BM3D 在图像加密压缩中的应用

任玉凤

（西安石油大学 理学院，陕西 西安 710065）

0 引言

现代通信和存储系统中，确保重要图像的信息不被未经授权的访问者获取至关重要，因此图像加密成为一个重要的研究领域，以满足隐私和安全性的需求。然而，图像在传输和存储中占用大量的数据带宽和存储空间。对此，图像压缩技术对于降低数据传输成本和减少存储需求至关重要。

压缩感知理论[1]指出，当原始信号具有稀疏性，可对该信号进行观测采样，用重构算法从较少的测量值中重构原始信号。但当信号x非稀疏，则需要借助稀疏基Ψ实现信号稀疏化：x=Ψs。其中，x∈Rn为稀疏信号，Ψ∈Rn×n为稀疏基。此时采样过程表示为y=Φx。这里，y=[y1,y2,…,yi,…,ym]∈Rm表示测量向量。x=[x1,x2,…,xi,…,xn]∈Rn表示测量向量。Φ∈Rm×n表示测量矩阵，由于m<

文献[6]提出了分块压缩感知（Block Compressed Sensing，BCS），通过对图像进行分块处理、采样和重构，减少了计算复杂度和采样要求。文献[7]提出BCS-2DRP 算法，以平衡数据安全性、压缩效率，但是图像的重构质量仍有待提升。为此，本文采用二维随机置换增强图像安全性，并结合分块压缩感知实现高效的图像加密压缩，采用块匹配三维滤波（Block-Matching and 3D Filtering，BM3D）算法降低图像重构产生的噪声，提出2DRP-BM3D 算法以提高图像的清晰度。

1 基本原理

BCS 的基本思想是将信号分成多个小块，分别对每个子块进行采样和重构，从而降低计算复杂度和采样要求，有助于克服BCS 在处理大规模信号时的计算和存储挑战。本文设原始图像的大小为n×n，将其均匀分割成尺寸为B×B的h块，第i块图像表示为yi=ΦBxi。ΦB采样标准正交基ΦBΦBT=I的形式。

2 2DRP-BM3D 重构算法

图像的加密和压缩的关键是通过将图像划分为不同的块，使用随机的置换矩阵对每个块进行置换，增加图像的安全性。之后，采用块压缩感知技术对置换后的图像进行压缩，以减少数据传输和存储的需求。最终通过BM3D 算法去除图像加密重构过程中的噪声。

二维图像X的稀疏变换表示为。D=ΨXΨT，其中Ψ∈Rn×n表示稀疏基，D∈Rn×n表示原始图像的系数矩阵。图像X经过加密后表示为

式中：Ph∈Rn×n与PC∈Rn×n皆为随机排列矩阵，可提高数据隐私与安全性。图像的重构问题表示为

为求解上述问题，将原始图像均匀分块采样，并使用3×3 邻域的维纳滤波=Wiener[X(t)]消除图像分块而产生的块伪影。其中，表示经过维纳滤波后的图像。之后，算法通过与加密算子及其转置的乘积投影，更新图像X的估计值。

接着，进行阈值收缩，以降低噪声。

式中：Threshold(·)为阈值函数。根据参考文献[7]，选取σ(t)的取值。再次通过投影来更新图像估计。

计算当前估计X(t+1)与前一次估计X(t)之间的相对误差，评估图像恢复的质量。经过多次迭代，在符合设定误差的情况下，重构加密图像。

式中：vec(·)为向量函数，返回当前次迭代的重构信号。最后，利用文献[8]～文献[10]提出的BM3D算法，通过图像各块之间的高度相似性去除图像噪声，增强图像清晰度。需要指出的是，基本估计阶段使用硬阈值滤波，最终估计阶段则使用Wiener 滤波。硬阈值滤波这一操作将小于某一阈值的像素值设为零，从而去除块内的噪声成分。用T表示阈值，硬阈值滤波公式为

3 实验结果与分析

本节实验的硬件环境为Intel（R） Core（TM）i5-10400 六核十二线程中央处理器（Central Processing Unit，CPU），主频2.90 GHz，内存16 GB，软件环境为Matlab2018b。测试过程中，图像为大小256×256 的mandrill、goldhill、peppers 图像，如图1 所示。为验证算法的有效性，选取采样率为0.3，对所提算法与TDV 和TV 算法进行对比，如图2 所示，从上到下依次是加密图像、2DRP 重构图像、TDV 重构图像、TV 重构图像及本文算法重构图像。为评估所提算法的重构质量，采用主观评价和客观评价方法进行评价。主观评价方面，重点是人的视觉感受。客观评价方面，主要是峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）值。PSNR 值越高，表示图像重构质量越好。

图1 原图

图2 采样率为0.3 的各算法重构效果对比图

从图2 可以清楚地看到，每张图片都可被有效加密，保证了信息传输的安全性。即使在采样率高达0.3 的情况下，TDV 算法的恢复效果仍不理想，重构的图像存在过度平滑的现象。TV 算法可在一定程度上去除噪声。本文所提算法肉眼可见地去除了数字传输过程中产生的噪声，最大限度地接近原始图像。

为客观地评价算法的有效性，探究不同采样率对重构效果的影响，现对图像mandrill 在不同算法下的PSNR 值进行实验，结果如表1 所示。从实验数值看出，在不同采样率下，TDV 算法的恢复效果都不佳，BM3D 算法可有效提高图像的重构质量。

表1 mandrill 图像在不同算法下的PSNR 值

4 结语

本文提出了一种基于块压缩感知与二维随机排列的BM3D 图像重构算法，首先将图像进行分块处理，其次对输入图像进加密并重构，最后采用BM3D 模型对信号进行去噪。实验结果表明，所提算法的恢复精度优于其他传统算法，在一定程度上有效地克服了噪声对重构图像质量的影响，且具有相对较高的PSNR 值。在未来的科研工作中，将继续研究机器学习在图像去噪领域中的应用。