基于北斗卫星外辐射源的目标直接定位算法

闫 攀，栗强强，闫会峰

(1. 重庆移通学院 大数据与计算机科学学院，重庆 401520；2. 重庆邮电大学 软件工程学院，重庆 400065)

0 引言

基于外辐射源的无源雷达自身不辐射电磁波，是借助环境中已有的第三方辐射源照射到目标所形成的回波来探测和定位目标。目前，研究较多的外辐射源包括广播电台[1]、通信基站[2]、雷达[3]和卫星辐射源信号[4-5]等，其中，北斗卫星导航信号作为无源雷达外辐射源具有覆盖范围广、全天时全天候、距离和速度分辨率高等优势[6]。加之随着北斗卫星导航系统的不断完善以及战时安全性的考虑，基于北斗卫星信号的无源雷达系统近年来备受关注。本文针对基于多颗北斗卫星外辐射源的无源雷达目标定位问题进行研究。

目前，针对基于北斗卫星外辐射源的无源雷达目标定位问题的研究主要可以分为2类：两步定位[7-14]和直接定位[15-17]。两步定位是一类传统的定位方法，其基本框架是：第一步利用空时域处理[7]、互模糊函数[8]、动目标检测[9]和拉顿-傅里叶变换[10]等参数估计方法从无源雷达接收到的北斗卫星直达波信号和相应的目标回波信号中提取出时延、多普勒等定位参数；第二步基于提取出的定位参数，然后通过无迹卡尔曼滤波[11]、总体最小二乘[12]、递推总体最小二乘[13]和约束总体最小二乘[14]等估计算法，从中估计出目标的位置参数。在高信噪比条件下，两步定位具有良好的定位性能；然而，两步定位也存在着一些固有缺陷，即从信息论的角度来看，两步处理体制会损失一部分信息，导致最终目标定位误差增大，特别是在低信噪比条件下或信号采样点数较低时。近年来，随着通信传输带宽和芯片计算能力的提升，以文献[15-17]为代表的直接定位方法开始得到越来越多的关注，其基本思路是从无源雷达接收到的直达波和目标回波信号中直接估计出目标位置参数。由于无需估计中间定位参数，直接定位避免了额外的信息损失，因此相比于传统两步定位算法具有更高的定位精度和稳健性。然而，文献[15-17]中的直接定位算法假设外辐射源信号为一般未知信号波形，并未利用北斗卫星信号结构的先验信息[18]，这显然限制了目标定位精度。因此，有必要针对基于北斗卫星外辐射源的无源雷达目标定位问题进行进一步研究。

本文针对基于北斗卫星外辐射源的无源雷达目标定位问题，提出一种联合北斗卫星信号结构的直接定位算法。该算法将接收信号进行分时处理，利用北斗信号结构已知的特点，重构纯净直达波信号，继而利用纯净直达波信号对目标回波信号进行脉冲压缩。依据最大似然准则以及目标-接收机-外辐射源位置几何关系，构建脉压信号数据关于目标位置-速度估计的似然函数，通过寻找似然函数的全局极大值目标位置和速度估计。此外，本文还推导了目标位置-速度估计的克拉美罗界(Cramér-Rao Lower Bound，CRLB)。通过仿真实验结果验证本文算法的有效性和相比于现有算法的性能优势。

1 信号模型

本文考虑的基于北斗卫星外辐射源的无源雷达系统由M颗北斗卫星外辐射源和1个地面静止的接收机组成，其几何结构如图1所示。

图1 基于北斗卫星的无源雷达目标定位场景Fig.1 Target localization scenario of passive radar based on BeiDou satellites

北斗系统的导航电文经过伪随机序列(Pseudo Random Noise, PRN)码扩频后，采用正交相移键控(Quadrature Phase Shift Keying, QPSK)的方式调制到载波上。因此，第m颗卫星发射的导航信号可以表示为[17]：

sm(t)=gm(t)dm(t)ej(2πfct+ψm)，

(1)

式中，gm(t)表示测距码(扩频码)；dm(t)表示数据码(导航电文)；fc表示信号载频，ψm表示初始相位。

R0,m(t)=‖tm(t)-r‖ ，

(2)

第m颗北斗卫星到目标的距离为：

R1,m(t)=‖tm(t)-u(t)‖ ，

(3)

目标到接收机的距离及其变化率分别为：

R2,m(t)=‖r-u(t)‖ ，

(4)

那么，来自第m颗北斗卫星的信号到达接收机的直达波路径和目标反射路径的时延分别为：

(5)

(6)

s0,m(n,i)=gm[tf-τ0,m(ts)]dm[ts-

τ0,m(ts)]ej[2πfc,mτ0,m(ts)+ψm]，

(7)

s1,m(n,i)=gm[tf-τ1,m(ts)]dm[ts-

τ1,m(ts)]ej[2πfc,mτ1,m(ts)+ψm]。

(8)

对于本文基于M颗北斗卫星辐射源的无源雷达系统，接收机的直达波信道和目标信道中会同时接收到来自M颗北斗卫星辐射源的信号。因此，直达波信道和目标回波信道接收信号分别表示为：

(9)

(10)

式中，a0,m(n)和a1,m(n)分别为直达波信道和目标回波信道对应的幅度衰减系数；w0(n,i)和w1(n,i)分别表示直达波信道和目标回波信道中的噪声。

2 直接定位算法

在一般无源雷达中，纯净的直达波信号通常是未知的。然而，北斗卫星信号作为一种数字调制信号，其信号结构是已知的，这使得在接收端可以实现直达波信号的重构，利用重构的纯净直达波信号对目标回波信号做相关，实现目标通道中不同外辐射源信号的分离，最后利用纯净直达波信号和分离后的目标回波信号实现目标的高精度直接定位。因此，本文提出一种联合北斗卫星信号结构的直接定位算法。

2.1 信号重构

如式(10)所示，来自不同卫星的信号在时域上是混叠的。为了分离混叠的信号，需要利用北斗导航系统码分多址的信号特点。不同的卫星对应的输出序列，在接口文件中已详细规定[18]。

由于直达波信号的信噪比较高，因此可以按照北斗信号处理的标准流程得到来自第m颗卫星发射的导航电文dm(ts)。另一方面，由于卫星-接收机的位置参数已知，因此按照式(5)可以得到直达波信号的时延τ0,m(ts)，继而可以重构出纯净的直达波信号：

τ0,m(ts)]ej[2πfc,mτ0,m(ts)+ψm]。

(11)

在重构出来自第m颗卫星直达波信号后，将式(11)与式(10)中的回波信号做相关。由于来自不同北斗卫星的信号是正交的，因此不同卫星的信号相关之后结果为零。从而得到式(10)与式(11)做相关后的等效脉冲压缩信号，表示为：

a1,m(n)pm(n,k)+wm(n,k)，

(12)

式中，符号*表示复共轭；pm(n,k)和wm(n,k)分别表示第m颗卫星直达波信号与目标回波信号、噪声相关输出结果，其具体表达式为：

χm[τm(ts)]ej[2πfc,mτm(ts)]，

(13)

dm[ts-τm(ts)]dtf，

(14)

τm(ts)=τ1,m(ts)-τ0,m(ts)，

(15)

(16)

式中，χm[τm(ts)]表示慢时间nPRI对应的等效脉冲信号伪随机码自相关；τm(ts)表示双基地时延，可以看出，由于目标和卫星的运动，双基地时延τm(ts)是随慢时间ts变化的。需要指出的是，虽然式(13)中并未明确写出目标的多普勒频率，但实际上目标的多普勒信息蕴含在式(13)的指数项中。

2.2 似然函数

为便于似然函数的推导，首先定义如下向量：

(17)

(18)

(19)

(20)

则式(12)中的脉冲压缩信号可表示为：

(21)

(22)

这里需要指出的是，式(22)中忽略了与估计问题无关的常数项。为了消除冗余参数a，对式(22)关于a求偏导，并令偏导为零，从而得到a的最大似然估计为：

(23)

(24)

(25)

3 克拉美罗界分析

(26)

式中，分块子矩阵Jx,x，Jx,γ，Jγ*,x，Jγ*,γ的定义为：

(27)

式中，h,f⊆θ，l(y|θ)为式(22)中的对数似然函数。

CRLB等于Fisher信息矩阵的逆，即：

CRLB(θ)=FIM(θ)-1，

(28)

根据向量θ的构成，目标位置-速度估计CRLB对应于CRLB(θ)左上角6×6的分块子矩阵。利用分块矩阵求逆定理，可得目标位置-速度估计CRLB为：

(29)

借助如下中间变量：

(30)

则利用链式求导法则，可将式(29)进一步表示为：

(31)

(32)

(33)

根据式(27)，得到矩阵Jτ,τ，Jτ,γ，Jγ*,τ，Jγ,γ具体为：

(34)

(35)

Jτ,γ=(Jγ,τ)T,Jγ*,τ=(Jγ,τ)*，

(36)

(37)

式中，

(38)

式中，W为离散傅里叶变换矩阵；diag(βi,j)表示以βi,j为对角元素的MN×MN对角矩阵。

4 仿真结果分析

算法的定位误差性能用1 000次蒙特卡罗仿真的均方根误差(Root Mean Square Error, RMSE)定量衡量：

(39)

(40)

首先，为了直观展示本文算法的有效性，利用本文算法对接收信号进行处理。图2给出了本文算法积累出的目标位置和速度估计的似然函数图。

图2 目标直接定位似然函数图Fig.2 Likelihood function for direct position determination of target

从图2可以看出，原本非常微弱的目标回波信号在其真实位置参数处得到峰值，并且得益于观测时间内的长时间信号能量积累，原本淹没在噪声中的目标回波信号积累的峰值远高于周围噪声。通过搜索目标似然函数峰值的对应目标位置-速度参数，即可得到目标位置-速度估计。

接下来，为了展示算法对目标位置-速度的估计效果，在同样的仿真条件下，利用算法进行1 000次蒙特卡罗仿真定位，其估计结果的散点分布如图 3所示。

(a)位置估计

(b)速度估计图3 目标定位散点图Fig.3 Scatter diagram for target localization

图3展示了本文算法多次独立定位结果的散点图。其中，蓝色椭圆为仿真定位估计误差的90%置信区间，由1 000次蒙特卡罗结果计算得出；红色椭圆为第4节中CRLB预测的90%置信区间。显然，理论预测和仿真实验得到的置信区间几乎相同，这表明本文算法在一定信号条件下的定位误差可以达到CRLB。

在实际的目标定位场景中，受到目标散射面积等因素的影响，目标回波的功率强弱也有不同。为了更全面地评估本文算法的定位性能，利用本文算法在不同的目标回波信号的功率下进行仿真定位。为了突出本文算法的性能优势，将文献[7]中的传统两步定位算法和文献[17]中的直接定位算法作为对比算法，结果如图 4所示。

(a)位置估计

(b)速度估计图4 不同目标回波信号功率下的定位性能Fig.4 Localization performance under different target echo power

从图 4可以看出，总体上，随着回波功率的增加，几种算法的定位误差均随之减小。然而，与之前引言部分的介绍一致，文献[7]中的传统两步定位算法由于步间信息损失，定位误差显著高于CRLB。文献[17]中的直接定位算法避免了传统两步定位的缺陷，定位精度有所提升，但是由于其没有利用北斗信号结构已知的特性，定位误差仍难以达到CRLB。相比之下，本文算法由于利用已知的北斗信号结构重构了纯净直达波信号，理论上定位性能与主动雷达相当。仿真结果也证明，本文算法在回波功率较高时可以达到CRLB。虽然在回波功率过低时，本文算法的定位误差也会出现偏离CRLB的“阈值”现象，但是相比于对比算法，本文算法的“阈值”更高，并且偏离CRLB的程度更小。

理论上，目标回波信号的积累时间越长，定位误差越小。为了评估积累时间对算法定位性能的影响，利用算法在不同积累时间下进行定位。结果如图 5所示。

(a)位置估计

(b)速度估计图5 不同观测时长下的定位性能Fig.5 Localization performance under different observation time

图 5给出了不同积累时间下算法的定位误差。与理论分析一致，随着积累时间的增加，算法的定位误差随之减小。对于本文目标定位场景，本文算法最少只需0.1 s级的积累时间即可实现对目标的有效定位。而2种对比算法则至少需1 s级的积累时间才能实现对目标有效定位。这说明了本文算法利用北斗信号结构重构纯净直达波信号的必要性。需要指出的是，虽然理想情况下延长积累时间可以提高目标定位性能，但是实际中受限于系统计算资源、目标距离徙动和多普勒徙动、目标运动状态变化等影响，积累时间的延长也受到限制。

5 结论

本文考虑了基于多颗北斗卫星外辐射源的无源雷达目标定位问题，提出了一种联合北斗卫星信号结构的直接定位算法，推导了目标定位的克拉美罗界，并通过仿真实验结果验证了本文算法的有效性和性能优势。相关结论如下:

① 本文联合北斗卫星信号结构的直接定位算法的定位性能逼近CRLB，说明了算法的渐近有效性。

② 本文算法的定位精度要优于现有的未利用北斗信号结构的直接定位算法和传统两步定位法，定位精度和稳健性显著提升。

③ 本文算法通过联合北斗信号结构特性，实现了直达波信号的重构，使得无源雷达的直达波信号不再受噪声干扰的影响，理论上定位性能可以达到多基地有源雷达的水平。