研读标准·理解本质·构建体系·发展思维——2022年中考数学试题命题分析及复习教学建议

谢 慧，李 岩

（北京市朝阳区教育科学研究院；北京市日坛中学）

2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.在此政策背景下，2022年全国各地区中考数学试卷的命制结合自身特点，紧密联系教材，充分挖掘教材中适切的素材，发挥考试命题助推政策落地的作用，引导教学回归课堂，引导教师发挥课堂的教学主渠道作用.从整体上看，2022年中考数学试题的命制以落实立德树人为根本任务，以《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）为依据，体现《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准（2022年版）》）的素养目标，以教材为抓手，适度创新，把控难度，发挥试题育人功能；立足课堂教学实际，紧扣学科本质，突出学习过程，考查数学思维，关注数学核心素养.

一、总体情况分析

2022年全国各地中考数学在试卷结构、题型分布、分数设置等方面均保持稳定，依据《标准（2011年版）》规定的课程目标与课程内容命题，考查主干知识、核心能力和基本思想方法.试卷合理搭建难度梯度，试题表述和设问与学生学习经验一致，易于学生理解，有利于不同水平的学生作答，营造了良好的教育教学评价环境.结合数学学科自身特点，选取源于学生生活及与社会经济发展有关的素材，将社会主义核心价值观自然融入试题中，发挥试题的育人功能.

初中阶段的数学课程内容由“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域组成.从调研的2022年全国各地区151份中考数学试卷可以看出，各地均能够以基础知识和基本技能为载体考查学生的关键能力和数学核心素养.统计的151份试卷中，以考查“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域为重点，试题数量分别为2 001道，1 222道，621道（含有知识重叠），重点考查知识之间的内在联系和整体结构，与教材内容和呈现形式相一致.另外，有45份试卷将综合与实践或融入试题中，或进行独立命题，较2021年中考而言有大幅度的提升.可见，2022年中考数学命题极大地关注了学生学习过程的地位和作用.

“数与代数”领域是从数及其运算，到代数式及其运算，再到方程（组）和解方程（组）、不等式（组）和解不等式（组），再到函数逐步发展的.52份试卷中单独考查了数及其运算，如江苏徐州卷、湖北黄石卷、山东济南卷等；共234道题涉及代数式及其运算，多以选择题、填空题、计算题为主，考查内容主要为列代数式、整式运算、因式分解、分式运算、二次根式的意义及运算.“方程与不等式”部分的495道试题中有约40%考查实际问题，凸显了数学的应用价值.函数是“数与代数”领域的主干知识，调研的2022年全国各地区151份中考数学试卷中共有679道题涉及函数问题.函数是研究事物运动变化规律的数学模型，它既来源于生活又服务于生活，即从生活实际中抽象出函数的有关概念，再运用函数知识解决实际问题.函数的图象与性质是函数内容研究的主体，通过对函数图象的研究，从图形和数量两个角度及其相互联系中，凸显出函数的本质特征是联系和变化.这既是函数教学的主线，又是函数学习的主线.例如，江苏南通卷第24题、吉林长春卷第21题、山东临沂卷第20题等用图象刻画实际生活中变量之间的函数关系；山东淄博卷第20题、辽宁阜新卷第18题、内蒙古呼和浩特卷第21题等利用数形结合的思想方法研究反比例函数、一次函数和二次函数的图象与性质；北京卷第25题、湖北襄阳卷第14题、浙江衢州卷第23题等都是将实际问题抽象成函数模型后，利用二次函数的图象与性质解决问题.

“图形与几何”领域以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心，通过研究基本几何图形的性质，积累有关知识与经验，借助几何直观，运用推理探索图形变化的性质，发现在运动变化过程中图形中的不变量与不变关系，并建立图形与坐标的关系.其中，涉及三角形、多边形、圆等重点图形的试题数量分别为707道，476道，389道，总体较2021年略有提高.其中，多边形和圆两部分试题数量基本不变，可见对于三角形这个基本图形的考查力度有所增加.2022年，有更多地区的中考数学试卷对“图形与几何”领域的考查难度有所降低，在回归基础、突出本质、强化思维与表达、创设情境、渗透育人价值等方面都做了有益的探索，试题设计适当降低了基本图形结构的复杂程度.以尺规作图角度进行考查的试题从2021年的29道上升到51道，可见越来越多的地区关注到了作图是几何学习的重要手段和重要过程，这也是逻辑的起点和思维的开始.例如，辽宁营口卷、河北卷都命制了从图形运动变化的角度通过操作、观察、猜想得到结论，再用演绎推理证明其结论成立的试题；北京卷第28题从图形与坐标关系的角度出发，引导学生探究运动变化过程中图形的不变量与不变关系.

“统计与概率”领域重点突出对统计全过程的考查，在数据的收集、整理和描述的基础上，考查了平均数、众数、方差在分析数据分布情况时的作用，以及样本估计总体的思想，着重考查了学生对数据进行分析和利用数据中提供的信息解决问题的能力.2022年大部分地区中考数学试卷中相关试题的命制取材于学生生活、学习中的常见情境，与学生学习的过程和经验一致.学生在经历统计的全过程中，树立数据观念，发展运用统计思想解决问题的能力.调研的151套2022年中考数学试卷中，统计专题中有182道试题考查数据的收集与整理，其中有19道题考查了调查的方式，有174道题结合统计图表考查数据分析，如山东枣庄卷第19题考查了“数据调查—数据收集与整理—数据分析”的全过程；概率专题中，宁夏卷第22题、广西桂林卷第22题、甘肃兰州卷第21题等考查了用频率估计概率的相关问题，其他地区的试卷中大多考查用列举法求概率，如江苏镇江卷第21题、辽宁鞍山卷第20题等.

二、命题立意与导向

1.扎实基础，落实“四基”要求

由于初中学业水平考试具有考查学生完成义务教育阶段数学课程学习的达标性考核功能.因此，数学的基础知识与基本技能是初中学业水平考试考查的重要方面.从对2022年全国各地区中考数学试题的分析可以看出，其从数学学科角度考查了最基础和最重要的部分；从义务教育性质的角度考查了课程目标所涉及的基本要求.

“数与代数”领域的基础内容主要涉及三大类：对象——数、字母（常量、变量）；运算——四则运算、乘方与开方运算、式的运算；关系——数量关系（相等与不等）、函数关系.在数学教学过程中，它们多以概念、原理、法则的形式出现.

例1（山东·日照卷）下列运算正确的是（ ）.

（A）a6÷a2=a3（B）a4·a2=a6

（C）（a2）3=a5（D）a3+a3=a6

答案：B.

例2（江苏·镇江卷）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响.大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃.有一座海拔为2 350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为______.

答案：-6°C.

例3（辽宁·鞍山卷）先化简，再求值：，其中m=2.

当m=2时，.

考查目标：例1～例3考查幂的运算和正负数的意义，以及分式的运算.

命题意图：例1源于教材，是一道立足整式的核心知识，考查学生运算能力的基础试题.四个选项的设计涉及同底数幂的运算、幂的乘方、整式加减运算，体现了对学生扎实运算基本功的关注.例2通过与现实生活联系，考查正负数的意义及有理数的混合运算.正确理解试题的含义，准确进行计算是解题的关键，体现了数学源于生活又应用于生活.例3考查“数与代数”中的代数式及其运算，涉及整式与分式部分的内容，要求学生通过分式的加、减、乘、除运算对代数式进行化简，考查学生的运算能力.

命题评价：此类试题属于对基础知识和基本技能的考查，主要体现对学生运算能力的考查.充分理解运算对象、准确求得运算结果是学生需要掌握的必要技能.

“图形与几何”领域的基础内容主要涉及三大类：对象——点、线、面（角、线段），平面图形（多边形、圆），坐标；性质——单个图形在形状、度量、变化、位置等方面的性质；关系——两个对象之间的关系，如平行和垂直，全等、相似和对称，距离、大小和位置等.

例4（北京卷）下面几何体中，是圆锥的为（ ）.

答案：B.

例5（江苏·常州卷）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ）.

答案：D.

考查目标：例4和例5要求学生能识别立体图形及其展开图.

命题意图：初中阶段，“图形与几何”领域的内容主要涉及平面几何，高中阶段则是解析几何和立体几何.从初、高中衔接的角度考虑，初中阶段涉及的立体图形的有关内容是命题时主要选择的知识载体，所以这类试题是学生会做且内涵丰富的试题.

命题评价：例4考查立体图形，例5考查立体图形的展开图.以上两道题贯彻了《标准（2011年版）》中“通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等”的要求.

例6（湖北·十堰卷）如图1，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（ ）.

图1

（A）两点之间，线段最短

（B）两点确定一条直线

（C）垂线段最短

（D）三角形两边之和大于第三边

答案：B.

例7（山东·临沂卷）如图2，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA.若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）.

图2

（A）-2 （B）-3 （C）-4 （D）-5

答案：B.

考查目标：例6考查学生用两点确定一条直线、两点之间线段最短等基本事实解释生活问题的能力；例7考查直线和数轴的相关概念.

命题意图：《标准（2011年版）》中明确要求学生会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义，掌握两点确定一条直线、两点之间线段最短等基本事实.两道试题都考查了学生对直线相关概念的理解.

命题评价：例6是对基本事实的考查，要求学生能够运用数学原理解释生活现象，题面简洁、明确，素材基本来源于教材，是学生熟悉的情境，落实了基本数学活动经验.例7借助数轴考查线段的数量关系和数形结合思想，体现了“学考合一”，是学生应知必会的核心知识.

例8（北京卷）如图3，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF.

图3

（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；

（2）若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.

答案：略.

考查目标：此题考查学生运用平行四边形的性质与判定、菱形的判定定理解决简单问题的能力.

命题意图：此题以特殊平行四边形为考查主体，通过图形与图形之间的全等关系，结合三角形、四边形等图形的基本性质，考查图形与图形之间的逻辑关系.此类试题具有一定的综合性，通常以中档题为主，解答题居多.其中也充分体现了对应思想、转化思想和模型观念.

命题评价：此题为综合性几何证明题，定位恰当、难度适中，要求学生具备探寻条件与结论之间逻辑关联的思维能力，符合《标准（2011年版）》的要求.第（1）小题中，证明四边形EBFD是平行四边形，既可以运用全等三角形的性质，也可以利用平行四边形的性质，体现了平行四边形性质的简洁性，是“图形与几何”领域的核心内容.第（2）小题添加条件后，要求进一步证明四边形EBFD为菱形.两道小题之间有内在的逻辑联系，考查学生对平行四边形和菱形的性质，以及它们之间的知识联系的掌握情况，特别是对四边形的对角线性质进行了关注，考查了学生在合情推理、演绎推理等方面的发展水平.此题的考查角度与学生开展学习的过程相一致，能够引导教师在教学的过程中鼓励学生对已经学习的几何定义、性质、判定串联成线，形成知识结构网络.

“统计与概率”领域的基础内容主要涉及两大类：对象——数据、概率（频率）；意义——统计量的计算及推断，概率的计算.统计部分涉及的内容主要包括数据的收集、表示、处理，数据统计量的计算及其意义.部分地区中考试题的命制关注了统计全过程的体现和统计图表的运用，要求学生借助常见的真实背景分析具体数据之间的关系，给出适当的方案，提出决策；概率部分包括概率的含义、简单古典事件概率值的计算等.这类试题中涉及的背景多为纯数学或简单的实际背景，且结构简单，主要用于考查学生对相关基础知识和基本技能的掌握情况.

例9（江苏·徐州卷）如图4，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量.例如，钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4*2.8 mm，24.4 g”是指该枚古钱币的直径为45.4 mm，厚度为2.8 mm，质量为24.4 g.已知这些古钱币的材质相同.

图4

根据图中信息，解决下列问题.

（1）这5枚古钱币，所标直径的平均数是____，所标厚度的众数是_____，所标质量的中位数是_____；

（2）由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如表1所示.

表1

试应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克.

答案：（1）45.74，2.3，21.7；

（2）“鹿鹤同春”的实际质量约为21.0 g.

考查目标：此题要求学生能够理解平均数、中位数、众数等统计量的概念和统计意义.

命题意图：此题以中国古钱币为背景，考查学生的统计相关知识、数据统计意识，以及运用统计数据进行推断和决策的能力.

命题评价：此题以基本的统计知识（平均数、中位数、众数等）为考查载体，通过实际问题引导学生体会基本统计方法，即收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、应用数据，并运用所得数据进行推断和决策，体现了基本统计思想.这是统计学习的本质要求，同时也引导学生在解决问题过程中体会“统计是进行判断、决策的有效手段”.尤其是对平均数含义的考查，体现了统计在生活中的作用.

从以上三个领域的考查可以看出，2022年中考数学试题大多能体现初中学业水平考试的要求，在考查基础知识和基本技能的同时注重落实对基本活动经验、基本数学思想的考查；注重试题设问角度的创新性，设问方式的开放性，思维的层次性和发展性，以及试题的应用性及育人功能，凸显素养立意.

2.突出过程，重视知识本质

2022年全国各地区中考数学试卷除了考查知识外，更多关注了知识的生成过程与学生的学习过程，考查角度体现了从“知其然”到“知其所以然”的转变，部分地区中考试卷的考查指向了“何由以知其所以然”.除了关注学生对结论的理解、记忆，也关注了获得结论的方式、方法及学习的全过程.通过对知识学习过程的考查，引导教学关注知识本质，加强学生对数学知识的理解，通过对数学本质的思考，更好地理解实际生活，解释实际生活中的现象.

例10（北京卷）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

考查目标：此题要求学生能证明三角形内角和定理，以及运用平行线的性质解决简单的问题.

命题意图：此题考查三角形内角和定理的证明，素材来源于教材，体现了知识的形成过程和研究过程，旨在引导教师的教和学生的学不仅要关注结果，更要关注形成结果的过程.此题给出了两种不同的辅助线添加方式，学生可以自主选择其中一种进行证明，体现了鼓励学生从多个角度思考问题的教学导向，同时尊重和鼓励学生的自主选择权.

命题评价：三角形是学生在初中阶段的几何学习中第一次对一个图形进行系统性学习，三角形内角和定理的证明也是学生第一次接触完整的逻辑推理过程，第一次接触添加辅助线.如何将小学阶段的学习经验和操作经验转化为逻辑推理的过程，充分体现了通过辅助线达到转化问题的目的，其中也蕴含了图形的运动变化.

例11（北京卷）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图8所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a＜0).

图8

某运动员进行了两次训练.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表2所示.

表2

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x-h)2+k(a＜0 )；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(x-9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1________d2（填“＞”“=”或“＜”）.

答案：（1）该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.函数关系式为y=-0.05(x-8)2+23.20.

（2） ＜.

考查目标：此题要求学生能够根据给定坐标求出满足关系的二次函数关系式，能运用二次函数的图象和性质解决实际问题.

命题意图：此题考查了函数学习的全过程.全国各地区中考对于函数的重视程度明显提高，类似考查角度的试题还有河南卷第21题、江西卷第22题、湖北武汉卷第22题、浙江台州卷第24题等.

命题评价：此题以北京冬奥会单板滑雪大跳台比赛为背景，要求学生分析运动变化的过程，建立函数模型求解.第（2）小题要求学生比较水平距离，方法灵活多样，可计算比较，可画图比较，也可以通过分析抛物线开口变化来比较.不同的方法体现了学生的不同思维水平.能够理解函数图象变化本质与解析式中自变量的系数有直接关系的学生可以通过几何直观、逻辑推理等多种角度解决此问题.

3.关注情境，重视文化传承

情境是学生理解数学知识的基础，也是发展学生数学抽象和数学建模能力的重要途径之一.2022年全国各地区中考试题在情境设置方面，关注了时代性、跨学科性、应用性，反映了现代科技成果和时代的进步，同时凸显了情境的公平性和数学本质蕴含的丰富性，以及与试题设问的匹配性.

例12（山东·枣庄卷）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念.如图9，它的主体形状呈正六边形.若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE的值为______.

图9

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例13（四川·绵阳卷）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫.如图10，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为A(2，-3).则顶点C的坐标为（ ）.

图10

答案：A.

考查目标：例12和例13要求学生能运用锐角三角函数、勾股定理、正多边形与圆、等边三角形的性质和判定、坐标与图形的相关知识解决实际问题.

命题意图：两道试题均以2022年北京冬奥会主火炬“雪花”图案为现实情境，让学生从中提取有效信息，构建数学模型.但两道试题的考查角度略有不同.例12侧重求正多边形中相关角度的三角函数值，体现了设计图案的特殊性.例13侧重运用平面直角坐标系对“雪花”进行量化分析，体现了代数与几何的统一性.虽然两道试题的考查角度有所不同，但都充分挖掘了素材中蕴含的数学原理，考查了学生的数学抽象能力，强化了学生的数学应用意识.

命题评价：两道试题的设计情境真实，符合实际，在考查相关知识技能的同时，突出了“数学来源于现实生活，又服务于现实生活”的理念，彰显了数学的育人价值，体现了初中数学学习既要使学生有数学知识的增长，也要使学生有数学思维能力发展的课程目标和评价理念，引导教师在教学中应该揭示知识蕴含的数学本质及其体现的数学思想，帮助学生厘清相关知识之间的联系和区别，发展数学核心素养.

例14（山东·潍坊卷）筒车（如图11（a））是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水.如图11（b），水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行；设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2=BD·CD，连接AB，AC.

图11

（1）求证：AD为⊙O的切线；

（2）筒车的半径为3 m，AC=BC，∠C=30°.当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度.（精确到0.1 m，参考值：.）

答案：（1）证明略.

（2）筒车在水面下的最大深度约为0.9 m.

考查目标：例14要求学生应用圆周角定理、切线的相关概念、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识解决实际问题.

命题意图：此题不再要求学生单纯地在几何图形中解决求边长的问题，而是通过数学问题的求解解决实际问题，引导学生运用数学的眼光观察现实世界，运用数学的模型解释生活实际问题.在用数学的方法解决实际问题的过程中，需要学生灵活运用所学知识分析问题.

命题评价：此题以我国古代利用水力驱动的灌溉工具——筒车为素材，让学生体会古代劳动人民的智慧.通过数学抽象引导学生感受生活中蕴含着丰富的数学知识和物理知识.此题首先引导学生从实际问题中抽象出几何图形，需要学生具备迁移能力，并能够将数学问题与实际问题建立关联.第（1）小题考查切线的证明，区别于常规考法，将切线的实际意义蕴含其中；第（2）小题考查了角的数量关系运算，根据平行和垂直等位置关系，构造特殊三角形，利用锐角三角函数求出最大深度.此题将观察、猜想、推理、计算融于一体，体现了“问题情境—建立模型—求解模型—解释推断”的数学建模过程.

4.体现应用，凸显学科价值

2022年全国各地区中考数学试题选择具有时代气息的素材和具有优良数学文化底蕴的经典问题作为载体，关注数学与生活的联系，进一步加强对学生数学应用意识的考查，提高学生对数学的整体认识和理解，体现了数学的应用价值，既有利于实现初中学业水平考试目标，较好地体现育人功能，也对初中数学教学起到了良好的导向作用.《标准（2022年版）》中指出，通过数学的眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式；应用意识主要是指有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题；能够感悟现实生活中蕴含着大量的与数量和图形有关的问题，可以用数学的方法予以解决.应用型试题是指需要用数学的思想和方法来解决源于现实世界的、有实际背景的一类问题.此类试题有利于考查学生对相关知识和方法的理解水平，以及解决问题的意识与能力，有助于学生体会数学的应用价值和文化底蕴.

例15（浙江·金华卷）图12是光伏发电场景，其示意图如图13所示，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图14）.绕各中心点（A，A′）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处.已知AB=A′B′=1 m，EB=8 m，，在点A观测点F的仰角为45°.

图12

图14

（1）点F的高度EF为_____.

（2）设∠DAB=α，∠D′A′B′=β，则α与β的数量关系是______.

答案：（1）9 m；（2）α-β=7.5°.

考查目标：例15要求学生能根据平行线的性质探究角的关系，根据三角函数值求角的度数，应用解直角三角形知识解决实际问题.

命题意图：此题需要利用三角函数来解决实际问题，也是初中阶段应用型问题考查的知识点之一.此题既是实际操作问题，也是三角函数题，又是几何图形题.虽然集多种功能于一身，但是考查难度较小，问题的设计充分体现出对数学应用意识的渗透.

命题评价：光伏发电场景体现了科技的发展，抽象出的数学模型简单易懂，除考查数学知识外还考查了学生的数学阅读能力，使学生更好地体会数学的应用价值和工具性作用，以及数学应用的广泛性.

例16（北京卷）甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如表3所示.

表3

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案_______（写出要装运包裹的编号）；

（2）如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案_______（写出要装运包裹的编号）.

答案：（1）ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD）；（2）ACE.

考查目标：例16要求学生能够运用方程、不等式等相关知识建立数学模型解决实际问题.

命题意图：此题从具体的情境出发，考查学生的数学阅读能力和逻辑推理能力，引导学生用数学的眼光发现问题，并将其转化为数学问题，进而用数学的思维探索、分析和解决问题.

命题评价：此题的解决思路多样，解决方法具有开放性，要求学生能选择恰当的方法解决问题，既可以列举出所有可能性，也可以借助方程或不等式讨论量与量之间的关系，能对结果的实际意义做出解释，有利于发展学生的数学应用意识，体现了数学在解决实际问题中的工具性作用.

5.关注思维，注重探究，体现学科素养

探究型试题是考查“数学思考”与“问题解决”课程目标落实情况的有效载体，需要学生对某一问题进行深入思考与研究，其解决过程没有既定的公式或者解决途径可以套用，要通过猜想或者证明的过程得到结果.《标准（2011年版）》指出，数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式.通过经历独立的数学思维过程，学生能够理解、分析、解决简单的数学问题和实际问题；能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学“再发现”的过程；发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神.而情境类试题中的探究性问题就需要学生通过数学思维，建立数学对象之间的逻辑联系，并且运用符号运算、形式推理等数学方法，分析、解决数学问题或者实际问题.

关于“综合与实践”领域下的探究型问题，2022年全国各地区中考试卷中均有不同形式的体现，呈现方式有阅读理解型问题、操作型问题、开放型问题等.此类问题有利于考查学生的数学探索能力，有利于评价学生的归纳、类比、概括、推理等思维能力水平.

例17（四川·乐山卷）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案如下.

某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究.

（1）【问题探究】如图16（a），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH.试猜想的值，并证明你的猜想.

（2）【知识迁移】如图16（b），在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH.则的值为_______.

（3）【拓展应用】如图16（c），在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF.求的值.

图16

考查目标：例17要求学生运用全等三角形、相似三角形的性质和判定，以及四边形和直角三角形的性质解决综合问题.

命题意图：此题是一道以四边形为载体命制的综合题，考查了旋转的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质.

命题评价：此题以问题为导向，考查学生积累数学经验、增强应用意识的能力.学生可以通过观察、发现及证明，运用所学基础知识和基本证明方法开展对图形的探究.此题虽然难度较大，但是素材依旧来源于教材，引导教学重视教材、回归教材.

2019年教育部发布的《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中提出，各地要取消初中学业水平考试大纲，严格依据义务教育课程标准命题.从2022年全国各地区中考数学试题的命制中可以看出，命题的导向性还是十分明确的.一是尽可能挖掘教材中的素材，问题的设计更加基础，突出对基础知识、基本技能、核心概念的重点考查，提高了对课堂作为教学主阵地的重视程度；二是以科学和文化作为情境的试题重点考查学生运用数学知识解决问题的能力，充分挖掘数学学科的育人功能；三是关注探究和实践过程，引导教学注重知识的形成过程和学生的学习过程，引导学生在学习中要能发现、会表达、肯探究，体会数学本质，体现数学核心素养的导向.

三、复习教学建议

1.学习课程标准，用好教材，立足课堂教学

综观2022年全国各地区中考数学试题，从命题的趋势来看，引导教学重视课堂、重视教材，鼓励教师挖掘教材中的素材，促进学生积极探究，重视知识的形成过程，让学生经历几何图形的观察、构成要素关系的思考、有逻辑的数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言，增强学生认识真实世界、解决现实问题的能力.因此，要求教师用好教材，不仅要关注教材中的定义、定理、例题、习题，更要关注引言、思考、探究、归纳、衔接性语言、小结反思等栏目，从教材中寻找数学知识再发现、再创造的途径、过程和方法.教师只有充分理解教材，才能更好地用教材教学.

在课堂教学过程中，一方面，教师要以教材内容为教学载体，设计和选择能够引发学生思考的教学方式，注重采用启发式、探究式、参与式、互动式等教学方式；另一方面，要强化情境的设计和问题的提出，注重发挥情境设计和问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，可以从社会生活、科学和学生已有的数学经验等方面入手，围绕教学任务，选择贴近学生生活经验、适合学生年龄特点和认知层次的素材，以体现数学学科的育人功能.

2.构建单元，形成结构，整体设计教学

《标准（2022年版）》中明确提出，要整体把握教学内容，注重教学内容的结构化，注重教学内容与核心素养的关联，重视单元整体教学设计.

例如，在“数与代数”领域中，运算能力应该是贯穿于学习始终的，教师可以尝试从明确运算对象、理解运算法则、求得运算结果、优化运算过程的角度，形成基于发展学生运算素养的单元教学设计；改变过于注重以课时为单位的教学设计，合理整合教学内容，分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养的主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动的各个环节中.

再如，在“图形与几何”领域中，知识内容比较多，要在有限的题量和考试时间内把学生对于几何图形的理解和学生学习过程的获得考查出来，这就需要教师在复习过程中帮助学生从不同的角度和层次再次审视同一个知识点，通过形成知识结构，利用单元教学设计逐渐帮助学生站在较高的视角，完整地审视初中平面几何图形的性质，从而达到事半功倍的效果.在“图形与几何”领域，通过图形的变化再次重构图形的性质是学生需要具备的能力.因此，“图形的变化”“图形的性质”“图形与坐标”三个专题实际上是紧密联系的三个板块.

在中考复习教学中，除了要加深学生对图形的全面认识，更要使学生系统掌握教材知识，形成良好的数学认知结构.这是教师应做、能做且必须做好的工作.“系统掌握”是指学生头脑中有清晰的、稳定的、可辨别的、迁移能力强的数学知识结构图，不仅要理解知识及其中蕴含的数学思想方法，而且要明确知识之间的逻辑关系.复习课中，教师要让学生在进一步明晰概念内涵的基础上，把已学过的概念、定理、公式等用前后一致的数学思想串联起来.这就必须让学生重读教材、梳理知识、形成专题、积累经验，构建逻辑主线.从知识角度来讲，“图形的性质”专题主要涉及三角形、平行四边形、圆等基本图形；“图形的变化”则包括平移、轴对称、旋转三种变化，考查的方式主要是借助直线型的基本图形和图形变化的性质来研究图形构成要素之间的关系.复习的主要任务之一就是采用横向联系的方式，抓住运动变化的主线，突出知识之间的联系，构建知识网络，深化学生对知识的理解.

3.理解原理，提升思维，突出素养教学

数学的基本技能是能够应用知识解决问题的载体.以实际问题为背景，开展学科综合实践活动或跨学科综合实践活动，能够帮助学生将实际问题转化为数学问题.从命题的角度来讲，也需要学生经历完整的探究过程，除了考查基本技能，还要考查其中蕴含的数学原理，要求学生理解数学本质.因此，在复习备考的过程中，要让学生明确题目之间的联系及其背后考查的数学原理，探求数学的本质.数学思想方法是对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略，是沟通基础知识与基本技能的桥梁，是数学知识的重要组成部分，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，其蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中.因此，在复习时，教师要引导学生注意体会教材例题、习题及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养学生用数学思想方法解决问题的意识.数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华.在复习过程中，教师要注重培养学生在解题中提炼数学思想的习惯，使学生能够在活动中积累数学活动经验，探索解决问题的基本思路和基本逻辑，在问题解决的过程中提升能力，发展数学核心素养.

总而言之，2022年全国各地区中考数学试卷都突出了“平稳”这一主题，适度创新，围绕主干知识，注重对学生学习过程和学习方法的考查，凸显素养导向，关注学生的持续发展.因此，在复习过程中，教师不仅要引导学生体会试题所蕴含的理念，关注知识的融合、结构的梳理，使之系统化、条理化，更要关注学生参与学习过程的完整性，帮助其形成数学思维，提高逻辑推理能力、数学阅读能力，以及综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，真正做到学懂数学知识、体会数学本质、感悟数学思想，学会并主动运用数学的思维创新解决问题.