一类具有时滞脉冲的反应扩散神经网络的指数稳定性

黎亚雨，龚 婷，陈桂玲

（西南交通大学数学学院,四川 成都 611756）

作为数学、物理及工程技术中应用最广泛的偏微分方程，在生物数学中同样有着不错的应用前景[1-5]。反应扩散方程作为描述扩散现象的重要偏微分方程之一，其数学模型更加地逼近现实。生物医学领域中大量非线性现象可以用反应扩散方程予以刻画，如：生物分子、细胞的相互作用以及细胞的规律，传染病的发生、传播规律及发展趋势等[6-7]。那么研究反应扩散方程的相关性质，是我们认识生物的相关规律的重要方法。

利用反应扩散方程可以描述不同的动力系统，相关研究包括初、边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在唯一性、平衡解的存在性、平衡解的分叉以及稳定性都取得了丰硕的成果。脉冲作为影响动力系统的一个重要因素，是学者致力研究的一个重点。文献[8]通过Lyapunov-Razumikhin 泛函方法证明了脉冲线性微分方程的全局指数稳定性；文献[9]建立新的时滞微分不等式证明了脉冲切换系统的稳定性；文献[10]通过比较定理证明了脉冲抛物型复杂网的稳定性；文献[11]考虑用脉冲控制的方法解决了带有可变时滞和分布时滞的神经网络混合同步性问题。而涉及时间延迟的脉冲被称为时滞脉冲，关于时滞脉冲神经网络的稳定性，文献[12-14]提出通过建立一个时滞脉冲微分不等式，证明了切换系统和神经网络的稳定性；文献[15]通过构造时滞脉冲积分不等式证明了随机时滞偏微分方程的p-阶指数稳定。文献[16]通过加脉冲控制证明了带有可变时滞的耦合反应扩散神经网络的同步性，文献[17]采用矢量Lyapunov函数法和M 矩阵理论研究了一类具有反应扩散项的变时滞复数域神经网络的指数稳定性。本文首次在文献[16]的基础上研究一类具有时滞脉冲的反应扩散方程模型：

其中x=(x1,x2,···,xq)T∈Ω ⊂Rq，其中Ω 是R n中的带有光滑边界∂ Ω的有界开集，Ω={x||x|≤lk,k=1,2,···,q},lk＞0 ；dmk＞0是神经元沿程传输的扩散系数；ym((t,x)神)经元的状态向量；n表示神经元的个数；fjyj(t,x)是第j个神经元在时间t和空间x处的神经元激活函数，对每一个fj连续有界；cm＞0表示当断开与网络和外部输入连接时，第m个神经元装置将其电位重置为隔离的静止状态的速率；am j和bm j表示神经元之间的耦合强度；τ(t)是传输时产生的时滞且满足是个常数且＞0 ；Jm是外部输入；Δy(tk)=是脉冲函数；Imk(y([tk-τ]-))表示第m单元在时间tk时受到由传输延迟造成的脉冲。

1 准备工作

首先，我们介绍一些记号和定义。

对于任何定点x∈Ω，定义

初始条件：

边界条件：

为了方便，我们把式(1)写成向量的形式：

假设1Fi(y),βk(y)满足Lipschitz 条件，即对任意u,v∈R，存在常数hi(i=1,2,···,n),rk(k=1,2,···,q)使得

引理1[18]Ω是一个立方体，满足|xk|＜lk(k=1,2,···,m)，v(x)是实值函数，v(x)∈C1(Ω)，在边界∂Ω耗散，即v(x)|∂Ω=0，则

引理2[19]若X,Y∈Rn×n是实矩阵，则存在ε ＞0使得

定义 2[9]若存在实数 λ ＞0,M＞0，使得对任意初始值φ ∈的解z(t,x)，有

则称系统(3)的平衡点是全局指数稳定的。

2 主要结果

这一部分将推导带有脉冲时滞反应扩散方程的平衡点的全局指数稳定的充分条件。我们定义：

定理1若假设1 和 (H1)成立，存在常数0 ＜λ ＜κ,N＞0,使得系统(3)的平衡点满足

其中λ,N取决

其中

则方程(3)的平衡点是全局指数稳定的。

证明考虑李雅普诺夫函数

下面对(11)进行估计，首先估计第一项，由格林公式和狄利克雷条件[16]以及引理1得

对式(11)的后几项进行估计，对任意正数 ε1，ε2和 ε3由假设1和引理2可得

另一方面，当t=tk时，k∈N+，对 ∀η ＞0由系统(3)的第2 个方程得

则V(t)满足下列时滞脉冲不等式

其中

由脉冲形式常数变易公式得

由柯西矩阵的表示，有估计

下面对V(t)进行估计，由式(19)、式 (20)及初始条件和假设1得

下面证明对正数λ ＞0,N＞0,0 ＜λ ＜κ有

若式(23)不成立，由 |φ(0,x)|τ＜N和V(t)的连续性，一定会存在t*＞0，使得

因此由式(8)、式(21)、式(25)、式(26)得

上式的结果与式(24)矛盾，则对 ∀t≥0，式(23)成立。在式(23)中令d→1，有

最后得到

因此由定义2，系统(3)的平衡点是全局指数稳定的。得证。

3 示例

考虑如下反应扩散神经网络：

满足式(5)和式 (6)，由定理1得到系统(29)的平衡点是全局指数稳定的。

4 总结

本文通过建立Lyapunov 函数，结合脉冲常数变异公式和脉冲积分不等式，分析带有可变时滞脉冲的反应扩散方程的全局指数稳定性的充分条件。该反应扩散方程模型可以应用到相关领域的数据分析，解决相关问题。时滞脉冲在自然界随处可见，比如新冠病毒的传染，新冠病毒传染的传播途径传播速率都与外界干扰以及历史的传染状态有关。脉冲的影响是会破坏稳定性还是维持稳定性，加了时滞的脉冲对稳定性的作用又是如何都是我们接下来要关注的问题。