折纸活动：架起理论知识和实践的桥梁

陈修文

摘 要：本文意图通过折纸活动，获得轴对称性质的直观感知，让学生体验从折等腰三角形迁移到折等边三角形方法的探索过程，在折等腰三角形探索过程中加深对教材理论知识的进一步认识，从而反过来再利用理论知识来指导实践的方法，探索如何折等边三角形方法，把理论知识和生活时间相结合.

关键词：折纸；轴对称；等腰三角形；等边三角形

1 教材背景

本节课是苏科版八年级上册第二章末尾的一节数学活动课，教材意图通过折等腰三角形和等边三角形的探究过程及说理过程，对本章的知识进行回顾复习，进而构建知识结构和方法结构.笔者曾听过一次从章节复习课的角度上这节课，从而对这节课有了一些新的认识，笔者从探究课的角度出发，在探究过程中感知实践中存在的知识，进行知识的建构；再运用到新的探究过程中，利用知识指导探究的方法，进行方法的建构. 本节课以折纸活动为载体，让学生玩中学；以说理为手段，让学生做中思；以思维为核心，让学生思中得.学生“手脑并用”，达到“启思明理”、“整体建构”的效果.

2 教学过程及设计意图

2.1 情境创设

师：请同学们欣赏.（用多媒体展示一组生活中的折纸图案）

师：观察后你有什么发现？

生1：都是轴对称图形.

生2：每个图形沿着对称轴折叠，被对称轴分开的两部分完全重合.

设计意图：给学生展示一组漂亮的轴对称折纸图案，让学生感知折纸的趣味、作用和文化，感受到数学与生活的联系，激发学生探究折纸的欲望.

2.2 活动探究

热身活动 ：用长方形纸片折三角形

师：你能用一张长方形纸片折一个角形吗？动手试试看，并尝试画出图形.

学生完成情况：一部分学生折法如图1，绝大多数的学生折出的如图2所示，少数其他较复杂折法，全部学生均能完成活动.在画图过程中，绝大部分的学生遇到困难，因此在本节课的第一个图的繪制过程中，笔者在黑板上演示图形的画法.

师：上述两种折法得到的三角形是什么三角形？请说明理由.

生3：图1得到的是直角三角形.因为长方形纸片的四个角是90°，所以是直角三角形.

生4：图2得到的是等腰直角三角形.由折叠可以得到∠1＝∠2，且∠1+∠2＝90°，所以∠1＝∠2＝45°，∠B＝90°，可知△ABC是等腰直角三角形.

生5：关于图2有不同的解释，因为是长方形的纸片，那么纸片的对边平行，可以得到∠2＝∠ACB，折叠得到∠1＝∠2，所以∠1＝∠ACB，且∠B＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形.

师：在上述折纸的过程中用到了哪些知识？

生6：长方形纸片的特征，四个角均为90°，对边平行.

生7：翻折的特点，翻折可以得到轴对称图形，就会有轴对称图形的一些特征.

设计意图：热身活动是一个非常简单的开放性问题，学生通过简单的折纸操作，初步尝试获得成功，激发学生探究的激情，在简单图形的基础上尝试画图、说理，一方面回顾本长方形纸片和轴对称图形的基本特征，另一方面锻炼学生从实际纸片抽象出数学图形的能力和利用所学知识进行说理的能力，从而进一步巩固所学的知识，并初步感性的感知数学知识和实践相结合.体验简单折纸探索，图形说理的过程，为折等腰三角形和等边三角形的过程做铺垫.

师：通过热身活动，同学们能否尝试折出等腰三角形呢.请同学们先独立探索折法并画出相应图形，再小组内交流，比比看哪一组折法更多.

活动一：用长方形纸片折等腰三角形

1. 折一折：你能用一张矩形纸片折一个等腰三角形吗？（最多折2次）

2. 画一画：尝试画出图形.（折痕用虚线表示）

3. 说一说：你能说明理由吗？

生8：把长方形纸片对折，然后剪下直角三角形，再展开，就可得到一个等腰三角形.理由是有两条边相等的三角形是等腰三角形.

生9：我认为还有不同的解释.折叠并剪下直角三角形后，得到两个重合的三角形，重合的角是相等的，因此得到两个相等的角，根据“等角对等边”可以判定这个三角形是等腰三角形.

师：很好，这两位同学利用了轴对称的性质，很快就可以构造两条相等的边或两个相等的角，可以从“等腰三角形的定义”和“等角对等边”两个方面得到等腰三角形.

生10：热身活动的图2得到的三角形是等腰三角形.

师：这个操作方便，得到三角形确实符合要求，但这个等腰三角形比较特殊，不仅仅是一个等腰三角形还是一个直角三角形.你能否借鉴图2，进一步折出一般的等腰三角形呢？

生11：仿照图2，改变折痕的位置，如图3，因为长方形的两条长边平行，所以∠3＝∠1，又因为∠2是由∠1折叠得到，所以∠2＝∠1，所以∠2＝∠3，故△ABC是等腰三角形.

师：在这个过程中，蕴含了我们常见的一个基本的数学模型，谁来谈谈？

生12：角平分线加一条平行于角的一边的直线，可以得到等腰三角形.

师：很好，在平时解题过程中，我们要善于总结、归纳、建模.

师：回顾折等腰三角形的过程，有哪些常见的折法？用到了哪些知识？

生13：利用轴对称的性质、等腰三角形定义和等角对等对边等知识，可以从折两条相等的边和折两个相等的角两个角度来折等腰三角形.

师：这位同学总结得非常好！折等腰三角形时，我们可以先想一想等腰三角形图形的特征，从而找到解决问题的思路.

设计意图：学生通过折纸实验，根据“等腰三角形的定义和判定”，尝试用不同的方法折出等腰三角形.活动过程中，让学生进行操作、验证、说理，既巩固等腰三角形的判定方法，又很好地建构“平行线+角平分线得到等腰三角形”基本模型.活动的最后通过简短的总结，让学生形成对折等腰三角形的整体性认识.

活动二：用正方形纸片折等边三角形

1. 想一想：正方形纸片有什么特点？

2. 折一折：你能用一张正方形纸片折一个等边三角形吗？

3. 画一画：尝试画出图形.（折痕用虚线表示）

4. 说一说：你能说明理由吗？

生14：折法如图4，因为正方形的四边相等，因此我想利用折叠把正方形的边折到同一个三角形中.画出图形如图5，A′B＝AB，A′C＝CD，又因为AB＝BC＝CD，所以A′B＝A′C＝BC，因此通过等边三角形的定义“三边相等的三角形”可以判定△A′BC是等边三角形.

师：这位同学很好地利用了正方四边相等的特征，利用折叠得到三边相等，因此从定义出发可以很快地得到一个等边三角形.你还有没有其他的思路可以折出等边三角形呢？

生15：根据等边三角的判定方法，还可以折三个角都是60°的三角形，或者折一个角为60°的等腰三角形.

师：能利用所学知识来寻找解决问题的方法，真不错！那如何折出60°的角呢？

学生在折60°的角的过程中，遇到了困难.

师：能否从刚刚的图形中获得一些提示呢？不妨计算图5中角的度数.

生16：折法如图：

通过计算可以得到图4中翻折的角度为15°，可以利用同样的方法在同一顶底处再构造一个15°，这要用（90-15-15）°＝60°，就能得到图9中的等边三角形.

师：这位同学的非常聪明，这么快就能找到解决问题的方法.同学们可以在课下再想一想还有那些折60°角的方法，从而用寻找到折等边三角形的其他方法.

设计意图：折等边三角形是难度较大的探究活动，茫无目的的尝试很难解决问题，这就需要学生先思而后行，自然而然地引导学生回顾等边三角形的定义和判定方法，在理性分析的基础上给与学生充足的时间去实践探究，因此，通过设计折等腰三角形、等边三角形的活动来让学生玩中学，做中思，让学生经历操作、探究、说理的过程，培養学生动手能力、空间观念和想象意识，激发学生对数学探究活动的兴趣，发展合乎逻辑的思考和有条理的表达能力.

2.3 归纳小结，拓展提升

师：这节课在知识和方法上你有什么收获？你还能提出哪些问题？

生17：我学会了利用纸片折叠等腰三角形、等边三角形.从定义和判定不同的角度出发，可以有不同的方法进行折叠.

生18：折纸的过程中，主要是利用了轴对称性.

生19：在折叠之前，我们要先想一想需要折叠的图形的特征，思考折叠的方向是什么，然后再动手去尝试，否则不容易实现目标.

师：本节课我们通过做折纸实验活动，在折等腰三角形这样稍微简单的问题的探究过程中，形成方法的知识和实践的桥梁，从而在折等边三角形这样较难的问题中，反过来利用知识来寻找解决问题的方法进而解决问题.

师：你有什么新的发现或者问题与大家交流吗？

生20：怎样用长形纸片折出等边三角形？

生21： 用长方形纸片还能折出哪些几何图形？

设计意图：通过引导学生进行总结反思，帮助学生形成知识结构和方法结构，内化基本活动经验；通过让学生提出新的问题，进一步培养学生的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.这样，学生带着问题出课堂，把探究的热情延伸到课外.

3 教学感悟

本节课从课型上来说是一节数学实验课，课堂以活动为手段、以问题为载体、以思维为目标，面向全体学生的通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动.打破惯性的数学课堂的知识学习和做题练习的模式，通过活动建构知识、探究方法，从而架起理论知识和生活实践的桥梁.笔者认为本节课中获得成功的地方具体体现在以下几个方面：

3.1 设置活动的梯度，使课堂面向全体学生

本节课设置从易到难的不同活动，考虑个体的差异性，让“怕数学”学生敢于挑战问题、让“尖子生”可以进一步提高；另外课堂呈现出适当的开放性，尊重每个学生的个性，鼓励学生敢于提出不同的实验思路、不同的想法.通过难度的阶梯性和探究方法的开放性两方面让所有学生都能各显神通，获得探究的成就感.比如学生尽可能用多种方法折等腰三角形，鼓励学生上台展示自己的折纸过程并说明理由，尊重每个学生的数学现实，每一位学生都能从中体验学习的快乐和成就感，达到总结经验与升华认识的目的，积淀数学素养，真正让每一位学生都能获得发展.

3.2 让学生成为课堂的主体

传统的数学课，学生往往是被动式地记住老师或课本呈现的知识和方法，再进入“题海”，学生觉得课堂枯燥无味.而折纸实验课引导学生从生活经验和已有的知识背景出发，通过实验形成感性认识；通过画图和说理的过程建构知识和方法结构，建立知识和方法之间的联系从而掌握知识和方法.通过活动产生对数学的好奇心、求知欲，体验数学的乐趣，变“苦学”“厌学”到“乐学”“好学”的境界，学生在“做中学”、在“创中学”、在“研中学”，充分突显学生是学习的主体.

学生通过折纸实验，探究多种方法折等腰三角形和等边三角形，让学生进行操作、验证、说理，将零散的知识结构化、单一的图形模型化、抽象的思维显性化、静态的图形动态化，关注知识点间的综合联系，形成对知识的整体性认识.经历折等腰三角形的探究过程，体会如何利用理论知识解决问题的过程，从而在探索折等边三角形时，利用理论知识来寻找解决问题的基本方向，再进一步利用知识指导实践.学生在做中思，在思中行，通过数学实验调动学生解决问题的欲望，激发学生探究的兴趣，促使学生边操作边思考，边思考边建构，边建构边完善，折纸活动真正做到通过探究和操作架起知识和实践的桥梁，真正使数学课堂更加精彩、精致！

参考文献：

［1］ 杨裕前，董林伟.义务教育教科书数学八年级（上册）［M］.南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016.

［2］ 黄玉华，黄容华.数学实验：打开复习课的一扇窗［J］.中学数学，2017（8）：26-29.