积木规律

陈曦

今天是家里的收纳整理日，妈妈下定决心要整理陈多多小时候的玩具。“收拾整理出来送给其他小宝宝。”妈妈一早就下达了命令，陈多多不敢抗命。

接近中午，姐姐走进陈多多的房间，看见陈多多居然在玩小时候的积木。她心血来潮，决定考一考陈多多。她找来8个积木，2个红色、2个蓝色、2个绿色、2个黄色，向陈多多提出排列要求：

2个红色积木之间只能放1个其他颜色的积木；

2个蓝色积木之间必须放2个其他颜色的积木；

2个绿色积木之间必须放3个其他颜色的积木；

2个黄色积木之间必须放4个其他颜色的积木。

陈多多心想，那我就从第一个条件开始试一试吧。

如果2个红色积木之间放黄色积木，那么2个黄色积木之间还能放3个其他颜色的积木，只能从蓝色积木和绿色积木中选择，这样2个绿色积木之间就无法满足排列要求了。

所以2個红色积木之间不能放黄色积木。

如果2个红色积木之间放1个蓝色积木构成1个积木组，那么有1个黄色积木只能放在积木组的左边。这样还剩下2个绿色积木和1个蓝色积木，继续摆放的话可以满足第二个条件，但是满足不了第三个条件。

所以，2个红色积木之间只能放绿色积木，如下图所示。

2个黄色积木之间还需要放1个蓝色积木，放绿色积木就满足不了第三个条件。

所以，剩下的积木就可以排列成下图的样子。这样排列就满足了姐姐提出的排列要求。

姐姐对陈多多竖起大拇指，说：“没错，你答对了。这个问题被人们称为‘兰福德问题，是一位叫杜德利·兰福德的苏格兰数学家在观察年幼的儿子玩彩色积木后提出的。而且他发现符合要求的排列是唯一的，以8个4种颜色的积木为例，有两种排列形式。

但在数学家眼里，这两种排列形式仅是观看的顺序不同，而没有本质上的差别，所以问题的答案可以认为是唯一的。

陈多多思考了一会儿，说：“那有没有什么规律呢？”

姐姐说：“其实‘2个红色积木之间只能放1个其他颜色的积木这个条件，属于‘极端情况的一种。你从这个条件入手，就是一种解题规律。当遇到难题时，‘极端情况往往就是解题的突破口。从‘极端情况入手，有助于打开解题思路，解题就会变得相对容易一些。当然，你还可以从‘2个黄色积木之间必须放4个其他颜色的积木这个条件入手，但解题过程会变得非常复杂。”

陈多多感叹道：“上次是吃比萨，这次是搭积木，数学家的眼里处处都是数学问题。”

姐姐问：“如果问题增加难度，有10个积木，5种不同的颜色，延续这样的排列要求，并增加第5个条件：2个新的积木之间必须放5个其他颜色的积木。你觉得该怎么排列呢？”

陈多多翻箱倒柜，又找到了一对黑色积木，一个人在房间里倒腾了很久，直到听到房门外传来妈妈的声音：“陈多多，你收拾好了吗？”

陈多多这才恍然惊醒：研究了一下午的积木，忘了收拾，这可怎么办？

他听见姐姐在门外对妈妈说：“陈多多可能又爱上玩积木了吧。”

陈多多无奈地挠了挠头：“5种颜色太难了。”

数学家兰福德早就发现，当积木颜色的种类是4的倍数或是4的倍数减1时，这类问题才有解。陈多多要是知道了兰福德的故事，一定会和他姐姐抗议一番，因为10个积木只有5种不同的颜色，在这种情况下是无解的。但不得不说，陈多多已经学会了数学家的解题思路，那就是从“极端情况”入手分析问题。