二阶非完整Vacco 动力学及其Noether 定理
2023-02-27张毅
张 毅
（苏州科技大学土木工程学院，江苏 苏州 215011）
非完整系统动力学研究具有重要意义，其原因在于非完整约束的普遍存在性。 例如，凡是带有滚动轮子的系统几乎都存在非完整约束[1]。经典非完整力学是以d’Alembert-Lagrange 原理作为基础，其非完整约束对虚位移的限制采用Appell-Cheteav 条件[2]。1982 年，Kozlov 以嵌入约束的Hamilton 原理为基础导出受有不可积分的微分约束系统的动力学方程，称之为Vacco 动力学[3]。 学术界对非完整力学的理论曾有过争论[4-6]。 实际上，前者是力学的，后者则是数学的[7]。 梅凤翔先生指出“现在看来，Vacco 模型是允许的，可用来研究控制问题”[2]。 守恒律与对称性研究是分析力学的一个重要课题[2，8-20]。 1993 年，张解放给出了Vacco 动力学的Noether 定理[21]。此后，Vacco 动力学及其对称性成为一个研究热点并产生了一批成果，如：单面约束Vacco 动力学[22-23]、Hojman 守恒量[24-25]和Lutzky 守恒量[25]、Mei 对称性[26]、联合对称性与守恒量[27]、高阶Vacco 动力学[28-29]等。 这里笔者进一步研究二阶非完整Vacco 动力学，通过嵌入约束建立Vacco 型变分原理并导出Vacco 方程，建立复合作用量的全变分公式，定义Noether 对称和准对称变换并给出Noether 等式，建立二阶非完整约束Vacco 动力学的Noether 定理，并以算例说明结果的应用。
1 二阶非完整Vacco 动力学
研究由n个广义坐标qs（s=1，2，…，n）描述的力学系统，其Lagrange 函数为L（t，qs，q˙s），Hamilton 作用量为
设系统的运动受二阶非完整约束
构造复合作用量
其中λβ（t）是待定函数，或称Lagrange 乘子。 则二阶非完整Vacco 动力学的变分原理为
且满足边界条件
以及互易关系
将式（3）代入原理（4），得
利用分部积分，可得
将式（8）-（10）代入式（7），并利用条件（5），得
根据Lagrange 乘子法，可得
或写成
方程（12）或（13）称为二阶非完整约束系统的Vacco 动力学方程。
以原理（4）和方程（13）为基础建立的动力学称为二阶非完整Vacco 动力学。
如果约束是一阶非完整的，即
则方程（13）退化为
这是一阶非完整约束系统的Vacco 动力学方程[2-3]。
2 复合作用量的全变分公式
取无限小变换
及其展开式
其中ε是无限小参数，τ和ξs是生成元。
在变换（17）下，曲线γ变换为邻近曲线γ¯，全变分ΔA*定义为变换前后作用量之差A*（γ¯）-A*（γ）相对ε的主线性部分。 注意到，尽管微分运算与变分运算之间存在互易关系（6），但是全变分与微分运算并不可交换。 此外，全变分与等时变分之间成立关系[7]
其中F是任意函数，于是有
因此，得到
利用公式（18），易得
将式（21），（22）代入式（20），得
此外，式（20）也可写成
将Δt=ετ，Δqs=εξs代入式（24），得
公式（23）和（25）是复合作用量（3）的两个全变分公式。
3 二阶非完整Vacco 动力学的Noether 对称性
对于二阶非完整Vacco 动力学系统（12），如果成立
则变换（16）称为Noether 对称变换。
由式（20），可得
或表示为
或表示为
其中
式（27）-（29）称为Noether 等式。
如果成立
则变换（16）称为Noether 准对称变换。
由式（20），可得
其中
这里GN＝GN（t，qk，q˙k）称为规范函数。
4 二阶非完整Vacco 动力学的Noether 守恒量
在对称变换下，由式（25）得到
将Vacco 动力学方程（12）代入式（35），得到
积分可得Noether 守恒量
同理，在准对称变换下，有Noether 守恒量于是有
定理1对于二阶非完整约束Vacco 动力学系统（12），如果无限小变换（16）满足Noether 等式（29），则该系统有Noether 守恒量（37）。
定理2对于二阶非完整约束Vacco 动力学系统（12），如果无限小变换（16）满足Noether 等式（33），则该系统有Noether 守恒量（38）。
定理1 建立了二阶非完整Vacco 动力学的Noether 对称性与守恒量的关系，而定理2 建立了Noether 准对称性与守恒量的关系。 定理1 和定理2 统称为二阶非完整约束Vacco 动力学的Noether 定理。
5 应用举例
例 已知Lagrange 函数为
约束方程为
Vacco 动力学方程（12）给出
方程（41）可化为
Noether 等式（33）给出
方程（43）有解
式（44）和（45）确定的变换是所论Vacco 动力学系统的Noether 对称变换。 由定理1，可得
守恒量（46）和（47）分别由Noether 对称性（44）和（45）导致。
6 结语
文章研究了受二阶非完整约束的Vacco 动力学系统的对称性与守恒量。主要贡献在于：一是通过嵌入约束建立二阶非完整Vacco 动力学的积分变分原理，导出Vacco 动力学方程；二是导出了Vacco 动力学的复合作用量的全变分公式，基于此建立二阶Vacco 动力学的Noether 等式；三是建立了二阶非完整约束的Vacco动力学的Noether 定理。当约束是一阶非完整时，定理退化为一阶非完整约束系统的Vacco 动力学的Noether定理。
