一类带有p-Laplacian算子和积分边界条件的分数阶微分方程边值问题解的存在性

周新悦,李永昆

(云南大学数学与统计学院,云南 昆明 650500)

1.引言

近年来,分数阶微分方程被广泛应用于生物物理、空气动力学、热力学、控制理论等领域.随着其现实意义的不断增强,许多学者进行了相关研究,并取得了一系列成果[1-4].同时,通过不同的不动点定理或上下界方法求解分数阶边值问题解的存在性和多重性成为一个热点问题[5-7].

另一方面,在研究多孔介质中的湍流流动时,Leibenson引入了p-Laplacian算子的概念,后逐渐被应用于分数阶边值问题[8-12].

例如,LU等人[13]利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理、Leggett-Williams不动点定理以及上下解方法,研究了如下带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题

在分数阶微分方程边值问题的研究中,积分边界条件被引入.

例如,张立新和王海菊[14]应用Krasnosel’skii不动点定理及Leggett-Williams不动点定理,得到了如下边值问题一个及多个正解的存在性,其中1<α ≤2,是标准的Liemann-Liouville型分数阶导数.

另外,许佰雁等人[15]结合Krasnosel’skii不动点定理和Banach压缩映射原理,证明了如下边值问题

基于上述研究,本文研究如下分数阶微分方程边值问题:

为了方便,给出如下后文中将会用到的假设:

2.基础理论

首先,我们给出本文需要用到的定义,引理和格林函数的相关性质.

定义2.1[2]函数g:(0,+∞)R的α>0阶Riemann-Liouville积分定义为

其中右边是在(0,+∞)上逐点定义的.

定义2.2[2]函数g:(0,+∞)R的α>0阶Riemann-Liouville微分定义为

其中n为不小于α的最小整数,右边是在(0,+∞)上逐点定义的.

引理2.1[16]设α>0,则对于(0,1)∩L(0,1),有

其中ciR,i1,2,···,n,n为不小于α的最小整数.

引理2.2设[0,1],2<α ≤3,则边值问题

证由引理2.1且2<α ≤3,有

由引理2.2得,边值问题(2.5)的解为

引理2.4[17]设k(s)s(1−s)α-1,函数G1(t,s)有以下性质:

1)对任意的t,[0,1],G1(t,s)≥0;

2)对任意的t,[0,1],Γ(α)G1(t,s)≤(α −1)k(s).

引理2.5设条件(H2)成立,则函数G(t,s)有如下性质:

对任意的t,[0,1],Γ(α)G(t,s)≤M0k(s),其中M0(α −1)(1+

证 由引理2.4可得,

引理2.5得证.

引理2.6函数H(t,s)有如下性质:

1) 对任意的t,[0,1],H(t,s)≥0;

2)对任意的t,[0,1],Γ(β)H(t,s)≤(1−s)β-1tβ-1.

证当0≤t ≤s ≤1时显然成立.

当0≤s ≤t ≤1时,有0≤t −s ≤t −tst(1−s),则(t −s)β-1≤tβ-1(1−s)β-1.

引理2.6得证.

引理2.7[18](Leray-Schauder连续原理) 设X是一个Banach空间,T:为全连续算子.若存在R>0使得当uλTu,其中(0,1)时,有∥u∥≤R,则算子T至少有一个不动点.

3.主要结果

令EC[0,1],定义E中的范数为∥x∥则E为Banach空间.对于,定义算子T:为

引理3.1假设条件(H1),(H2)成立,则T:是全连续算子.

故T(Ω)一致有界.

另一方面,易知G1(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致连续,故对于给定的[0,1],G(t,s)在[0,1]上一致连续.因此,对于给定的[0,1]和任意ε>0,存在δ>0,使得当t1,t2[0,1]且|t2−t1|<δ时,有

即T(Ω)等度连续.

应用Arzela-Ascoli定理,则T:是全连续算子.引理3.1得证.

定理3.1设条件(H1)-(H3)成立,分数阶微分方程边值问题(1.4)至少有一个解.

证由引理3.1,可得T:是全连续算子.现在我们证明V:uµTu,0≤µ≤1}是有界的.

即∥u∥≤r.因此,V是有界的.由引理2.7,分数阶微分方程边值问题(1.4)至少有一个解.定理3.1得证.

定理3.2假设(H1),(H2),(H4),(H5)成立,则分数阶微分方程边值问题(1.4)有唯一解.

证我们有

因此,由Banach压缩映射原理,分数阶微分方程边值问题(1.4)有唯一解.定理3.2得证.

4.例子

例1考虑如下分数阶微分方程边值问题

计算可得M ≈12.591.取r1,则有

f(t,u(θ(t)))t+sinu(θ(t))+10≤12

由定理3.1,分数阶微分方程边值问题(4.1)至少有一个解.

例2考虑如下分数阶微分方程边值问题

由定理3.2,分数阶微分方程边值问题(4.2)有唯一解.