巧思维“一题多解”，妙视角“一题多变”

刘晓

摘 要：平面几何与平面向量的交汇与融合问题，自然和谐.本文基于一道以三角形重心为场景的平面向量问题，从不同思维视角进行“一题多解”，拓展数学思维与技巧方法，合理深入探究，进行“一题多变”，实现数学基本技能与数学核心素养的统一，引领并指导解题研究与应用.

关键词：三角形；平面向量；重心；余弦定理

以三角形为平面几何场景，巧妙融入平面向量的相关知识来设置综合问题，是高考命题中比较常见的一类基本考点.此类问题，既有“形”的结构特征，又有“数”的本质属性，同时巧妙融合平面几何、解三角形、平面向量、三角函数等场景，交汇函数与方程、不等式、平面解析几何等相关知识，成为综合性应用问题中的一个亮点，倍受命题者青睐，成为高考命题中的一个热点.

4 教学启示

4.1 技巧方法归纳，思维视角总结

由于平面向量是一个兼备“形”“数”于一体的基本知识点，成为同时沟通几何与代数的一种基本工具，这也为解决平面向量综合问题提供基本的解题思路——几何法与代数法，成为多种数学意识并存，特别是数形结合意识应用的重要场景.

基于平面向量问题求解的基本思路，几何法思维往往是通过平面几何、平面解析几何等图形或曲线的基本特征，合理构建相应的辅助线，通过逻辑推理加以直观想象与数形结合；代数法思维往往是通过基底法的向量线性运算、坐标法的坐标运算等来处理，将问题转化为相应的代数运算问题，通过数学运算加以化归与转化.

4.2 倡导“一题多解”，实现“一题多变”

涉及平面向量的综合问题，基于自身特殊工具性，往往是“一题多解”的基本场所，合理从“形”的视角与“数”的视角等层面加以分析与展开，探求解决问题的“通性通法”，也是命题的基石，要加以合理把握；同時开拓思维，寻觅问题破解的“巧技妙法”，也是基于“通性通法”的进一步拓展与提升.

基于问题的“一题多解”，加以合理变式与巧妙拓展，从而进行巧妙的“一题多变”，反之也可以在变式过程中寻找“通性通法”，在探究中全面升华数学能力，创新意识与创新能力也会得到一定程度的培养与提升.