独辟蹊径，柳暗花明

魏玉娟

摘 要：初中数学题目具有难度系数高、运算量大等特点，对学生的数学基础知识、数学思维要求相对比较高，尤其是一些非典型的问题，唯有另辟蹊径，借助一个或者若干个新的元素进行替代，充分借助变量代换的手段，实现化繁为简、化难为易，最终完成题目的解答.本文以此为切入点，结合大量的例题，针对换元法在初中数学不同类型题目中的具体应用进行探究.

关键词：初中数学；解题教学；换元法；数学思维

在最新版的《义务教育数学课程标准》中，明确提出了初中数学教育目标：引导学生在学习的过程中，掌握必备的数学知识、数学技能，了解基本的数学概念，体会其中蕴含的数学思想和数学方法，进而促使学生在学习中逐渐形成必备的解题能力.但是学生在解题时常常会遇到一些非标准、典型的题目.如果按照常规的解题思路，学生则常常碰壁，甚至出现种种错误.鉴于此，即可转变解题思路，借助变量代换的方式，通过引入一个或者若干个全新的元素，替代原问题中的“元”，最终达到化繁为简、化难为易效果.

1 换元法概述

换元法又被称之为“辅助元素法”“变量代换法”，主要是运用一个新的变量，代替原本题目中的某一个元素，即运用一个新的元素，代替问题中原来的“元素”，进而使得原本非标准、非典型的数学问题变得更加标准、典型，有效降低学生的解题难度.从本质内涵上来说，换元法就是变量代换、转化，其关键在于合理选择出“新元”，并将其带入到数学问题中，进行适当地代换，促进数学问题的转化，以便于学生快速找到解题的思路，顺利解决数学问题.

纵观初中数学解题现状，在实施“换元法”时，基本上都是遵循“换元——求解——检验”的步骤.常用的三种换元方法主要包括：局部换元、三角换元、均值换元.其中，局部换元就是在数学解题中，某一个代数式反复出现了几次，就可采用一个字母进行代替，促使繁杂问题简单化.通常，这一换元方式常常被应用到不等式问题求解中；三角换元则是在解决去根号、变换为三角形的解题中，运用已知代数式和三角知识内在连接点进行换元，常常将函数问题转化为学生熟悉的三角函数进行解答；均值换元则常常被应用到“两个未知量和是已知”情况，可借助均值换元的模式，运用新的变量将两个未知量表示出来，进而完成数学问题的解答^［1］.

2 换元法与初中数学解题

换元法是转化思想的具体体现，又被称之为变量代换法、辅助元素法，主要基于问题的结构特点，通过引进一个或者两个新的辅助元素替代原问题中的某个元素，将原本非标准、非典型的数学问题进行转化，使其成为标准、典型的数学题目，以便于学生灵活解题.从其本质上来说，换元法就是等量代换，解题的关键就在于分析题目，科学把握题目中的“元”，并通过假设未知数的方式进行替换^［1］.

在初中数学解题中，以整体换元、常值换元、倒数换元最为常见.

可以说，在初中数学解题中，换元法无处不在，唯有认真观察题目、分析题目的结构特征，才能灵活借助不同换元方法进行解答，旨在提升学生的解题效率^［2］.

3 换元法在初中数学解题中的具体应用

3.1 换元法分解因式

因式分解是初中数学中的重要组成内容，涉及到了大量基础知识，如：加减乘除、平方、代数式，对学生的知识掌握情况、计算能力都提出了更高的要求.同时，因式分解也是初中数学的难点，尤其是当题目中涉及到繁杂的多项式时，传统解题思路只会导致学生碰壁、出错，唯有借助换元的思想，运用“新元”代替原题目中的“旧元”，才能实现复杂题目简单化.

例1 分解因式（x²+4x+6）（x²+6x+6）+x2.

解析：分析本题后发现可选择相同的多项式作为“旧元”，借助新的“元”进行替代.即假设x²+6=t，则原式即可化简为

（t+4x）（t+6x）+x²=t²+10tx+25x²=［（x+2）（x+3）］²=（x+2）²（x+3）².

在这一解答中，主要运用了局部换元的方法，将原本复杂的问题简单化.同时，还可以从整体视角，借助整体换元法，假设x²+4x+6=t，以此形成新的解题思路.

例2 分解因式（b+c-2a）³+（c+a-2b）³+（a+b-2c）³.

解析：在解答本题目时，如果按照常规思路：去括号——分解.学生将会面临着繁琐的过程、极大的计算量.鉴于此，在优化解题时，即可借助换元思想，设b+c-2a=x，c+a-2b=y，a+b-2c=z，

因为（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，则有x+y+z=0，

又因为x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-xz），

因此x³+y³+z³-3xyz=0，

即：原式=x³+y³+z³-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）.

可見，解决本题的关键就是找到关于a、b、c的关系式（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，再根据关系式找到换元的点，并运用新元代替，进而将复杂的问题简单化.

3.2 换元法解答整式计算

整式计算尤为常见，在考试中常出现一些繁琐的题目.面对这些复杂的题目，就需要借助换元的思想，将题目中结构相同的部分视为一个整体，并运用新元替换，进而将原本复杂、综合性的问题转化为普通的问题，以便于学生轻松解答.

例3 计算

（1-2-3-…-998）（2+3+4+…+999）-（1-2-3-…-999）（2+3+4+…+998）.

解析：按照传统思路解题，学生将会面临着巨大的计算量，很难在有限的时间内高效解题.鉴于此，即可另辟蹊径，根据第一个和第四个括号中的内容、第二个和第三个括号中内容的相同点，借助换元的思想进行替代：假设（2+3+4+…+999）=a，（2+3+4+…+998）=b.

则原式=（1-b）a-（1-a）b=（a-ab）-（b-ab）=a-b=999.

可以说，在解答本题目之前，必须要对题目展开详细的分析，结合题目的特点，找出相同的部分，并运用字母进行替换，最终在换元思想的辅助下，将题目简单化，进而高效解答问题.

例4 求2（ax+by）（by-ax）-（ax+by）²-（ax-by）²的值.其中x=-1，a=-4.

解析：学生在解答问题时，常常受到条件、变量的限制，致使其无法厘清题目的思路.鉴于此，可借助换元思想进行解答：假设ax+by=m，ax-by=n.

则原式可变为-2mn-m²-n²=-（m+n）²=-（ax+by+ax-by）=-（2ax）².

之后将x=-1，a=-4代入到原式中，即可得出-（2ax）²=-64.

这一题目看似没有实质性的逻辑联系，但深入挖掘后会发现只要运用换元思路，借助变量代换，即可转换题目的形式，最終轻松解答问题.如此，不仅降低了学生的解题难度，也促使学生在换元代换的过程中，促进了数学思维的发展^［3］.

3.3 换元法化简二次根式

二次根式化简是初中数学中最为常见的题目.针对一些综合性、难度系数比较高的问题，如果采用直接化简的方式，常常会受到阻碍，甚至超出了学生的已有知识范围.鉴于此，即可融合换元思想，借助整体、局部或者常值换元等方式，另辟蹊径，从其他的角度进行解题.

在化简二次根式题目中，利用两个式子之间的倒数关系进行换元尤为常见，这种方式又被称之为对偶换元法，可迅速打开学生的解题思路.

3.4 换元法解答方程（组）问题

方程（组）是初中数学的重要组成内容，对学生的数学基础知识、思维能力要求比较高.尤其是针对一些难度系数比较高的方程（组），按照常规的解题思路，学生常常面临着繁琐的计算，甚至超出了学生的已有知识范围.鉴于此，即可借助换元思想，将繁琐的新知识转化为旧知识，以便于学生灵活运用所学的知识解答问题.

即：x²-10x-45=-6，再次解方程得出x₁=13，x₂=-3.

经过代入检验，即可得出x₁=13，x₂=-3为原方程的解.

可见，在解答超出认知范围、已有学习能力之外的方程时，通过认真观察、分析题目学生能够结合题目的结构特点，对其进行灵活换元，进而完成题目的高效解答.

例8 解方程（x²+2x）²-2（x²+2x）-3=0.

解析：方程中涉及到了高阶方程，按照初中生已有的知识和能力，很难完成对此题目的解答.据此，即可融入换元思想，将高阶方程的部分进行替换，即设x²+2x=t，

因此，t²-2t-3=0.

解得t₁=3，t₂=-1.

当t₁=3时，解方程x²+2x=3，得x₁=-3，x₂=1.

当t₂=-1时，解方程x²+2x=-1，得x₃=x₄=-1.

因此原方程的解为x₁=-3，x₂=1、x₃=x₄=-1^［4］.

3.5 换元法在其他题目中应用

经课堂教学实践证明，换元思想在初中数学解题中随处可见.通过换元思想的渗透，可将原本复杂的题目进行简化，或者帮助学生打通一条全新的解题路径，在节省时间的同时，也提升了学生的解题效率.

可见，在本题目中，正是运用了换元的思想，将原本复杂的题目进行了转化，简化了求最值的方式，也显著提升了学生的解题效率^［5］.

4 换元法在初中数学解题中应用注意事项

经课堂教学实践证明，换元法在初中数学解题中尤为常见，彰显出极大的应用价值.鉴于此，若想真正提升学生利用换元法解题的能力，教师在日常教学中，不仅要强化学生的换元法应用意识，还应掌握具体的应用原则，注意以下三个方面：

第一，注重换元的应用性.虽然换元法应用路径广泛，但并不意味着每一个数学问题都适合换元法解题法.教师在日常教学中应通过逐步渗透的方式，强化其使用技巧，弱化盲目、随意换元的现象，引导学生在解答问题之前，对问题进行合理地分析，明确换元是否具备转化的条件.同时，教师在日常教学中，还应指导学生对相关的题目类型进行归纳、整合，以便于学生高效掌握换元的技能.

第二，关注题目的结构性.在初中数学解题中，换元法是一种非常重要的解题方法，在实际应用时，应关注题目的内在结构，唯有精准把握数学问题的内在规律，才能灵活选择整体换元、常值换元、倒数换元的方式来解答题目.例如，在解答根号问题时，即可选择三角换元法，将其转化为三角函数的最值问题，但当学生遇到定义域、奇偶问题时，就不再适合运用这种解题方法.

第三，还应关注换元的等价性.在借助换元法解答数学问题时，其本质特征是利用变量进行替换.这就要求在具体的教学中，引导学生注重新元和旧元之间要保持等价.否则，就会出现偏差，影响学生的解题效率.而要做到这一点，在日常教学中，应适当引入针对性的训练，引导学生通过针对性的等价换元训练，掌握换元解题的技巧^［6］.

5 结束语

综上所述，换元解题是一种非常重要的解题方法，通过换元法的应用，可借助新元素代替问题中的“旧元”，另辟蹊径，将原本复杂的问题简单化、将非标准的问题标准化，真正提升学生的解题效率.鉴于此，教师在日常教学中，唯有彻底转变传统的解题教学模式，基于换元法的内涵，将其灵活应用到各类题目的解答中，才能促使学生在日常解题训练中感悟还原解题法的内涵，掌握换元解题的技能等，真正提升学生的换元解题能力.

参考文献：

［1］ 李元杰.初中数学解题中换元法例题解析［J］.数理天地（初中版），2022（18）：29-30.

［2］ 李光寰.换元法思想在初中数学教学中的应用［J］.学周刊，2022（23）：54-56.

［3］ 孟小娟.怎样用换元法解初中数学题［J］.语数外学习（初中版），2021（12）：26-27.

［4］ 于海峰.论换元法在初中数学解方程中的应用［J］.现代中学生（初中版），2021（20）：26-27.

［5］ 赖振华.换元法在初中数学解题中的应用［J］.数理化解题研究，2020（17）：13-14.

［6］ 杨成能.换元法在初中数学解题中的应用分析［J］.读写算，2020（2）：70.