基于ARIMA模型的北京市GDP分析与预测

李振亮，乐昕雨

（台州学院电子与信息工程学院，浙江 台州 318000）

1 引言

国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）是反映国家或地区经济发展水平和人民生活状况的重要指标。因此，预测GDP 未来趋势可把握经济发展情况，具有重要意义。国内已有诸多研究使用ARIMA 模型对贵州、重庆、江苏、广东、湖北、吉林、陕西、安徽、浙江等地区的GDP 进行分析与预测，表明ARIMA 模型对GDP 预测具有很好的效果。其中，张梓[1]选取贵州省1978-2020年GDP 数据，通过构建ARIMA（0，1，1）模型来对贵州省2021-2025年GDP 进行预测，且2016-2019年相对误差均控制在7%以下。夏如玉等[2]选取重庆市2009-2020年GDP 数据，建立ARIMA（0，1，0）模型对重庆市2021-2032年GDP 进行预测。查华等[3]选取江苏省1975-2020年GDP 数据，建立ARIMA（0，1，1）模型对江苏省2021-2022年GDP 进行预测，且2018-2020年平均相对误差在5%以下。王铮[4]选取广东省1995-2020年GDP 数据，通过构建ARIMA（0，1，4）模型对广东省2021-2022年GDP 进行预测，且2018-2020年相对误差均在5%以下。瞿海情等[5]选取湖北省1978-2019年GDP 数据，建立ARIMA（0，2，3）模型对湖北省2020-2021年GDP 进行预测，且2018-2019年平均相对误差为10.585%。潘典雅[6]选取吉林省1993-2019年GDP 数据，建立ARIMA（2，1，1）模型对吉林省2020-2021年GDP 进行预测，且2018-2019年相对误差均在1%以下。胡咏琪[7]选取陕西省1986-2020年GDP 数据，建立ARIMA（1，1，0）模型对陕西省2021-2022年GDP 进行预测，且2017-2020年相对误差均在6%以下。王佳佳[8]选取安徽省1978-2019年GDP 数据，建立ARIMA（2，1，3）模型对2020-2022年GDP进行预测，且1978-2019年相对误差均在8%以下。郑梦琪等[9]选取浙江省1978-2018年GDP 数据，建立ARIMA（5，1，5）模型对浙江省2019-2021年GDP 进行预测。

北京市作为我国首都，经济发展迅速，GDP 的总量始终居于全国前列。本文将利用R 软件，选取北京市1978-2020年的GDP年度数据，构建ARIMA 模型对北京市2021-2025年未来5年GDP 进行预测，为北京市未来GDP 的发展提供一个科学的参考和依据。

2 ARIMA 模型的基本原理

差分自回归移动平均（Auto Regressive Integrated Moving Average，ARIMA）模型是由自回归模型（Auto Regression，AR）、移动平均模型（Moving Average，MA）和差分法结合而来的时间序列预测模型，常用于非平稳时间序列的分析和预测[10]。对于时间序列数据可以使用ARIMA 模型进行分析，模型表达式为ARIMA（p，d，q），其中p 是自回归项数，q 是移动平均项数，d 是差分次数。ARIMA 模型的数学通式为：Φ（B）（1-B）dXt=θ（B）εt；模型的自回归系数多项式为：Φ（B）=1-Φ1B-Φ2B2-…-ΦpBp；模型的移动平均系数多项式为：θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq；Xt表示需要预测的时间序列，εt表示白噪声序列[11]。ARIMA 模型主要用于平稳时间序列的预测，步骤包括绘制时间序列图、数据预处理（包括平稳性和白噪声检验）、模型识别与定阶和模型预测。

3 基于ARIMA 模型的实证分析

3.1 数据预处理与初步分析

1978-2020年北京市GDP年度统计数据来源于《北京市统计年鉴》，通过Excel 2019 软件建立GDP 的时间序列数据库，使用R 软件（version 4.0.5，the R Foundation for Statistical Computing，Vienna，Austria）对数据进行预处理、建模、诊断、预测等。从时间序列图（图1）可以看到，1978-2020年北京市GDP 呈现指数增长趋势，2020年GDP 值为36102.6 亿元，是1978年的332 倍左右。

图1 1978-2020年北京市GDP 时间序列图

3.2 平稳性检验

从时序图（图1）可以发现北京市GDP 随时间呈指数增长趋势，为非平稳时间序列。因此，首先利用R 软件中log 函数对原始数据进行对数处理，再进行差分。随后利用R 软件中diff 函数对其进行一阶差分，单位根检验结果显示P=0.413 3＞0.05，表明对数一阶差分后的序列还不是一个平稳序列。故对其进行二阶差分，单位根检验结果显示P＜0.05，表明其符合平稳时间序列特征。

3.3 ARIMA（p，d，q）的识别

原始序列数据通过取对数和二阶差分处理后变为平稳序列，因此d=2，初步确定ARIMA 模型为ARIMA（p，2，q）。利用R 软件中acf 和pacf 函数绘制出上述平稳化序列的自相关图（图2）和偏自相关图（图3），通过观察图形的自相关系数变化趋势可初步判断p、q 的取值。从序列的自相关图可以看到序列在零阶截尾，初步判断q=0；从序列的偏自相关图可以看到序列在二阶截尾，初步判断p=2。

图2 自相关图

图3 偏自相关图

为保证p、q 值的选择更加准确合适，利用R 软件中ARIMA 函数进行模型拟合，AIC 值 在ARIMA（2，2，0）、ARIMA（2，2，1）、ARIMA（1，2，0）、ARIMA（1，2，1）等不同参数下，分别为-127.83、-128.89、-122.14、-126.32。根据AIC 准则（该值越低越好）选择最优模型为ARIMA（2，2，1）。

3.4 残差白噪声检验

通过绘制残差序列的Q-Q 图（图4）可以看到残差近似落在一条直线，可以初步判断该序列是随机正态分布。利用R 软件中Box.test 函数开展进一步白噪声检验，结果显示Ljung-Box 统计量的P 值大于0.05，说明该序列属于白噪声序列。因此，可判定模型ARIMA（2，2，1）合理。

图4 残差序列Q-Q 图

3.5 模型预测

通过绘制北京市1978-2020年GDP 预测值与实际值的时间序列图（图5）可以看出预测值与实际值的变化趋势基本保持一致，反映出模型拟合程度较好。

图5 真实值与预测值比较

选取北京市2010-2020年GDP 真实值与预测值数据进行比较，对比结果发现真实值与预测值的相对误差较低，其中2020年的相对误差最高，为0.062（表1）。总体上，真实值与预测值的相对误差较低，反映出模型预测效果良好，可以应用ARIMA（2，2，1）模型对北京市2021-2025年GDP 进行预测。

表1 北京市2010-2020年GDP 真实值与预测值数据比较

利用R 软件中forecast 函数对北京市2021-2025年GDP 进行预测，发现北京市未来5年的GDP 依次为37 094.89 亿元（95%CI：34 027.35～40 439.00 亿元）、38 831.57亿元（95%CI：32 056.01～47 039.36 亿元）、39 714.03 亿元（95%CI：29 877.77～52 788.57 亿元）、41 144.21 亿元（95%CI：27 295.85 ～62 018.62 亿 元）和42 623.04 亿 元（95%CI：24 690.65～73 579.37 亿元），可以看出对北京市未来5年GDP 仍然保持较高的增长速度（见表2）。

表2 北京市2021-2025年GDP 预测值及其95%CI

4 结论与建议

本研究选取1978-2020年北京市GDP年度数据，利用R软件构建出ARIMA（2，2，1）模型，并预测北京市未来5年的GDP 值。该模型显示真实值与预测值的相对误差在7%以下，可较好预测北京市GDP 未来趋势。2020年北京市GDP 预测值出现了超过5%的相对误差，这可能与新冠肺炎疫情有关。通过ARIMA（2，2，1）模型预测北京市未来5年的GDP 值，结果显示北京市2021年GDP 值为37 094.89 亿元，有望在2024年突破40 000 亿元大关。预测模型发现未来5年北京市GDP 呈现出稳步增长的趋势，可为北京市“十四五”发展规划提供决策建议。

一是建设国际科技创新中心，构建首都特色经济体系。通过支持国家级高新技术企业、专精特新小巨人企业和独角兽企业，实现创新驱动和长线发展。继续聚焦高精尖产业，将创新因子融入先进制造业，追求现代服务业顶层价值，吸引国际一流创新人才，打造世界一流人才高地。

二是发挥数字经济核心优势，加强新型基础设施建设。加快北京数字贸易港建设，开展区块链、人工智能、5G 等算力平台先行示范，扩大智慧城市试点区域，更加突出数字经济发展重要地位。

三是建设国际消费中心城市，不断探索消费新模式。针对新时代消费群体的变化，可将北京特色文化融于消费新场景中，加强构建特色商圈、专题品牌等消费活动。将扩大内需作为重要抓手，与传统工商业改造升级进行有机结合，把恢复和刺激消费放到突出位置。

四是鼓励发展民营经济，实现提就业稳税收。民营经济不仅是经济增长、GDP 健康稳定发展的重要力量，也是市场机制有效运行的关键因素。面对新冠肺炎疫情的冲击，经济不断面临挑战，民营经济发展对推动社会主义市场经济建设具有重要意义。构建良好的营商环境，解决企业发展问题更加有助于北京经济高质量发展。