两类特殊模型的期望与方差

周 强

(广东省云浮市邓发纪念中学)

引例1将两封信随机投入A,B,C三个空信箱中,设A信箱的信件数为X,求X的期望和方差.

引例2甲、乙两人对同一目标各射击一次,两人射击互不影响,甲命中目标的概率为,乙命中目标的概率为.求命中目标的人数X的期望和方差.

1 投邮模型

预备知识1)将n封不同的信投入m个不同的邮筒中,称之为投邮模型,其特点是元素不受位置的限制.由乘法计数原理可知,将n个不同元素没有限制地分配到m个不同位置上的所有排法种数为mn种.

2)组合恒等式:

例1将n封不同的信投入A,B,C,…这m个不同的邮筒中,求A邮筒中信件数X的期望与方差.

n),即X的分布列如表1所示.

表1

2 射击模型

例2甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次.甲射中的概率为p1,乙射中的概率为p2,丙射中的概率为p3,三人射击互不影响.设ξ表示甲、乙、丙三人中各射击一次击中目标的人数,求ξ的数学期望和方差.

猜想设n个人对同一目标各射击一次,射中目标的成功概率分别为p1,p2,…,pn,且每人射击相互独立.设ξ表示n个人射击一次击中目标的人数,则ξ的数学期望和方差分别为

证明下面用数学归纳法证明.

先证明期望.

当n＝1时,易知ξ服从两点分布,则E(ξ)＝p1,即猜想对n＝1时成立.

假设当n＝k(k∈N∗)时猜想成立,即

为了区分,下面分别用P′(ξ＝i),E′(ξ＝i),D′(ξ＝i)表示当n＝k＋1时随机变量ξ＝i所对应的概率、期望与方差.依题意有

(完)