随机变量及其分布章节小测

林国红

(广东省佛山市乐从中学)

(本试卷共22小题,满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.)

A.μ1最大,σ1最大 B.μ3最大,σ3最大

C.μ1最大,σ3最大 D.μ3最大,σ1最大

2.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,…,n,若P(ξ＜4)＝0.3,则n＝( ).

A.3 B.4 C.10 D.不确定

3.已知随机变量X,Y满足Y＝aX＋b,且a,b为正数,若D(X)＝2,D(Y)＝8,则( ).

A.b＝2 B.a＝4

C.a＝2 D.b＝4

6.某校在一次月考中有600人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布,即X～N(90,a2)(a＞0),试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为( ).

A.480 B.240 C.120 D.60

7.排球比赛的规则是5局3胜制(在5局比赛中,优先取得3局胜利的一方,获得最终胜利,无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为,前2局中乙队以2:0领先,则最后乙队获胜的概率是( ).

8.已知离散型随机变量ξ的概率分布如下表所示,则其数学期望E(ξ)＝( ).

A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4

9.当P(A)＞0时,P(B|A)＋P(ˉB)＝1,则事件A与事件B( ).

A.互斥 B.对立 C.独立 D.不独立

10.已知随机变量X的分布列如下表所示,若,则实数x的取值范围是( ).

A.4≤x≤9 B.4＜x≤9

C.4≤x＜9 D.4＜x＜9

11.设0＜a＜1,则随机变量X的分布列如下表所示,则当a在(0,1)内增大时( ).

A.D(X)增大 B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大

12.某地的脐橙果皮中厚、脆而易剥,果肉酸甜适度、汁多爽口、余味清香,荣获农业农村部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计,脐橙的果实横径(单位:mm)服从正态分布N(80,52),则果实横径在[75,90)的概率为( ).

附:若X～N(μ,σ2),则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827;P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545.

A.0.6827 B.0.8413

C.0.8186 D.0.9545

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.已知离散型随机变量ξ～B(3),随机变量η＝4ξ＋1,则η的数学期望E(η)＝________.

14.李明上学要经过4个路口,前3个路口遇到红灯的概率均为,第4个路口遇到红灯的概率为,设在各个路口是否遇到红灯互不影响,则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为_________.

15.已知随机变量X的概率分布如下表所示,其中a,b,c成等比数列,当b取最大值时,E(X)＝________.

16.某校一次高三年数学统考,经过抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(110,σ2),且P(90＜X≤110)＝0.3.某校有800人参加此次统考,估计该校数学成绩不低于130分的人数为_________.

参考数据:若T服从正态分布N(μ,σ2),则

三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ＝0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ＝1.

(1)求概率P(ξ＝0);

(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).

18.(12分)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表所示.历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:

(1)工期延误天数Y的均值与方差;

(2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.

19.(12分)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数ξ依次为1,2,…,8,其中ξ≥5为标准A,ξ≥3为标准B,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准B生产该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准。从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:

该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品,等级系数5≤ξ＜7的为二等品,等级系数3≤ξ＜5的为三等品.

(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率;

(2)从样本的一等品中随机抽取2件,求所抽得2件产品等级系数都是8的概率.20.(12分)某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣,提高学生生物学实验动手能力,举行生物学实验技能大赛.大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试,初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛.在初试部分,甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,在实际操作考试中“合格”的概率依次为,所有考试是否合格相互之间没有影响.

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试,谁获得下一轮比赛的可能性最大?

(2)这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后,求恰有两人获得下一轮比赛的概率.

21.(12分)一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球(所有的球除颜色外其他均相同),从中一次性任取2个球,每取得一个黑球得0分,每取得一个白球得1分,每取得一个红球得2分,用随机变量ξ表示取2个球的总得分,已知得0分的概率为

(1)求袋子内黑球的个数;

(2)求ξ的分布列与均值.

22.(12分)在学校组织的足球比赛中,某班要与其他4个班级各赛一场,在这四场比赛的任意一场中,此班级每次胜、负、平的概率都相等.已知这四场比赛结束后,该班胜场多于负场.

(1)求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数;

(2)若胜场次数为X,求X的分布列.