上非自治Schrdinger 格点系统的随机一致指数吸引子

2023-03-09张金璐

温州大学学报（自然科学版） 2023年4期

林柔，赵敏，张金璐

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

动力系统实际上会受随机因素的影响，随机动力系统（Random Dynamical Systems, RDS）引起了广泛研究，如自治随机动力系统的随机吸引子[1-4]、非自治随机动力系统（Non-autonomous Random Dynamical Systems, NRDS）的随机拉回吸引子[5-8]和随机一致吸引子[9].这些吸引子吸引轨道的速度可能很慢，维数可能是无穷维的，不利于数值估计和应用.为解决这些问题，有学者研究了RDS 的随机指数吸引子的存在性[10-15]，该吸引子指数率吸引随机集且分形维数有限.Shirikyan 等在文献[10]中研究了自治RDS 的随机指数吸引子的存在性.Zhou 在文献[11]中给出了NRDS 的随机指数吸引子存在性条件并应用于一阶格点系统.Han 等在文献[12]中给出了NRDS随机一致指数吸引子的存在性准则并应用于一阶格点系统.

非线性Schrödinger 方程可以描述微观粒子的状态随时间变化的运动规律，是量子力学中基本方程之一，广泛应用于固体物理与核物理等领域[16].本文主要考虑ℤN上带拟周期外力和可乘白噪声的Schrödinger 格点系统（1）的随机一致指数吸引子的存在性.

其中，i 表示虚数单位；σ∈Tl，σ～(t) =(xt+σ)mod( Tl)∈Tl，x=(x1, …,xl)∈Rl是固定向量，x1, … ,xl是有理独立的；a,b∈R；A是线性耦合算子，A=A1+A2+ …+AN，(A ju)k=2u(k1,k2,…,kN)-u(k1,…,kj-1,…,kN)-u(k1,…,kj+1,…,kN)，j= 1,…,N；k=(k1,k2, …,kN)∈ℤN，λk> 0，u k,gk∈C,表示uk的模长，∈ R.W(t)是概率空间( Ω, F, P)上的双边实值维纳过程，其中Ω={ω∈C( R , RN):ω(0) =0}.F 是Ω 的紧开拓扑诱导的Borel-σ代数，P为F 上的维纳测度[1].对∀ω∈Ω，W(t,ω)=ω(t).u k◦W˙表示Stratonovich 意义下的随机项.

当系统（1）中k∈ℤN，即N= 1时，对于自治确定性系统（1）（gk(σ(t))=gk∈R,a=b= 0），Karachalios 等在文献[17]中证明了其全局吸引子的存在性，周盛凡等在文献[18]中进一步证明了其指数吸引子的存在性，Chen 等在文献[19]中得到了其带时滞项时全局吸引子的存在性.对于非自治确定性系统（1）（gk(σ(t))=g k(t)∈C,a=b= 0），周盛凡等在文献[20]中证明了其拉回指数吸引子和一致指数吸引子的存在性.对于自治随机系统（1）（gk(σ(t))=gk∈R,a∈R,b= 0），崔红珍等在文献[4]中证明了其随机吸引子的存在性.对于非自治随机系统（1）（gk(σ(t))=g k(t)∈C,a∈R,b= 0），江旭莹等在文献[13]中证明了其随机指数吸引子的存在性.对于非自治随机系统（1），Zhang 等在文献[15]中证明了其随机一致指数吸引子的存在性.当系统（1）中k∈ℤN(N≥2)时，对于自治确定性系统（1），Karachalios 等在文献[21]中证明了其全局吸引子的存在性.对于受到非线性噪声扰动的系统，Wang 等在文献[8]中证明了其弱拉回随机吸引子的存在性.对于 ℤN(N≥2)上系统（1）的随机一致指数吸引子未见任何研究.

本文结合文献[12]来证明系统（1）在 ℤN(N≥2)上存在随机一致指数吸引子，得到该吸引子的分形维数上界，该上界与N有关.