂教学中，有效的教学形式应包括精讲、师生问答、学生自主探究、合作交流和模仿训练等教学活动，并按比例合理分配。因此，提出了问题驱动下的高中数学课堂教学形态的假设。在这种教学形态中，笔者通过引导学生围绕一系列设计的问题进行独立思考和合作交流，使学生经历知识的形成和发展过程，建构知识并完善认知结构。具体的教学流程如下：

1.复習回顾：教师对学生已学过的知识进行复习，为学生解决问题奠定基础。

2.提出问题：教师根据学生自主探究新问题所遇到的困难点、疑惑点和分歧点设计问题链，帮助学生进行自主探究。

3.自主探究：学生独立完成问题的探究，可以查阅课本和其他资料，提出解决问题的方案。鼓励开放性思考和创造性解决问题。

4.合作交流：学生表述观点并互相评价，进行辩论交流。

5.总结归纳：教师根据学生自主探究和合作交流的结果，让学生进行小组交流，并进行概括总结。教师也可以补充遗漏点。

6.反馈练习：教师设计适当的题组来检测学生对一般结论的掌握程度和对问题本质的深刻理解程度。在本次教学设计中，主要是让学生总结例题思考过程，理解解题思路和原因。只有掌握思考本质，才能实现举一反三，提升学生的思考能力和解题能力。

因此，本次教学中所呈现的教学形态充分考虑了学生的思维和学习积极性，引导学生参与到探究活动中，培养学生的问题解决能力和合作能力。通过课堂中的精讲、问答、自主探究、合作交流和模仿训练等多种教学活动，学生能够更好地理解数学知识和掌握解决问题的方法。

（作者单位：甘肃省礼县第二中学）

编辑：曾彦慧