巧用换元法助力初中数学解题效率提升

丁秀珍

(江苏省南通如皋经济技术开发区实验初中 226500)

当前的中考评价，已经进一步确定了能力立意，这对日常的教学有着很强的指导作用.事实上绝大多数初中数学教师，已经在这样的引导下，开始关注学生的解题效率.对解题效率的理解，可以通俗地理解为在一定时间内正确解答题目的速度.不可否认的一个事实是，由于能力立意的进一步确定，无论是在中考数学试卷上，还是在日常的数学考查过程中，都出现了一些能力要求较高的题目，这些题目成为名副其实的“拉分王”，要让学生在面对这些题目的时候，有一个清晰的解题思路，只凭机械地重复训练是远远不够的，最有效的方法就是让学生掌握数学思想方法，用这些思想方法来支撑起解题效率地提升.

在现代初中阶段的数学教学过程中，“换元思想”是解数学题中最常使用的方法之一，也是最好用的方法之一，换元思想为解数学题提供了一种新的思路.换元就是使用一些与本题无关的元素，借此替代所给的数学题中一些原来的元素，也就是说想办法让学生用一个自己假设的全新的变量去代替原题目所给条件中的一些不集中的、较为分散的破碎信息.这样，原本的不集中且很分散的破碎信息就转变成了新的一个整体的变量，重新整合信息会使题目变得简单且清晰明了，一个简单的题目形式会有助于解题者发现题目所给的隐藏条件，这样对于解题有很大的益处.数学对于学生来说是比较难的一个科目，它的逻辑性和思维性很强，它要求学生要有一定的逻辑思维能力和转换问题思考的能力.所以，初中数学教师应充分了解换元思想的重要性，积极使用换元思想进行教学，学生也应积极学习换元思想，并多多应用换元思想去解答相应题目.

1 什么是换元？它的特点是什么？

在现代初中数学的解题教学过程中有许多种方法，但换元无疑是其中最好用的解题方法之一.换元在方法和应用的层面上来说，化归和转化是换元法的最终目的，其中假设一个元素和原有的元素转换是换元法的关键核心.相信在平常的解数学题的过程中，学生也遇到过这样的问题，原题目信息不够我们去解决这个问题，或者是原题目所给的信息十分分散，导致我们不能一眼就看出这些信息对我们解题有哪些帮助，进而在我们解题时就会无法进行深入分析和找准正确的思考方向，导致对这个题目束手无策，不知从何下手.这时，换元的思想就可以为我们解题带来便利和好处，我们可以从换元的基本概念入手，联系换元的数学解题理念，想办法将原有题目中所给的“旧信息”给替换成自己定义的一个或者多个全新的“新信息”，这样新形成的题目与原有的题目相比较，新题目的信息之间的联系会更加紧密，有助于我们更好地整理出解题思路，解题也会比之前容易得多.换元法对于初中生来说，并不是一些学生所认为的那样神秘晦涩和难以理解，只要能找准换元思想的核心突破点，那么解题就会事半功倍，“转变”即是换元思想的核心和关键内容，经过合理的转变，可以将复杂的问题简单化处理，将原有题目中所给的不好利用的信息转变成为有效的信息，使解题速度加快，解题方法更简便.

从已有的教学经验来看，多数初中学生在初次接触换元法的时候，都感觉到有一些不适应.所以，站在教师的角度去理解换元法，不能只看关于换元法的理论阐述，更要看学生的体验感与获得感.根据笔者调查研究，学生之所以对换元法有一些不适应，很大程度上是因为换元法将学生原先已经开始认真思考的、已经相对熟悉了的“元”，变成了一个相对陌生的另一个“元”.这两者之间的切换如果不顺利，那么学生对换元法的理解就会出现困难.所以，要让学生接受换元法这一数学思想方法，很关键的就是要让学生认识到换元是有意义的，是能够化解习题解答难度的，是不会影响最终的解题结果的.

学生要掌握的换元法，显然不只是一个简单的名称，也不只是在某一个题目当中的运用，教师应当站在帮助学生解决一类题目的基础上，让学生认识到在这一类题目里，换元法是可以得到运用的.可以说，只有当学生形成良好的换元直觉时，换元法才能真正入脑入心.

2 换元的思想在解题方面的应用

站在学生的角度，无论是学生对换元法特点的认识，还是形成换元法运用的必要体验，其最终的落脚点一定是在解题上.让学生在解题的过程中认识换元法的特点，认识换元法运用的基本思路，无论是对教师来说，还是对学生来说，都是时间成本较低、理解和运用效果较好的方式.只不过在选择题目的时候，要有一定要求.尽管换元法在初中诸多知识体系当中都有运用，但是在培养学生体验换元法的时候，应当选择具有一定代表性的题目.在初中数学解题过程中，因式分解是十分常见的一种解题方法，并且在初中数学解题知识点的组成中，因式分解也占有很大的比重，由此可以看出，因式分解在初中生对数学知识点的掌握和培养方面起着无法替代的作用.下面就以初中二年级教材中的一个关于因式分解的题目为例，仔细解析在因式分解中换元思想的使用方法.

例尝试将下列题目进行因式分解：

(1)(x2+2x+4)(x2+2x+8)+4；

(2)(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1).

上面所给的这两个题目对于刚刚学习因式分解的初中学生来讲是非常复杂的.因为例题中所给的这两个题目在解题的元素和步骤方面都有一点复杂，而对于才学习因式分解的初中生来讲，因式分解的基础还不够牢固，应用还不够熟练，因此，很难找准解题的关键点，要想一下子就解答出答案明显是不可能的.特别是第(2)小题，包含了不止一个未知数，解题十分困难.不过，我们可以使用换元的方法来解答这两个题目.我们可以用简单的元素替代原有题目中所给的复杂的元素.以第(2)小题为例，原来题目中已经含有x、y两个元素了，后面又出现了含有xy的项，这样解题就更复杂了.这时，我们只需要利用预设简单元素的方式代替xy，即令x+y=m，令xy=n，题目就从复杂转变成简单的式子，将原来含有多个项的多项式转变成为简单的二元式子，从内部结构上很大程度地进行了简化，更有利于初中学生进行正确的因式分解.

(1)解假设y=x2+2x+4，

观察题目原来所给的式子，可以发现原来所给的式子中的x2+2x+8可以分解成为x2+2x+4+4，再结合上述的假设，进行简单地运算可以得到x2+2x+4+4=y+4，即x2+2x+8=x2+2x+4+4=y+4，由此，题目所给的原来的式子便可以转变成为y(y+4)+4，经过简单计算可以得到下式：

y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2

然后再结合之前假设的y=x2+2x+4，并将其代入到式子(y+2)2中，就能很容易地得出答案，即：(x2+2x+4)(x2+2x+8)+4=(x2+2x+6)2.

(2)解假设x+y=m，xy=n，

利用换元法再代入原有式子，即原有式子可以转化为：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)，经过进一步地计算可以得到：(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)=m2+2mn+n2-1，最终通过化简得(m+n)2-1，整理得出：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)

=(m+n)2-1

再结合之前假设的x+y=m，xy=n，将其代入到式子(m+n)2-1中，由此可以得到：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)

=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1).

通过以上分析可以看出，换元思想是在现代数学的教学过程中使用效果十分显著的一个解题的新思路和新方法，适用于初中学生解决许多问题.换元的思想有利于培养初中学生的数学解题思维，提高数学解题能力，在强化初中学生的逻辑思维能力等方面也有显著成就，其产生的影响是不可替代的.

笔者曾经对学生学习使用换元法的过程进行了跟踪研究，结果发现只要学生在换元法运用的过程中有成就感，就能够化解他们最初的那种不适的感觉.作为数学教师，应当重视学生的这一心理变化，尽管看起来这与换元法没有直接的关系，但是却影响着学生对换元法的认同，影响着学生是否能够从心理上顺利建立起关于换元法的认识.大量的教学经验表明，数学教学必须重视学生的这些心理，因为只有帮助学生理顺了心理认识，他们才能够对数学思想方法打开心理接纳的大门，才能够真正去认识这些数学思想方法的意义与价值.只要做到这一点，那么包括换元法在内的数学思想方法，就更容易在学生的思维当中扎根.

由此可见，在初中数学问题的教学过程中，初中数学教师应当积极倡导使用换元的思想，教会初中学生学习和掌握换元法，并能够熟练使用换元法进行解题，从真正意义上提高初中学生的数学解题水平和相应的解决数学问题的能力.