基于傅里叶级数的PWM波形分析

王庆宇 吕晨晨

四川大学机械工程学院 四川 成都 610207

1 PWM技术介绍

1.1 技术背景

PWM（Pulse Width Modulation）技术，即脉冲宽度调制技术，是通过对于一系列信号脉冲的宽度进行调制来达到所需要波形的一种重要电子信息技术[1]。它在电子电路技术、通信、机械测量、信号分析等领域有着非常重要的作用。基于PWM技术而起的新型技术和产业于上世纪末迅速地发展起来[2]。可以说，人类的科技在PWM技术的推进下走入了一个新的纪元。对于机械专业而言，PWM的直接应用便在对于信号的分析、研究和测量的领域上。PWM技术在电机的调速、灯盏亮灭的交替控制等与机械专业相结合的新型领域内也有很重要的应用[3]。

1.2 技术现状

电机的调速和变速对于机械领域有着相当重要的作用，在实际生产和应用中，电机的转速应该适当且符合特殊生产条件。就比如高转速的电机往往被应用于重量较轻物件的起吊或者是高差很大的起吊作业之中，而低转速的电机则更多地被用在精细操作以及需要很大力量才能进行的作业之中。对于电机调速而言，PWM信号波形可谓是极其重要的。在PWM技术得到大力发展之前，人们在保持电机输出动力的同时对于电机调速采取的方式往往是降低电流强度或者是磁场强度[4]，由安培力的公式F=BIL可知，这种方法在保持电机不卡阻的前提下很好用。但在长期使用这种方式的过程中，人们也早已发现：现实中的电机往往需要越过初相才可以起步，且在转动过程中存在外界阻尼，这些阻碍作用就决定了电机在电流不足的情况下将无法正常启动或工作[5]。如果在降低电流强度或者磁场强度后，电机出现未能正常转动、卡阻在初相或转动速率低于额定速率的情况，再长时间地对电机输入直流电就可能会使得电机线圈烧毁。因此对于一般的电机来说，调速的方式只有依靠PWM波形来实现。在近代，对于PWM信号波形的研究在很长的一段时间内也都受制于确定波形解析式的问题[6]。

2 对于PWM波形的引入和概念解释

根据前文的说明，电机不能仅仅通过一般电路的变量方法来控制电机的转速，而是要通过PWM波形的改变去控制转速[7]。PWM技术的内核是通过调节高低电平所占一个周期时间的比例来控制电路的输出功率[8]。这就是说，在PWM波形中，电平（电压强度）的精确值（瞬时值）只能为高、低电平的各自取值两种。就比如说在一个高低电平确定且分别为U1和U0的PWM波形中，电平的精确值只能有U1和U0两种，并不可能出现其他的情况。

在了解了PWM的内核技术后，对于电机的PWM调速问题，还要再说明几个概念：

PWM波形的频率(f)和周期(T)：频率(f)即为在1秒内信号值从高电平回到低电平的次数；周期(T)为频率的倒数，PWM波形的占空比(D)：在一个信号周期内，高电平时间（也称脉宽时间）占整个周期时间的比例，单位为%，取值范围在[0,100]%之间[9]。

说明概念后，可以清晰地知道的是，在PWM技术中，虽然一个脉冲瞬时电平的准确值只能为高低电平的两个取值之一，但是一个周期甚至整个脉冲周期的模拟值（有效电平值，下都称作“有效值”）就有所不同了。因此可以通过调节占空比来得到很多组电平相同但是有效电平值不同的PWM信号，由此可以得到电机不同的输出功率[10]。并且很容易知道的是，电机某时的功率相对于全功率的百分比即为占空比。现给出有效值的计算式为：

下图列举了几组不同占空比下模拟出的PWM信号示意图：

图1 不同占空比下模拟出的PWM信号示意图

在了解了具体的概念后，我们不难发现，在信号分析领域，除了一些具有比较特殊的占空比的PWM信号外，大多数方波的一些重要数值，如波形拟合参数、波形表达式等在一般的分析中很难被确定下来。在这其中，波形表达形式的确定则更是一件十分困难的事情。这些问题对于深度剖析PWM原理造成了一定的困难，为了解决这些问题，更高级的数学工具就需要参与其中。傅里叶级数作为波形函数分析“利器”，在信号领域中的应用就变得十分重要了起来。对于更加广泛的电机应用领域而言，基于傅里叶级数展开的PWM波形的模拟与仿真计算便成为分析其具象化波形的重要一环[11]。

3 对于一般型PWM波形傅里叶展开的分析

下面将对一般的PWM波形进行数学建模分析。

假设现有一PWM波形，其周期为T，占空比为α，高电平为U(V)，低电平为0(V)。则可推知：高电平占一个周期所用时间

对其进行有限单位长度的平移或恰当的建系，使得高电平所在区段关于y轴对称。并设函数为U(t)，则该函数在一个周期内的解析式为：

为便于理解，绘图如图2所示：

图2 PWM波形示意图

这样便在不改变波形的情况下简化了对其的讨论，此时的PWM波形即可看做由一个直流波形分量与很多个波形频率为原PWM波整数倍的余弦波组合而成[12]。

则不妨设组合波中直流波部分的幅值为 ，由于直流波反应在坐标系中为一条直线，故幅值即为直流波形函数（常函数）的函数值。为保证一般性，再设其余所有的余弦波依次为：即幅值分别设为：圆频率分别设为：...的一组余弦波，并由此给出方波展开后的预测表达式：

上式又可化为：

由三角函数的正交性得：

于是得：

现将U(t)代入，得：

最终整合得PWM信号的傅里叶级数展开式为：

上式即为PWM波形在本研究环境下的傅里叶级数展开式。我们将可以由此式的形式和推导过程，得出一般化的分析方法：先通过坐标系下的平移，将任意的PWM波形化为一组关于y轴对称的直流波和余弦波的组合，然后再对每一个分波进行分析。傅里叶级数展开计算和分析对于本问题研究的最大实用价值便在于此，可根据上式将一般的PWM波形通过简单的计算展开成为很多个波的组合，由此分别分析每一个波形的幅值、频率等等，给实际分析和研究PWM波形带来了很大程度上的便利[13]。

4 傅里叶级数展开对PWM波形调速实际问题的解决

下面通过两个与机械有关的实际问题来说明和应用上文所推出的公式：

实例1：现有一占空比为50%，高电平为1V，低电平为0V的PWM波驱动电机运转，电机可在该电信号下维持半功率运转。现试分析出其分解得到的直流波以及前四次谐波的幅值。

表1 谐波的值

表1 谐波的值

次数 0 1 2 3 4幅值 0.50 0.64 0.00 -0.21 0.00

（0次波即为直流波）

由上述列举出的一个实际问题，我们可以通过已推公式，清晰地分析出PWM波的一部分组成，这对于波形分拆与分析和周密地对一个PWM波形进行设计与计算都很有帮助。

实例2：现已知一驱动电机运转的PWM波的高电平为100V，低电平为0V，且该电机的功率为以下4个档位可调：0%、25%、75%、100%，现分别求出这4个档位所对应的PWM波的傅里叶展开式。

解：首先算出四种档位对应的占空比。（为了统一上下文总的符号设定，此处占空比的代表字母设为D，故有：

由前文讨论知：电机的功率百分比即为占空比(D)，所以可分别写出四种档位对应的占空比（D）：

再由PWM波形的傅里叶展开总表达式：

分别计算4种档位对应波形的傅里叶展开式，具体如下。

4.1 功率0%档位

4.2 功率25%档位

4.3 功率75%档位

4.4 功率100%档位

由此，便完美地解决并应用了PWM波形展开式的计算和分析问题。

5 结束语

利用傅里叶级数展开的相关知识对PWM波形进行分析和计算，可将复杂的波型简化[14]。方法通过将任意的PWM波形化为一组直流波和三角波的组合，然后再对每一个分波进行分析，从而得到更加精细化的结论，对于实际PWM波形相关应用问题的分析大有裨益。类似的方法也可以应用到未知波形的分析中去，由此方能达到化繁为简地对一簇未知的信号波进行详尽分析的目的。这种方法主要在电信号的分析和设计领域进行使用，对于机械行业来说，集中体现在对于电机调速和控制功率的输出等相关问题上。通过对于实际应用问题的不断解决，基于傅里叶级数的PWM波形分析方法也将同PWM技术的本身一起，对测量、电子电路技术等涉及人们生活方方面面领域的研究带来更多的便利[15]。