数学问题提出研究的进展和前沿

蔡金法，陈算荣

数学问题提出研究的进展和前沿

蔡金法1，陈算荣2

（1．特拉华大学 数学系，特拉华 纽瓦克 19716；2．扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002）

研究概述了国际数学问题提出研究，并介绍专栏中的5篇论文．特别是，从以下4个方面讨论了问题提出的进展和未来的方向：（1）问题提出作为了解学生和教师思维的手段；（2）基于问题提出学习的教学模式（P-PBL）；（3）问题提出过程；（4）问题提出和批判性思维．

问题提出；问题提出研究；问题提出过程；P-PBL；研究前沿

自从2019年《数学教育学报》开设关于问题提出的专栏，已经过去了4年，问题提出的研究仍然如火如荼地进行，不仅在学术期刊上陆续发表特刊[1-2]，还有许多相关领域的书籍相继问世[3-4]．甚至ICME14和ICME15把原来问题解决的TSG，更改为问题提出和问题解决的TSG．这个进展也反映在不同的国际会议当中，比如在2022年的国际数学教育心理学大会上有问题提出的专题研究．在2023年的国际数学教育心理学大会中的一个年轻学者培训中，问题提出作为一个大会报告．同时，在2023年的国际数学建模教学大会上，问题提出也作为大会的一个专题讨论．Springer目前正在计划出版第二本关于问题提出的数学教育研究专著，国内在西南大学宋乃庆教授和蔡金法教授的带领下，也正在准备出版问题提出的专著．这一切表明了问题提出教学研究的受重视程度．其实它的理由很简单，因为问题提出教学不仅能够加深学生对数学的理解，而且能够促使学生对数学情感的发展及创造力和批判性思维的培养．

目前，数学问题提出研究的重要性，似乎不需论证，学界普遍接受它作为一个具体的抓手来开发学生的创造力和批判性思维．同时，在中国2022年的数学课程标准中[5]，有非常醒目的篇幅来讨论问题提出的重要性、问题提出的具体内容，以及具体课堂上的实践．实际上，在新的课程标准中有八十多次提到了问题提出．

在问题提出被广泛接纳并持续深入研究的大背景下，问题提出专栏呈现在读者面前．这一期共有5篇文章，在几个方面推进了问题提出的研究．

1 问题提出作为了解学生和教师思维的工具

问题提出作为工具测量学生和教师的思维是问题提出研究的一个重要方面．早期研究侧重在学生和教师能提出什么样的问题，最近的研究则侧重在以问题提出为工具测评教师或学生对特定数学概念的理解．这一进展不仅展现了用问题提出作为评估工具的可行性和优势，更是为教师用问题提出进行教学奠定了基础．

孙枚等用“问题提出”作为研究手段来诊断和评估小学数学教师对百分数这一重要概念的理解．百分数这一概念至少具有“数、比、比率、统计量和算子”5种不同的意义[6]，为了了解教师的理解表现，通过精心设计问题提出的测试问卷，要求99位教师围绕“40、50、%”3个信息提出4个难度逐渐提升的数学问题，即：简单问题、中等问题、偏难问题、较难问题，深入洞察小学数学教师对百分数概念的理解表现．研究发现：教师心目中的百分数集中在比的意义上，只有少量教师提到数和统计量，对比率和算子两种百分数的意义没有涉及．

在其另一份关于百分数概念的问题解决测试中，对这99位教师的答题状况进行分析后发现：教师对百分数作为基本的“比”的概念是清晰的，然而当比的数量关系以及表达的语言更为复杂时，教师对百分比的概念理解和问题解决就会出现偏差．这一研究还发现：相较于问题解决，问题提出能更好地帮助评价者或研究者了解教师或学生对百分数的理解程度或类型．可见，问题提出作为一种评估的方式，有其独特的评价作用．

孙枚等的研究再次说明用问题提出测试教师理解的适合性和独特性，这也为教师用问题提出教百分数创造了条件．值得指出的是，在中国个别地区，已经将问题提出作为年终期末考试的考题之一，而且在大型的测试中，也包括少量的问题提出．今后的研究要注重问题提出的考题编制及评分标准制定．同时，也需要进行问题提出考题及评分标准的信效度研究．

2 问题提出教学模式

问题提出不仅是一个教学目标，更是一种教学手段，即教师可利用问题提出提供机会让学生学习和理解数学．近期的研究不仅分析了教学案例，而且开始开发问题提出的教学模式．这里有两篇关于这方面的文章．一篇为许天来和蔡金法结合具体课例“乘法分配律”的课堂分析，深入探讨了由蔡金法提出的“问题提出”教学的一般模式如何在课堂实际中进行科学、合理和有效运用[7]．在这一篇文章中，“乘法分配律”的课堂教学发生在“问题提出”的一般教学模式提出之前，然而，通过课堂分析发现其教学流程与蔡金法提出的“问题提出”的一般教学模式相吻合．该课例的具体模式分为4个步骤：（1）教师呈现问题情境；（2）教师根据教学目标设置恰当的引导语；（3）学生以个体方式或小组方式提出问题；（4）师生对学生所提问题进行“分析”“选取”“排序”和“求解”．这个分析结果验证了蔡金法提出的“问题提出”的一般教学模式在实践中的可行性和有效性，阐释了理论研究和教学实践的交互作用．

另一篇是由李欣莲等通过全面梳理和深入分析文献，在理论层面上构建了数学问题提出教学的分析框架，该框架由3个维度及11个二级观测指标构成．研究首先在文献分析的基础上对问题提出的课堂教学进行了概念界定，依据定义分析出问题提出课堂教学的3个关键方面，并将其作为分析框架的3个维度，它们分别是：（1）教师设计的问题提出任务分析；（2）教师引导学生参与问题提出活动分析；（3）教师对学生提出问题的反馈分析．接下来在各个维度下，依据文献和具体实例，构建相应的二级观测指标．为了验证其可操作性，该研究进一步运用此框架对“问题提出”教学的实践案例加以分析，验证框架可行性，并有利于凸显问题提出教学的核心特征．尽管这一分析框架还未能在更多的课例中加以实践运用，还有可待完善的空间，但该框架无疑为后续利用问题提出进行教学实践的教师们提供了一个教学理论框架，也为问题提出教学研究的向前发展迈出了新的一步．

问题提出教学的一般模式和问题提出教学的分析框架从不同角度为问题提出教学提供了指导，前者是指出了具体的教学流程，后者则提供了评估和反思的视角，而两者均为问题提出教学的设计提供了思考层面．值得指出的是，在问题提出教学研究中，需要开发更多的教学案例，为问题提出教学的推广提供资源．

3 问题提出过程

问题提出研究的另一个重要主题是学生和教师所经历的问题提出过程．尽管学生和教师有能力提出数学问题，但作为研究者，对他们在一些特定情况下如何提出这些数学问题的理解则知道得很少．特别是目前还没有一个与公认的问题解决模型相类似的、可通用的问题提出过程框架，如Pólya（1945）提出的问题解决4个阶段[8]，Garofaro和Lester（1985）提出的问题解决认知与元认知过程[9]，以及Schoenfeld（1985）提出的问题解决属性[10]．因此，需要更多的研究来发展一个对数学问题提出的基本过程和策略具有广泛适用性的框架．实际上，现阶段还处于理解问题提出的认知和情感过程的初级阶段，这也是在数学教学中实施这一活动的原因之一．

在早期的几项研究中[11-12]，研究人员试图利用学生提出的问题作为考察问题提出过程的基础．例如，Cai和Hwang（2002）使用模式情境来考察学生提出问题和解决问题的能力．他们观察到，学生提出的基于模式的问题序列似乎反映了解决模式问题时的共同思维序列（收集数据、分析数据的趋势、做出预测）[11]．Silver和Cai（1996）发现，当学生被要求提出3个问题时，他们往往会提出一些相关和平行的问题．他们观察到，学生们有一种明显的倾向，即通过改变早期问题中的某一元素来提出后期问题[12]．

最近，研究人员试图考察问题提出任务变量，以研究问题提出过程[13]．正如问题解决的任务有很多类型一样，问题提出的任务也有很多类型．问题提出的任务由两部分构成：问题情境和提示语[14]．问题情境提供了背景和数据，学生可以利用这些背景和数据（除了他们自己的生活经验和知识）来提出问题．问题提出的任务还必须包括一个提示语，让提出问题的人知道他们应该做什么．根据任务的目标，对于相同的问题提出的情况，可以有多种提示语．

例如，Cai等人研究了不同提示语对学生问题提出的影响．研究使用3组问题提出任务来检验不同问题提出提示语对学生问题提出的影响．涉及两种提示语：第一种提示语是要求学生提出2～3个不同的数学问题，而没有具体说明问题的其它要求；第二种提示语同样也是要求学生提出2～3个数学问题，但有额外的说明．例如，学生们被要求提出简单、中等难度和困难的问题．当问题提出的提示语包含更为具体的要求时，学生往往会更多地思考提出什么样的问题，比如，问题的可解性和复杂性．

在这里，陈婷等人通过使用一组涉及算术平均的任务，使用不同类型的提示，重复和扩展了Cai等人的研究．该研究以262名六年级学生为研究对象，设计了4个有关算术平均数的问题提出任务，并分别设置了3类引导语：“提出3个不同的数学问题，挑战数学老师来解答”“提出3个难度不同（简单、中等、较难）的数学问题”“提出3个不同的数学问题，挑战同班同学来解答”．以此测试学生在不同类型的引导语下，其提出的问题在得分、类型、难度和概念理解4个方面的表现情况．主要有3个方面的发现：（1）六年级学生关于平均数概念理解的问题提出表现良好；（2）学生问题提出的类型和难度受到了不同问题提出引导语的显著影响；（3）在较复杂的问题情境中，学生表现的平均数理解程度也受到问题提出引导语的显著影响．

上述研究结论为问题提出引导语设计的重要性提供了证据支持，进而启发教师在进行问题提出的任务设计时，要根据任务实施的目标、学生的基础等精心设计提示语．而通过对提示语影响问题提出的研究，可以帮助进一步研究问题提出的过程．

4 问题提出与批判性思维

问题提出之所以得到认可，部分原因是它在科学发现过程以及培养学生在创新和批判性思维中的重要性[15-16]．尽管在平时的教学中学生发现自己只是教学过程中知识的被动接受者，但当他们提出自己的数学问题进行探究时，他们可以作为数学创造者和寻求者建立积极、强大的自我认同感．问题提出在课堂上使学生成为自己从事数学的主动者，让学生有能力在课堂上考虑由自己所提出的数学问题．

因为问题提出与复杂的问题解决和创造性导向的活动有关[17]，它是一种独特的数学活动，为认知和情感能力的提高及其整合提供了多种机会．蔡金法等人（2017）认为，研究对学生学习的影响应该通过短期和纵向的认知和非认知结果来衡量[18]．一些社会学家和经济学家甚至认为，相较于学科知识，完善的非认知特征发展对一个人的学业和未来工作表现的影响更突出且更持久．

批判性思维是一种重要的非认知因素．人们认为，问题提出可以用来培养学生的创造力和批判性思维．为了深入了解学生的批判性思维倾向与问题提出表现之间的具体相关性，唐瑜君等人随机招募了260名小学生，运用已有文献开发的两个量表《小学生数学批判性思维倾向量表》和《小学生平均数问题提出测试卷》，分别调查了小学生的批判性思维倾向现状与其问题提出表现的现状，在此基础上对二者进行了相关性分析，得出二者之间有中等程度的正相关性，并且批判性思维倾向越强的小学生问题提出表现越好，而问题提出表现越好的小学生批判性思维倾向也越强．这一结论无疑进一步佐证了问题提出与批判性思维能力发展有着相互促进的作用．由此可见，问题提出的教学为发展学生批判性思维能力开辟了一条新的路径．

应当指出，这一研究用的是批判性思维倾向的量表，而不是测试学生的数学批判性思维．另一方面，也需要加强有关数学创新性和批判性思维的研究，包括内涵及具体的测试．当下，数学教育工作者和研究者有必要加强对问题提出落地课堂的实践和研究．

5 结语

数学问题提出及其教学的研究正在获得越来越多的学者和一线教师的关注，这是一个极好的发展态势．期望关注这一领域的研究者和实践者在了解数学问题提出的研究进展和前沿动态之后，能够找到自己的研究兴趣和生长点，拓展数学问题提出教学的研究空间，也希望专栏的5篇论文能够引发研究者和实践者更多的思考和后期相关研究的投入，推动研究向纵深发展．

[1] CAI J, LEIKIN R. Affect in mathematical problem posing: Conceptualization, advances, and future directions for research [J]. Educational Studies in Mathematics, 2020, 105 (3): 287–301.

[2] CAI J, HWANG S. Learning to teach mathematics through problem posing: Theoretical considerations, methodology, and directions for future research [J]. International Journal of Educational Research, 2020 (102): 101 391.

[3] CAI J, HWANG S, JIANG C. Problem-posing research in mathematics education: Some answered and unanswered questions [M]. New York: Springer, 2015: 3-34.

[4] SINGER F M, ELLERTON N, CAI J. Mathematical problem posing: From research to effective practice [M]. New York: Springer, 2015: 整体引用.

[5] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2022：整体引用．

[6] PARKER M, LEINHARDT G. Percent: A privileged proportion [J]. Review of Educational Research, 1995, 65 (4): 421-481.

[7] CAI J. What research says about teaching mathematics through problem posing [J]. Éducation et Didactique, 2022, 16 (3): 31-50.

[8] GAROFALO J, LESTER F K JR. Metacognition, cognitive monitoring, and mathematical performance [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1985, 16 (3): 163-176.

[9] PÓLYA G. How to solve it [M]. Princeton: University Press, 1945: 整体引用.

[10] SCHOENFELD A H. Mathematical problem solving [M]. Orlando, FL: Academic Press, 1985: 整体引用.

[11] CAI J, HWANG S. Generalized and generative thinking in U.S. and Chinese students’ mathematical problem solving and problem posing [J]. The Journal of Mathematical Behavior, 2002 (21): 401-421.

[12] SILVER E A, CAI J. An analysis of arithmetic problem posing by middle school students [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1996, 27 (5): 521-539.

[13] CAI J, KOICHU B, ROTT B, et al. Mathematical problem posing: Task variables, processes, and products [M] // FERNANDEZ C, LLINARES S, GUTIERREZ A, et al. Proceedings of the 45th of the Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1). Alicante, Spain: PME, 2022: 119-145.

[14] CAI J, HWANG S. Making mathematics challenging through problem posing in the classroom [M] // LEIKIN R. Mathematical challenges for all. New York: Springer, 2023: 115-145.

[15] SILVER E A. Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing [J]. ZDM, 1997, 29 (3): 75-80.

[16] National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and evaluation standards for school mathematics [M]. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1989: 整体引用.

[17] LEIKIN R. Exploring mathematical creativity using multiple solution tasks [M] // LEIKIN R, BERMAN A, KOICHU B, et al. Creativity in mathematics and the education of gifted students. Rotterdam: Sense, 2009: 129-145.

[18] CAI J, MORRIS A, HOHENSEE C, et al. Clarifying the impact of educational research on students’ learning [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2017, 48 (2): 118-123.

Mathematical Problem-Posing Research: Advances and Future Directions

CAI Jin-fa1, CHEN Suan-rong2

(1.The Department of Mathematics, University of Delaware, Delaware Newark 19716, USA;2. The College of Mathematical Science, Yangzhou University, Jiangsu Yangzhou 225002, China)

This introductory paper provides an overview of problem-posing research followed by an introduction to the five papers in this special issue. In particular, this paper discusses advances in and future directions for mathematical problem-posing research from the following four angles: (1) problem posing as a means to understand students’ and teachers’ thinking; (2) the Problem-Posing Based Learning (P-PBL) Instructional Model; (3) problem-posing processes; and (4) problem posing and critical thinking.

problem posing; problem-posing research; problem-posing processes; P-PBL; research frontiers

G424

A

1004–9894（2023）05–0005–03

蔡金法，陈算荣．数学问题提出研究的进展和前沿[J]．数学教育学报，2023，32（5）：5-7．

2023–08–21

西南大学引进人才计划项目（SWU118118）

蔡金法（1963—），男，浙江杭州人，教授，主要从事数学学习和问题提出研究．蔡金法为本文通讯作者．

[责任编校：张楠、陈隽]