基于配合约束的几何公差分配方法

马 宁，杨 波，刘彦超，李金萍，成保忠，高常青

(济南大学 机械工程学院，山东 济南 250022)

0 引言

在产品设计阶段，机械系统装配精度的保障主要来源于零件公差设计，其中几何公差设计已经成为设计人员必须考虑的重要环节。传统几何公差数值的选取多是基于经验法，即根据几何公差项目类型、零件的相关尺寸参数和加工工艺等级，利用类比或查表的方法定义几何公差数值。这种经验法得到的公差数值误差大、加工成本高且忽略了零件间的关联要求和初始配合要求的传递，往往不能满足产品的设计、制造和检测的要求。产品的设计过程与几何公差的分配过程具有同步性和一致性，即随着产品结构的不断演化扩展，作用在装配体层次上的初始配合要求将逐步分解为零件层和几何特征表面层的几何公差要求。因此，当公差原则为相关原则条件时，如何根据初始配合要求实现几何公差的自顶向下分配，提出一种几何公差项目演化的定性分析方法和定量的几何公差数值自顶向下优化分配方法，是该领域亟待解决的问题。

几何公差数值的确定通常建立在公差数学模型的基础上，主要包括小位移旋量模型[1-2]、雅可比旋量模型[3-4]和以自由度为约束的SDT模型[5]等，其作用是确保旋量参数在公差域内按照一定的分布规律随机变动。例如，ROBIN等[6]基于公差带或虚拟边界的传递进行公差链数值的三维计算，建立曲面公差和偏移量的函数；GUO等[7]建立了理想配合表面的装配误差传递模型，考虑变形时公差累积的变化，将平动和转动最大值计入模型进行几何公差的分析；计自飞等[8]提出了基于最小区域法的逐次逼近算法，实现几何公差数值的优化；ZONG等[9]提出了基于控制点的几何要素公差建模和分析方法，根据控制点的位置变化来表示几何要素的公差；唐哲敏等[10]根据三维向量和齐次坐标转换矩阵，构建装配公差传递模型，并以此为映射函数建立统计公差分析模型。

几何公差数值的优化分配，即在保证产品功能和装配要求下设计最经济的几何公差，大多以最小总公差成本为目标函数，采用遗传算法[11]、模糊神经网络算法[12]、粒子群算法[13]等优化算法进行几何公差数值优化分配。此外，SARAVANAN等[14]提出了基于装配函数要求的非线性组合优化问题，并采用带精英策略的快速非支配排序遗传算法(fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-Ⅱ)和差分进化(Differential Evolution, DE)算法来解决该问题；胡西彪等[15]以加工成本、质量损失为目标，以装配功能和加工能力为约束条件，建立了基于离散化成本公差模型和全局蜂群混合算法的多目标公差设计优化模型。

上述研究有助于构建合理的几何公差数学模型，为几何公差数值的优化提供了强有力的理论基础，但是仍存在一定的局限性。在对几何公差进行分析时，现有研究往往建立在公差原则为独立原则的前提下，忽略了几何特征表面间基于配合约束的配合公差与几何公差间的关联，及尺寸公差对几何公差数值分配的影响；目前的相关研究往往侧重于分析模型的建立，而对于几何公差的数值分配还广泛采用的是类比法亦即经验法，这种通过查阅手册确定几何公差数值的方法，往往具有一定的模糊性。因此，如何基于配合约束，分析几何特征表面间的配合公差对几何公差数值的影响，并建立几何公差的量化分配方法，是该领域亟待解决的问题。

针对上述问题，本文提出了一种基于配合约束的几何公差自顶向下分配方法。首先，通过分析配合公差对互参照公差和自参照公差的影响以及互参照公差对自参照公差的影响，构建了基于配合约束的公差关联模型；将作用在装配体层次上的初始配合要求逐步分解为零件层和几何特征表面层的几何公差要求，形成了基于关联的公差生成过程模型；在此基础上，将具有接触配合关系的几何特征表面构成的面偶定义为装配接点，根据几何特征表面的类型以及装配接点的主次顺序确定其旋量，并对互参照公差和自参照公差约束下的旋量进行堆叠，基于旋量矩阵生成配合公差约束和几何公差约束；最后，以最小总公差成本为目标函数，以加工精度约束、基于旋量矩阵的公差约束和互参照公差数值对自参照公差数值的约束为约束条件，利用遗传优化算法实现了几何公差数值的优化求解。

1 基于配合约束的几何公差生成模型

1.1 基于配合约束的公差关联模型

装配体中，广义的配合约束主要包含用于表达与零件自身功能结构有关的内部约束，以及与其他零件有关的外部约束；在产品精度设计过程中，配合约束常常通过公差的形式表现出来，这其中主要包括配合公差、互参照公差和自参照公差。

零件间的配合公差是指组成配合的轴、孔公差之和，是允许间隙或过盈的变动量；互参照公差是指同一零件内两个具有配合约束的几何特征要素间的方向、位置要求，是零件内被测要素与基准要素间的公差要求，除了位置公差外，还包括方向公差、跳动度公差、轮廓公差以及多几何要素间的线性关联或角度关联公差；自参照公差是指同一几何特征的实际要素相对于理想要素的变动范围要求，主要包括形状公差和轮廓公差，是零件内被测要素与自身理想要素间的公差要求。

在几何公差的分配过程中，配合公差、互参照公差和自参照公差互为影响，如图1所示。

(1)根据初始配合表面的类型以及配合约束的类型，产品内的初始配合公差可分解、转化为零件间相应表面的互参照公差项目。

由于工程中常见的几何特征表面主要为平面、圆柱面等，为此本文以该两种几何特征表面为例，说明基于配合约束的配合公差到互参照公差的转化过程。如图2所示，配合约束是设计需求的具体化表现形式，可由距离参数L及角度参数θ量化表达。相应地，配合公差根据设计要求主要分为距离公差和角度公差。初始配合约束可分解、转化为配合表面间的方位约束，同时，初始配合公差可转化为装配体中相关配合表面间的互参照公差。

1)当配合公差为角度公差时，对于角度参数θ，如图2a所示：

当θ=90°或θ=+∞时，配合约束分别转化为两配合表面间的垂直约束或平行约束，配合公差则转化为垂直度、平行度公差；当θ∈(0°，90°)∪(90°，180°)时，配合约束转化为两配合表面间的倾斜约束，配合公差则转化为倾斜度公差。

2)当配合公差为平面间距离公差时，对于距离参数L，如图2b所示：

当L=0时，配合约束转化为两平面间的贴合约束，配合公差则转化为跳动度公差；当L≠0时，配合约束转化为两几何特征表面的距离约束，配合公差则转化为位置度公差。

3)当配合公差为圆柱面间距离公差时，对于距离参数L，如图2c所示：

当L=0时，配合约束转化为两圆柱轴线的同轴约束，配合公差转化为同轴度公差；当L>(d1+d2)/2时，配合约束转化为两圆柱轴线的距离约束，配合公差转化为位置公差；当L=(d1+d2)/2时，配合约束转化为两圆柱面的相切约束，配合公差转化为跳动度公差。

(2)为保证初始配合公差的配合精度，需对初始配合表面或其最小基准要素的形状和轮廓进行约束，并转化成对应的自参照公差项目。

根据初始配合表面的类型，可参照表1选择对应的自参照公差项目。

表1 基于配合表面类型的自参照公差项目

(3)互参照公差对自参照公差具有约束和替代作用。

互参照公差对自参照公差的约束作用表现为：零件间配合约束转化为零件内部要素间的配合约束过程中，零件间相关要素间的互参照公差要求将转化为零件内互参照公差要求；在此过程中，为保证相关配合表面的精度，需对其形状、轮廓进行约束，从而生成相应的自参照公差项目。

如图3所示，初始功能要求是零件P1表面F1,1相对于零件P2表面F2,1的位置度要求。随着设计过程的展开，初始位置要求将分解为零件P1内的面F1,1相对于配合表面F1,2的位置度公差以及配合表面对F1,2与F2,1间的配合精度；为保证面F1,2与F2,1间的配合精度，根据配合表面类型，参照表1需对F1,2与F2,1添加平面度要求；同时为保证配合表面定位的准确性，配合表面F1,2、F2,1相对于其各自的定位表面F1,3、F2,2应具有垂直度要求。

互参照公差对自参照公差的替代作用表现为：当同一几何特征表面同时存在互参照公差和自参照公差时，若互参照公差为轮廓度等综合性公差项目，则相应的自参照公差项目可以被替代。

1.2 基于关联的公差生成过程模型

根据上述基于配合约束的公差关联关系，可构建配合公差到互参照公差和自参照公差的转化过程模型，实现从配合约束到零件表面几何公差的映射。在这一过程中，首先将初始配合要求转化为两配合零件上初始配合表面间的约束关联；以初始配合表面间的配合公差为起点，生成两零件上初始配合表面间的互参照公差，同时为保证配合精度对初始配合表面添加自参照公差；然后，将作用在零件间的互参照公差要求转化为零件内的互参照公差和相应自参照公差要求；最后，考虑互参照公差对自参照公差的替代作用，对几何公差进行检验。

以图4所示的简单装配体为例，基于配合约束的几何公差生成过程如下：

(1)确定初始配合要求，并将之映射为初始配合表面间的约束关联。

如图4所示，初始配合要求体现为零件P1与P2的轴孔配合要求，可以将其映射为初始配合表面F1,2与F2,1之间的配合公差φ16H7/f6，并在两表面间形成配合约束，如图5a所示。

(2)根据配合要求和配合表面的类型，生成零件间互参照公差和自参照公差。

如图5b所示，为保证配合表面F1,2、F2,1间同轴的配合约束，生成零件间的同轴度要求；同时，为保证配合表面F1,2、F2,1间的配合精度，根据其表面类型参照表1，生成圆柱面F1,2、F2,1各自的圆柱度要求。

(3)将零件间的互参照公差转化为零件内的互参照公差，并分析互参照公差对自参照公差的约束和替代作用，最后对几何公差进行检验。

如图5c所示，随着公差的传递，为保证面F1,2、F2,1同轴配合约束，面F1,2、F2,1间的同轴度配合公差将演化为配合表面F1,2对其轴线L1,2以及配合表面F2,1对其轴线L2,1的跳动度互参照公差；为保证定位精度，定位表面F1,1、F2,2分别对配合表面F1,2的轴线L1,2、F2,1的轴线L2,1具有垂直度公差要求；同时，为保证配合精度，根据互参照公差对自参照公差的约束对其配合表面F1,2、F2,1添加圆柱度的自参照公差。

通过上述过程，基于零件间初始配合表面间的配合公差，可得到零件内相关几何特征表面的互参照和自参照公差项目。配合公差不仅对互参照公差和自参照公差项目的生成具有直接的影响，还对公差数值的分配形成相应的约束关系。在上述基于配合约束的公差模型的基础上，即可进行基于配合约束的几何公差数值分配。

2 基于配合约束的旋量矩阵分析与旋量参数堆叠

零件间的装配、定位关系可通过旋量参数来表达，即旋量表达零件间配合表面沿坐标轴方向的小位移矢量，因此基于配合表面间的配合约束可得对应的旋量矩阵。同时，配合公差对互参照和自参照公差的约束关联可表达为微观几何特征表面间旋量参数间的约束关系。在此基础上，可进一步完成基于旋量矩阵的几何公差分配。

2.1 旋量

旋量是三维空间中表达几何特征表面形位变化的小位移矢量，旋量法是一种表达公差变动域的公差分析方法。旋量参数α，β，γ，u，v，w分别对应沿x，y，z轴的转动和平动，其内涵为几何特征表面的自由度约束情况。7种常见的几何特征表面对应的基本转动旋量矩阵J′R和基本平动旋量矩阵J′T如表2所示。

表2 常见几何特征表面的基本旋量矩阵

2.2 装配接点及其旋量矩阵

2.2.1 装配接点

具有装配关系的两个零件，在一定约束下形成的接触配合表面偶即装配接点。例如，图3中的配合表面F1，2与F2，1贴合即构成了一个装配接点。

装配接点是配合公差自顶向下传递的基本载体，同时又是配合约束的特殊表现形式。例如，对于图2b和图2c中的距离约束，当L=0、L=(d1+d2)/2时，两配合表面即构成装配接点。随着设计过程的展开，装配接点的装配关系约束将分解为构成装配接点的配合表面间的配合约束，并进一步转化为互参照公差和自参照公差。

装配接点往往由一对类型一致的配合表面组成。当考虑单一装配接点时，构成装配接点配合表面的约束自由度及其基本旋量矩阵可按照表2进行选取。

当两零件间存在多个装配接点时，需考虑各装配接点对几何公差分配的影响程度，亦即需对各装配接点进行优先级排序。由于零件间的装配是通过对零件的配合表面添加约束实现的，其本质是约束零件的自由度，从而实现零件的定位与装配。因此，本文以装配接点限制的自由度数量为依据，对其进行排序。显然，装配接点限制的自由度数量越多，该装配接点的优先级越高。按照装配接点限制的自由度数量由多到少的顺序，分别将各装配接点定义为主装配接点、次装配接点、第三装配接点，以此类推。

2.2.2 装配接点的旋量矩阵

对于存在多个装配接点的两个零件，由于各装配接点共同作用于零件，并完成零件的定位与装配约束，构成各装配接点配合表面的旋量矩阵不仅取决于其自身形状，还取决于其所在装配接点的优先级顺序。

两零件间各装配接点的旋量矩阵之间具有如下关系：

JA=JR∪JT；

(1)

如图6所示，零件P1和P2间具有圆柱面F1,2和F2,2构成的主装配接点、平面F1,1和F2,1构成的次装配接点以及平面F1,3和F2,3构成的第三装配接点。各装配接点配合表面的旋量矩阵分析过程如下：

(1)首先，假设结合面的装配过程误差为零，根据两零件间的装配结构进行总自由度分析，得到装配结构的总转动旋量矩阵JR和总平动旋量矩阵JT。

本例中该结构实现自由度的全约束，则JR=[α,β,γ]T，JT=[u,v,w]T。

2.3 旋量堆叠

转动堆叠约束是指，互参照和自参照公差作用的几何特征表面的转动旋量矢量和应与配合公差转动旋量具有相等关系，如式(2)：

(2)

式中：αi、βi、γi是第i个几何特征表面的转动旋量参数；α0、β0、γ0是与设计要求相对应的初始配合表面的转动旋量参数。

平动堆叠约束是指，互参照和自参照公差作用的几何特征表面的平动旋量矢量和，加上转动旋量映射到坐标轴方向上的矢量和应与配合公差平动旋量具有相等关系，如式(3)：

(3)

式中：ui，vi，wi是第i个几何特征表面的平动旋量参数；u0，v0，w0是与设计要求相对应的初始配合表面的平动旋量参数；Xi、Yi、Zi是零件在x、y、z轴线方向上的相关尺寸参数。

旋量堆叠反映了配合公差旋量与几何公差旋量间的约束关系。旋量不仅表达其作用表面在结构约束下沿坐标轴方向的小位移矢量，还可以作为参数进一步约束配合公差和几何公差的数值。

3 基于配合约束的几何公差优化

3.1 目标函数的建立

本文采用基于最小成本法的几何公差分配方法。产品的成本主要包括制造成本、装配成本、检测成本等。制造成本是产品成本中所占份额最大的部分，因此控制产品制造成本常常是企业经营的重要指标。这种制造成本与公差之间的关系可以用公差—成本模型来描述，即目标函数为最小总公差成本：

(4)

式中：C(ti)为产品中第i个几何公差数值ti的成本函数，mi为该公差项目涉及的相关表面数量，n为产品中公差项目的数量。常见的自参照公差和互参照公差对应的公差—成本模型[16]C(ti)如表3所示。

表3 公差—成本模型

3.2 约束函数的建立

约束条件包括基于旋量矩阵的配合公差约束、基于旋量矩阵的几何公差约束、作用在同一几何特征表面上的互参照公差数值对自参照公差数值的约束和加工精度约束。

3.2.1 基于旋量矩阵的配合公差约束

在初始配合表面旋量矩阵的基础上，将配合公差沿其旋量参数的方向，向配合表面进行分解与传递，并根据公差带形状得到相关配合表面的配合公差约束。

以图4为例，配合表面F1,2与F2,1间的配合公差为φ16H7/f6。对于零件P1和P2，初始配合表面F1,2和F2,1所构成装配接点的转动旋量矩阵为[α0,β0,0]T、平动旋量矩阵为[u0,v0,0]T。初始配合要求φ16H7/f6可转化为XOY面上一个总偏差为0.054/2 mm宽的圆环形区域，如图7所示。故初始配合面F1,2与F2,1间的旋量约束为：

(u0+30·tanβ0)2+(v0+30·tanα0)2≤

(0.054/2)2。

(5)

转动角β0和α0近似于0°，利用等价代换得到化简后配合约束：

(u0+30·β0)2+(v0+30·α0)2≤(0.054/2)2。

(6)

3.2.2 基于旋量矩阵的几何公差约束

(1)基于旋量矩阵的互参照公差约束

为保障零件间的配合精度与定位精度，需通过互参照公差对零件内初始配合表面与定位表面间的相对方向或位置进行约束。因此，互参照公差的数值受几何特征表面类型、装配接点主次顺序及其几何公差带形状影响的同时，也受配合公差的约束。其中，几何特征面类型和装配接点主次顺序决定了互参照公差的旋量参数；旋量参数在一定程度上反映了几何公差带的形状，即旋量参数代表的平动或转动位移决定了几何公差带形状在坐标轴上的维度；几何特征表面的公差带形状决定了相应互参照公差数值的变化区域。

如表4所示为本文总结出的平面、圆柱面、球面几种典型工程表面，分别作为主、次或第三装配接点的构成表面时，其旋量矩阵、公差带形状及基于旋量矩阵的互参照公差约束。

表4 常见表面的互参照公差约束

(2)基于旋量矩阵的自参照公差约束

为保障配合表面间的配合精度及其空间位置约束，需对配合表面的形状和自身轮廓建立自参照公差约束。因此，初始配合公差和互参照公差的大小会对自参照公差数值产生影响，形成约束。自参照公差数值受配合表面类型和几何公差带形状的影响，它们分别决定了自参照公差的旋量参数以及自参照公差数值的变化区域。表5所示为球面、圆柱面及平面的旋量矩阵、公差带形状、自参照公差类型及基于旋量矩阵的自参照公差约束。

表5 常见表面的自参照公差约束

3.2.3 互参照公差数值对自参照公差数值的约束

当同一几何特征要素同时具有互参照和自参照公差时，互参公差数值对自参照公差数值存在一定约束，其约束可表达为：

t自=δ·t互。

(7)

其中：t自为自参照公差数值；t互为互参照公差数值；δ为t互对t自的影响系数。

当自参照公差为直线度或平面度，互参照公差为定向公差时，δ的范围是0.4～0.5；当自参照公差为直线度，互参照公差为同轴度时，δ的范围是0.3～0.5；当自参照公差为圆度或圆柱度，互参照公差为跳动度公差时，δ的范围是0.3～0.5。在δ的各区间范围内，其具体数值需参照互参照公差的精度等级确定，精度越高，δ的取值越小。

3.2.4 加工精度约束

加工精度是加工后零件几何特征表面的实际尺寸、形状、位置3种几何参数与理想几何参数的符合程度。加工精度约束反映实际加工参数与理想几何参数的偏差程度。

因此，几何公差应满足加工精度约束条件：

(8)

加工精度根据零件尺寸参数(长度L、直径D等)以及加工工艺等级确定，通过查阅GB/T1184-1996可得相应的加工精度约束。

以最小总公差成本为目标函数，以上述基于旋量矩阵的公差约束、互参照公差数值对自参照公差数值的约束和加工精度约束为约束条件；利用遗传优化算法进行优化求解，即可得到最小总公差成本及其对应的几何公差数值。

4 实例

以曲轴活塞机构为例，进行基于配合约束的几何公差数值分配与优化。该机构主要由活塞、连杆组和曲轴等零部件组成，如图8所示。其中活塞销P2、销挡圈P3、螺栓P6、连杆大头上轴瓦P7、连杆大头下轴瓦P8和螺母P10是标准件，无需对其进行几何公差分析。

(1)基于配合约束的几何公差项目生成

1)首先确定初始配合要求，并将之映射为配合表面间的约束关联。

如图9所示，初始设计要求为活塞销孔轴线l1、连杆轴颈轴线l2、曲轴主轴轴线l3保持平行，初始配合要求体现为零件P1与P2、P2与P3、P5与P7、P8与P9、P7与P11、P8与P11之间的轴孔配合要求。考虑到P7、P8是标准件，这些配合要求可以进一步转化为配合表面F1,1与F5,1之间、F5,4与F11,1、F9,2与F11,1之间的配合约束。

2)根据配合要求和配合表面的类型，生成零件间的互参照公差和初始配合表面的自参照公差。

由于活塞销孔轴线l1、连杆轴颈轴线l2、曲轴主轴轴线l3间需具有平行的位置关系，可生成平行度互参照公差；根据初始配合要求，则需保证配合表面F1,1、F5,1间，配合表面F5,4、F11,1间以及配合表面F9,2、F11,1间的同轴配合约束；同时，根据其表面类型参照表1，生成初始配合表面F1,1、F5,1、F5,4、F11,1和F9,2各自的圆柱度自参照要求，如图9所示。

3)将零件间的互参照公差要求转化为零件内的几何公差要求，并分析互参照公差对自参照公差的约束和替代作用，最后对几何公差进行检验。

(2)基于配合约束的旋量矩阵表达

1)首先，分析配合零件间配合面偶的组成及其优先级，从而得到相关配合表面的转动旋量矩阵和平动旋量矩阵。

2)分析曲轴活塞机构中各互参照公差和自参照公差作用表面，得到各表面的旋量矩阵，如表6所示。

表6 曲轴活塞机构几何公差作用表面的旋量矩阵

表6为曲轴活塞机构中几何公差作用表面的旋量矩阵，其中作用在同一表面F9,2的旋量v3=v4，作用在同一表面F5,4的旋量v10=v11。

3)对曲轴活塞机构中几何公差作用表面的旋量参数进行堆叠，其矢量和等于初始配合公差作用表面的旋量参数。该机构中的转动旋量堆叠和平动旋量堆叠约束如下：

(9)

(3)基于配合约束的几何公差优化

1)目标函数的构建。

将曲轴活塞机构中所有几何公差项目作用表面对应的公差—成本函数累加，得最小总公差成本函数(其中各成本函数如表6)：

minC=C3(t1)+2C3(t2)+C7(t3)+C2(t4)+

2C8(t5)+2C2(t6)+C2(t7)+2C2(t8)+

2C8(t9)+C7(t10)+C2(t11)+2C3(t12)+

C2(t13)+4C7(t14)+4C1(t15)。

(10)

2)约束条件的构建。

首先，在初始配合表面F1,1和F5,1，配合表面F5,4、F11,1和F9,2旋量矩阵的基础上，根据配合约束要求和公差带形状得到相关配合表面的配合公差约束：

(v0+50·γ0)2+(w0+90·β0)2≤0.12；(v00+50·γ00)2+(w00+180·β00)2≤0.22。

(11)

然后，对几何公差作用表面进行基于旋量矩阵的几何公差约束的生成，对应的几何公差带形状和几何公差约束如表7所示。

表7 基于旋量矩阵的几何公差约束

被测要素配合面F5,4、F9,2既具有圆柱度自参照公差要求t11、t4，又具有跳动度互参公差要求t10、t3，其约束可表达为：

0.3×t10≤t11≤0.5×t10；0.3×t3≤t4≤0.5×t3。

(12)

最后，分析加工精度对几何公差数值的影响。当加工工艺等级采用7级时，根据图9所示的几何公差类型、相关表面的结构参数，参照GB/T1184-1996得到相应的加工精度约束。各几何公差数值的加工精度约束为(单位：μm)：

12≤t1≤20；12≤t2≤20；60≤t3≤100；12≤t4≤14；30≤t5≤50；7≤t6≤11；10≤t7≤15；7≤t8≤11；30≤t9≤50；60≤t10≤100；12≤t11≤14；12≤t12≤20；7≤t13≤8；50≤t14≤80；10≤t15≤15。

(13)

3)基于遗传优化算法的几何公差数值优化。

基于遗传优化算法的几何公差数值优化分配过程如下：

步骤1设置群体规模、进化代数、交叉概率、变异概率等算法参数分别为50、100、0.5和0.05，并输入几何公差数值(t1,t2,…,t8)；

步骤2随机生成初始种群，对种群个体进行二进制编码；

步骤3计算染色体的适应度；适应度函数也称评价函数，是根据目标函数minC(式(10))确定的用于区分群体中个体好坏的标准。当几何公差数值ti满足相关约束条件，即满足式(11)～式(13)和表7所列出的几何公差约束时，适应度函数F(t)=minC；

步骤4解码，即将二进制编码转化为对应的几何公差数值；并更新运行过程中所得的最小总公差成本；

步骤5若达到最小总公差成本，则输出最小总公差成本的值及其对应的几何公差数值；若未达到终止条件，则进行选择、交叉、变异等操作，从而得到新的染色体种群并返回步骤3继续优化。

在此基础上，得到基于配合约束的最小成本及各几何特征表面的几何公差数值(如表8)。

(4)结果分析

为验证配合约束法的有效性，将该方法与经验法的结果进行对比，如表8所示。

经验法亦称类比法，在几何公差数值的选取过程中，该方法根据几何公差项目类型、被测要素的几何参数以及加工工艺等级查阅相关手册，从而确定所设计零件几何要素的精度，是目前工程领域广泛采用的方法。

经对比可知，采用两种方法所得的活塞孔F1,1圆柱度公差数值t13大小一致；采用配合约束法所得的圆柱度公差数值t4、t6、t7、t8、t11、t15偏小，此外，对比这些公差数值可见，配合约束法中轴的圆柱度公差t15小于其相配合孔的圆柱度公差t4、t11，这与实际工况中孔的加工难度大于轴，可以适当提高轴的加工精度相符；对于构成主装配接点的配合平面F9,5、F9,1和F5,5，配合约束法所得的平面度公差数值t1、t2、t12偏小；配合约束法所得的互参照公差数值t3、t5、t9、t10、t14也略有降低，这是由于该方法综合分析了配合公差对互参照公差的约束、互参照公差对自参照公差的约束；经对比，由于配合约束法既综合考虑了各种公差之间的约束关联，也考虑了装配接点顺序对旋量参数的消减，该方法在提高产品精度的情况下，加工成本也低于基于经验法的结果，对于复杂机械产品，由于零件数量多，当大批量生产时，这种生产成本的降低将更为显著。

表8 两种方法所得几何公差数值及其总成本比较

5 结束语

根据配合公差到互参照公差和自参照公差的分解转化关系，以及互参照公差对自参照公差的约束替代关系，本文构建了基于配合约束的公差关联模型；将装配体层次上的初始配合要求逐步分解为零件层和几何特征表面层的几何公差要求，有利于实现与产品结构同步的自顶向下的几何公差设计。

根据装配结构的约束配合以及装配接点的主次顺序，提出了基于配合约束的装配接点配合表面的旋量矩阵分析方法；在此基础上，结合公差带形状生成基于旋量矩阵的配合公差约束和几何公差约束，并采用旋量堆叠定量表达配合公差对几何公差的约束作用，实现微观小位移旋量对几何特征表面公差数值的约束。

提出了以最小总公差成本函数为目标函数，以加工精度约束、基于旋量矩阵的公差约束和互参照公差数值对自参照公差数值的约束为约束条件的优化算法，为几何公差数值的优化分配提供了可靠的定量计算方法。与经验法对比可知，该方法既提高了产品设计精度，又降低了成本，实现了几何公差数值的精准分配。

本文仅以平面、圆柱面等典型表面为例进行了基于配合约束的几何公差分配方法的研究，尚未涉及其他复杂表面；几何公差数值分配中的公差成本函数也仅是针对平面或圆柱面在特定加工环境下得到的统计函数，具有模糊性；对于其他表面在小批量加工等特定加工环境下，以及几何公差与配合公差在独立原则的情况下，如何进行几何公差的合理、精确分配，仍是后续需进一步展开的工作。