基于TLS-ESPRIT 的改进空间平滑相干信号DOA 估计算法

胡 爽，黄 鹏，蒋 凯，李良荣

（1 贵州大学 大数据与信息工程学院，贵阳 550025；2 北京航空航天大学 电子信息工程学院，北京100000 ）

0 引言

近年来，相干信源的波达方向估计受到广泛关注，并成为阵列信号处理和实际工程应用的一个主要研究范畴，普遍应用于雷达、导航及移动通信系统中［1-2］。而基于子空间的算法，如多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法、旋转不变信号子空间算法等以其高分辨率的估计性能成为研究重点。但由于阵列接收数据协方差矩阵秩亏损的问题，此类算法无法准确估计相干信号源的来波方向。最大似然算法和压缩感知算法对信号的相干性不敏感，但由于其计算复杂度相当大，不适合实际应用。为解决这一问题，Evans 等人提出了前向空间平滑算法和前后向空间平滑（Forward and Backward Spatial Smoothing，FBSS）算法，然而阵列孔径的减少致使这些算法的估计性能较差，并使最大可分辨信号的数量减少。

ESPRIT-like 及其变体受到了广泛的关注［3］。该方法利用样本协方差矩阵（Sample Covariance Matrix，SCM）的任意一行重构Toeplitz 矩阵以恢复矩阵的秩，再与ESPRIT 方法结合就可以直接得到DOA。然而仅应用一行SCM 可能会导致信息的不完全利用和估计精度下降。此外，胡茂厅等［4］提出一种增强的双向空间平滑（SS-TLSESPRIT）算法，此算法先利用双向空间平滑技术对信号做预处理，再结合TLS-ESPRIT 算法估计信号的DOA，但当外部参数发生变化时，其估计的精度会大大下降，因此其稳定性能较差；为提高阵列元素的利用率，张薇等［5］提出托普利茨矩阵重构（Mutiple -Toeplitz matrix reconstruction，MTOEP）方法，但此类算法的鲁棒性受相干信号的相位差和入射角等因素的影响较大；为了解决这个问题，张薇等［6］又提出了一种前后向部分托普利茨矩阵重构（Forward and Backward Partial Toeplitz Matrices Reconstruction，FB-PTMR）算法，该方法仅利用输出协方差矩阵的半行重构Toeplitz 矩阵，但在低信噪比下，Toeplitz 重构方法DOA 估计性能很差。

为克服以上算法缺点，本文在TLS-ESPRIT 算法基础上，提出一种改进的前后向空间平滑算法（IFBSS-TLSESPRIT），该方法首先构造出时空相关矩阵子阵列，有效减小了噪声的影响；其次，通过时空相关矩阵重构平滑后的阵列协方差矩阵，有效地提升了信号的能量，并进一步提高了DOA 估计性能；最后，将该方法与TLS-ESPRIT 算法结合，可直接获得相干信号的DOA。本文方法有效地提高了在低信噪比、小快拍数以及信号间距较小等情形下相干信号波达方向估计的精确度和成功率。将该方法与其他几种典型算法进行仿真对比，结果表明了该方法的稳定性和优越性。

1 均匀线阵信号模型

考虑一个由M个各向同性的传感器组成的对称均匀直线阵列，如图1 所示。相邻传感器的间距为d ＝λ／2（λ是信源波长），设存在K(M ＞K) 个远场窄带信源从不同来波方向（θ1，θ2，…，θK）入射至该阵。则该阵所接收到的数据可描述为

图1 均匀线阵示意图Fig.1 Schematic diagram of uniform line array

其中，x（t）＝[x1(t)，x2(t)，...，xM(t)]Τ是天线阵列接收的数据向量；t ＝1，2，…，T是信号采样次数，也叫快拍数；S（t）＝［s1（t），s2（t），…，sK（t）］T是空间信号向量；N(t)＝[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T是噪声向量，噪声满足均值是0、方差是δ2的高斯分布，并且与信号是完全不相关的；A（θ）＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θK）］是导向矢量矩阵，其中，a(θ) 是均匀线阵响应矢量，包含了角度相关的信息。

理想情况下，可用式（2）表示：

则阵列信号的协方差矩阵为式（3）：

其中，Rs表示信源协方差矩阵；δ2表示噪声功率；I表示单位向量。

2 本文方法

2.1 TLS-ESPRIT 算法模型

假设接收阵列被分成两个一样的重叠子阵列，阵元数为M，且二者的距离为Δ，那么对同一信号而言，其输出值仅存在一个相位差Φ。若Bx和By分别表示两子阵的接收数据，则：

其中，Φ ＝diag［ejφ1，ejφ2，…，ejφK］；S(t) 是 信源；N1，N2为噪声矢量；A为阵列导向矢量。

将阵列的接收向量定义为B，故其表达式（6）为：

则阵列天线的接收向量B的自相关矩阵，式（7）：

其中，Rz为信源自相关矩阵，σ2为噪声方差。

对R做特征分解，并将特征值由大到小排列，取与前K个大的特征值相关的特征向量组成信号子空间，并将其分为Ex，Ey两个部分，故有唯一且满秩的K × K维矩阵T，使Ex，Ey满足条件，式（8）：

用Ex，Ey计算特征值，式（9）：

其中，Λ表示信号子空间。

把E分解为K ×K维子阵，并且构造Ψ，计算Ψ的特征值λk(k ＝1，2，…，K)，式（10）和式（11）：

利用求得的特征值来估计信号源的方向

在信源相干的情况下，E为非满秩矩阵，即由式（11）得到的特征值数目少于信源数，因此TLSESPRIT 方法无法准确估计相干信号的角度信息，必须加以改进。

2.2 前后向空间平滑算法

前向空间平滑技术原理如图2 所示，将原阵划分为p个相互部分叠合的子阵，并对子阵协方差矩阵进行空间平滑来恢复秩，且各子阵包含m个阵元，则p和m 满足：M ＝p ＋m -1。

如图2 所示，前向空间平滑是将第一个子阵当作参考阵，那么第k个子阵所接收的数据矢量，式（14）：

图2 前向空间平滑算法原理Fig.2 The principle of forward spatial smoothing algorithm

其中，

则该子阵的数据协方差矩阵，式（15）：

前向空间平滑处理后所得到的秩恢复的数据协方差矩阵，式（16）：

同样，后向空间平滑数据协方差矩阵，式（17）：

②敷贴药物组方及配制方法：包括炒白芥子、炙甘遂、细辛、延胡索、肉桂、干姜、生麻黄、沉香、冰片、麝香，按4∶4∶2∶2∶2∶2∶2∶2∶1∶1配成，上述药物研末并筛出细粉后用新鲜生姜汁、蜂蜜等溶剂调成膏状，制成1 cm×1 cm×1 cm大小药球，置于5 cm×5 cm的防过敏贴中央，为保证最大疗效，敷贴皆为现场调制。

因为各平滑子阵阵元相同，故Rf和Rb实际上互成共轭倒序阵。再结合共轭倒序不变特性，可得双向空间平滑数据协方差矩阵，式（18）：

对Rfb特征分解，得式（19）：

其中，ΣS是包含i个较大的特征值的对角矩阵，与其相对应的特征向量组成信号子空间US ＝[e1，...，ei] ；ΣN是包含M-i个较小的特征值的对角矩阵，与其相对应的特征向量构成噪声子空间UN ＝[ei ＝1，...，eM] 。

得到M个特征值λ，将这些特征值由大到小排序：

由公式（16）可以看出，前后向空间平滑技术没有改变噪声特性，导致低信噪比下DOA 估计性能下降。

2.3 改进算法

2.3.1 改进的前后向空间平滑算法

对于公式（16），设任意τ ＞0，其第i个子阵的时空相关矩阵，式（20）：

其中，ni（t）表示第i个子阵的噪声向量。

又因为噪声服从高斯分布，即满足均值为0，故式（20）可化简为式（21）：

其中，i ＝1，2，…，K，ω是载波频率。

构造第i个子阵的时空相关协方差矩阵，式（22）：

将前向时空平滑阵列协方差矩阵定义为时空相关协方差矩阵子阵列的均值，式（23）：

同样，后向时空平滑阵列协方差矩阵，式（24）：

对于该方法，需要根据实际的应用背景来确定延时τ。如果信号是非常平稳的或者信号变化方向迅速，τ应该适当地小一些。一般情况下，τ值越大，噪声的相关程度越低，DOA 估计性能越好。

2.3.2 IFBSS-TLSESPRIT 算法

为解决相干信源协方差矩阵秩亏缺的问题，且减少噪声的干扰，将TLS-ESPRIT 算法和改进的空间平滑算法相结合，提出一种IFBSS-TLSESPRIT 算法。

本文提出的相干信号DOA 估计算法归纳如下：

（1）建立相干信号源模型S（t），加入均值为0、方差为δ2的高斯白噪声；

3 仿真验证及性能对比分析

现选取几种典型的相干信号源DOA 估计算法：ESPRIT-like、SS-TLSESPRIT、MTOEP，与本文采用的IFBSS-TLSESPRIT 算法做对比分析。

3.1 仿真一 与其他解相干算法在不同信噪比下性能对比

仿真中采用的均匀直线阵的阵元间距是半波长、阵元数M ＝11。SS-TLSESPRIT 算法和本文的IFBSS-TLSESPRIT 算法利用空间平滑技术划分的子阵列数目为4，快拍数为150，信源数为4，其中3个相干信源的DOA 分别为-5°、5°和18°，另一个非相干信源的DOA 为40°。当信噪比间隔为2 dB，从-14 dB到10 dB 均匀变化时，对本文选取的几种解相干方法进行1 000 次Monte Carlo 仿真，对比其DOA 估计成功概率（估计值与真实值的偏差≤±2°所占的比例），再通过均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）来判断几种算法的准确度，RMSE 定义，式（26）：

其中，L为信源数；K为Monte Carlo 次数；为估计角度；θ为实际角度。

几种方法DOA 估计的均方根误差与信噪比的关系如图3 所示。均方根误差越小，则估计结果越准确。与其他3 种相干信号DOA 估计方法相比，本文方法在整个信噪比区域内的均方根误差都要小，尤其对于信噪比为-8 dB 时，该方法的RMSE仅为1.39°，而其余方法均大于4.00°。说明当信噪比较低时，本文所提出的算法估计的准确性明显高于其他算法。

图3 不同信噪比下DOA 估计均方根误差Fig.3 Root of mean square error of DOA estimation under different signal-to-noise ratios

DOA 估计成功概率与信噪比的关系如图4 所示。可以看出，估计成功概率同信噪比成正相关。在信噪比小于0 dB 的条件下，本文的IFBSSTLSESPRIT 算法DOA 估计成功概率显著高于其他3 种方法，当信噪比＝-8 dB 时，本文提出的IFBSSTLSESPRIT 算法DOA 估计成功概率接近80.00%，而其余方法均小于49.20%。仿真结果验证了本文方法具有更低的信噪比门限以及更好的分辨能力。

图4 不同信噪下DOA 估计成功概率Fig.4 Success probability of DOA estimation under different signal-to-noise ratios

3.2 仿真二 与其他解相干算法在不同快拍数下性能对比

信噪比SNR ＝-5 dB，快拍数间隔为20，从20到220 均匀变化，其余仿真条件与仿真一保持一致。应用ESPRIT-like、SS-TLSESPRIT、MTOEP 与本文IFBSS-TLSESPRIT 方法对信号源在不同快拍数下，先后进行1 000次Monte Carlo 仿真分析，如图5 和图6 所示。

图5 不同快拍数下DOA 估计均方根误差Fig.5 Root mean square error of DOA estimation under different number of snapshots

图6 不同快拍数下DOA 估计成功概率Fig.6 Success probability of DOA estimation under different snapshots

图5 和图6 说明在整个快拍区域，本文方法较之于其他相干信号DOA 估计方法实现了更低的均方根误差和更高的DOA 估计成功概率。在快拍数为220 时，本文方法DOA 估计的RMSE大约为0.56°，DOA 估计成功概率大约为94.12%，而其它方法的RMSE均大于1.22°，DOA 估计成功概率均小于76.38%。即使在快拍数较小的情况下，本文方法与其他方法相比也明显有更好的估计性能。

3.3 仿真三 与其他解相干算法在不同DOA 间隔下性能对比

假设有两个相干信号源，且两信号的波达方向角分别为-6°，-6°＋Δθ（Δθ从4°～16°均匀变化），应用ESPRIT-like、SS-TLSESPRIT、MTOEP 与本文IFBSS-TLSESPRIT 方法对此相干信号在不同角度间隔下，先后做1 000 次Monte Carlo 仿真分析，信噪比SNR ＝-5 dB，其余仿真条件同仿真一，如图7和图8 所示。

图7 不同角度间隔下DOA 估计均方根误差Fig.7 Estimated root mean square error at different angular intervals

图8 不同角度间隔下DOA 估计成功概率Fig.8 Success probability of DOA estimation under different angular intervals

从图7 和图8 可以看出，本文方法与其它相干信号DOA 估计算法相比，在整个角度间隔区域内具有最好的估计精度和角度分辨率。这是由于本文IFBSS-TLSESPRIT 算法利用噪声的弱相关性提高了对噪声的抑制能力。特别是当角间隔大于6°时，该方法的估计误差达到了一个相对稳定的状态（均方根误差RMSE≤1.07°，DOA 估计成功率大于76.00%）。即便在角度间隔小于6°时，本文方法DOA 估计精度和分辨率也大大高于其他方法。

4 结束语

本文利用不同快拍下信号的强相关性和噪声的弱相关性，提出了一种基于TLS-ESPRIT 的改进空间平滑算法以进行相干信号的DOA 估计。基于时空相关矩阵子阵列构造时空平滑阵列协方差矩阵以提高噪声抑制能力。本文方法并不影响非相干信号存在时DOA 的估计，与现有ESPRIT 方法、Toeplitz矩阵重构方法和空间平滑方法相比，在信噪比较低条件下，DOA 估计性能明显提升。在快拍数较少的条件下，该方法的收敛速度比其他方法更快。仿真结果也证实了在相干源之间的DOA 间隔较近的情况下，本文方法比其他方法具有更高的角度分辨率。