锁相放大技术提取微弱信号的极限性能仿真与分析

杜海伟，朱思源，龙 江，刘君威，吕 金

（1.南昌航空大学 测试与光电工程学院，江西 南昌 330063；2.南昌航空大学 无损检测技术教育部重点实验室，江西 南昌 330063）

0 引言

在科学实验过程中经常需要从较强的背景噪声中提取微弱信号[1]。目前常用锁相放大技术提取具有固定调制频率的微弱信号幅值[2-6]，即利用积化和差公式进行频谱搬移，再通过低通滤波器滤除噪声获得微弱信号的振幅。其中在太赫兹信号测量系统中也在广泛使用锁相放大技术[7]。目前常用的宽带太赫兹波相干探测技术有光电导天线[8]和电光取样技术[9]。这两种探测方法中用到的激光脉冲重复频率有100 MHz和1 kHz，其中前者的脉冲间隔为1 ms。普通光电探测器的响应时间为10 µs量级，重复频率为100 MHz的激光脉冲经过光电探测器之后形成准连续电信号[10]，因此常采用光学斩波器以1 kHz频率对激光脉冲进行斩波，获得含有调制频率为1 kHz的周期信号并以此频率作为锁相放大器的参考信号。在这些太赫兹探测系统中，锁相放大技术的各项参数的选取直接影响了太赫兹电场探测结果的信噪比。

本文基于Simulink仿真软件对锁相放大技术的工作过程进行仿真研究，针对含有重复频率为1 kHz信号的噪声处理过程进行分析，研究锁相放大技术从较强的噪声中提取微弱信号的极限性能，并分析积分时间、滤波器截止频率、噪声类型等参数对信噪比极限的影响。仿真结果对于估测实际使用锁相放大技术提取微弱信号，分析实验系统整体信噪比和影响的参数等能够提供较好的理论参考。

1 锁相放大技术工作原理

锁相放大技术利用周期信号作为参考信号，对含有噪声的混合信号进行调制，即利用信号处理中的频谱搬移原理，将待测信号与具有相同频率的正弦或余弦信号相乘，利用积化和差公式可以将待测信号整体向高频和低频两个部分搬移，再利用低通滤波器实现信噪分离，将周期性信号的振幅以整流值输出。设含有噪声的信号表示为：X(t)=Acos(ω1t+φ1)+n(t)，参考信号表示为：R(t)=Acos(ω2t+φ2)。X（t）由具有余弦形式、角频率为ω1、振幅为A的微弱信号和噪声n（t）组成，R（t）为余弦参考信号。含噪信号与参考信号在乘法器的作用下得到以下结果：

式（1）为所需探测的微弱信号与参考信号在乘法器调制作用下的结果；式（2）为噪声与参考信号在乘法器调制作用下的结果。由式（1）可知，参考信号R()t将含噪信号的频谱搬移到了（ω1-ω2）低频区和（ω1+ω2）高频区，微弱信号与噪声频谱同时搬移。调制过后的微弱信号频谱在低频区就可以利用低通滤波器将微弱信号过滤出。若参考信号与微弱信号频率、相位一致，低通滤波器将过滤出，即信号幅值的一半。不断改变参考信号的相位信息，观察低通滤波器的输出波形是否为直流分量，可以测出微弱信号的振幅大小，此时的参考信号相位等于微弱信号相位。该过程的原理图如图1所示。

图1 基本原理图

在锁相放大技术中，上述作用过程中的参考频率、积分时间、移相器等参数对输出结果有很大影响。针对100 MHz的激光脉冲信号在响应时间为10 µs的光电探测器作用下再经斩波器输出1 kHz的准连续信号，选择参考信号频率为1 kHz。积分时间决定了仿真实验的长短，也决定了实验最终的结果。在下文中会详细讨论积分时间的选取。移相器的作用是将参考信号分解为x、y两个正交信号，分别与待测信号相作用，得到正交的输出信号，x、y轴方向上的输出信号此消彼长，其平方和再开根号的结果也为，引入移相器后参考信号无需与待测信号同频，正交式锁相放大器的优势在于非同频信号的提取[11]。探索锁相放大技术的信噪比极限，采用的是同频信号，移相器对于本项工作无实质意义，所以为了简化模型并未引入。采用的仿真流程如图2所示。在Simulink软件中依次选择这些模块元件并连线，按照文中论述改变各模块参数，即可获得仿真结果。具体仿真运算时，为检验运算结果，可以在合适的节点处加入示波器对运算过程进行观测。

图2 仿真流程示意图

2 仿真参数、结果与讨论

2.1 仿真参数的设置与选取

在Matlab软件的Simulink仿真系统中选择所需的模块并搭建仿真模型。输入信号选取正弦sin信号，该模块的表达式如下：

式中：A为振幅，在本次实验中正弦信号的振幅固定为1，通过改变噪声的振幅或功率大小来改变信号与噪声的信噪比；Bias为偏移量，默认为0，保持默认不变；F设置为1 kHz并与参考信号同频；P为相位，与参考信号一致，设置为p2，参考信号的参数设置与输入信号完全一致即可。

本实验用到了两种噪声信号：一种为带限白噪声（Band-Limited White Noise）；另一种为均匀随机数（Uniform Random Number）噪声。其中带限白噪声是频带宽度受限制的白噪声[12]，它的两个重要参数是Noise Power与Sample time。Noise Power指定白噪声PSD（能量谱密度）的高度，它与能量之间的转换关系为：

式中tc是Sample time，也称作噪声的相关时间。均匀随机数噪声利用正态高斯随机数生成器在指定间隔内生成均匀分布的随机数，利用相同的非负种子和参数生成可重复的序列[13]。

仿真过程中固定输入信号振幅，改变噪声功率大小从而改变信号与噪声的信噪比。正弦信号功率P==0.5，功率形式的信噪比计算公式如下[14]：

也可通过改变噪声振幅改变信噪比，幅值形式的信噪比计算公式如下[14]：

通过式（6）、式（7）可将功率比与振幅比转换为信噪比，便于在后续信噪比的计算中使用。

Simulink中提供的滤波器模块主要有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和贝赛尔滤波器三种。其中，巴特沃斯滤波器在通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，比较合适本实验的要求，故选择巴特沃斯低通滤波器[15]。低通滤波器的截止频率对仿真结果也有重要影响，通常选取信号频率[16]的1 1000，即1 Hz。

接下来分析积分时间的选取。判断是否到达信噪比极限是以滤波器是否过滤出直流分量为根据，直流分量的理论值根据积化和差公式可直接推导出为0.5。因此在寻找合适的积分时间T过程中，不断改变参数Stoptime的值，将滤波器中的最后一个数据导出，与理论值0.5相比较。获得的积分时间与输出振幅值如图3所示。图3中，横坐标为积分时间，单位为周期的倍数，纵坐标为输出的振幅值。从图3中可以看出，积分时间选取1 000或2 000倍输入信号的周期时，在该范围内振幅还未趋于平稳；振幅从4 000倍周期开始趋于平稳，之后的一些扰动是由于噪声中与参考信号同频的信号分量也被过滤出的结果。因此后续的仿真中采用4 000倍周期作为积分时间。

图3 积分时间与输出振幅值的关系

两种噪声的参数不一致，所以在后续探寻信噪比极限时先引入功率比与振幅比两个参数。对于白噪声引入功率比，对于均匀高斯噪声引入振幅比，尝试用平均值、偏离度、振幅来确定能够提取微弱信号的极限范围。本实验的结果经过低通滤波器输出波形总是先上升后下降再趋于稳定。波形总是在第三次到达0.5后趋于稳定，于是对输出波形第三次到达理论值后的所有数据求平均值并记录。再将平均值中所得的所有数据计算平均偏离度，平均偏离度的定义如下：

随着振幅比或功率比的不断增大，输出波形变得不再平稳，不能用滤波器最后一个数据代表含有微扰的所有有效数据，即不能用振幅来判断是否到达极限，而是根据偏离度大小来决定微弱信号的提取极限性能。

2.2 仿真结果与讨论

本节根据上述参数的选取，分析仿真运算结果和意义。

根据以上两个参考标准，经过多次仿真和数值计算获得在白噪声干扰下均值和偏离度的结果，如图4所示。其中图4a）是信号与白噪声的功率比与均值的关系，图4b）是功率比与偏离度d的关系。可以看出在允许5%的误差下，由参数均值得到的功率比极限为117 800，由偏离度得到的功率比极限为20 000；在允许10%误差下，由均值得到的功率比极限为600 000，由偏离度得到的功率比极限为80 000。功率比到达极限的情况下应认为均值与偏离度需同时满足标准，取均值与偏离度对应极限中较小者，得出5%误差下功率比极限为20 000，10%误差下功率比极限为80 000。

图4 白噪声与信号的功率比与均值、偏离度关系曲线

改变噪声类型，则上述结果可能有所变化。图5a）是采用均匀高斯噪声干扰下的振幅比与均值的关系，图5b）是采用均匀高斯噪声干扰下的振幅比与偏离度之间的关系。同样取极限中的较小者，允许5%误差的情况下，振幅比极限为170；允许10%误差的情况下，振幅比极限为400。

图5 高斯噪声与信号的振幅比与均值、偏离度的关系

由图4和图5可得出，偏离度总是比均值先到达误差允许范围，偏离度相比于均值对于极限影响的优先级更高。在后续信噪比极限的探索中只考虑偏离度这一个参量。将图4和图5中的横坐标功率比、振幅比分别代入到信噪比的功率形式、振幅形式公式中，统一为信噪比与偏离度之间的关系。最终结果如图6所示。由图6可知，在最高允许10%误差的情况下，含均匀高斯噪声的输入信号信噪比极限最高可达到-52.04 dB，含白噪声的输入信号信噪比极限最高可达到-49.03 dB；允许5%误差的情况下，均匀高斯噪声信噪比极限-44.61 dB与白噪声信噪比极限-43.01 dB相接近，但注意到在10%误差情况下，两种不同噪声下锁相放大技术提取信号的信噪比极限为-52.04 dB和-49.03 dB，有一定差距（图6中两种不同噪声的信噪比值在对应的偏离度5%和10%处在图中已标出）。由此可认为，在要求精度高的情况下，不同噪声对于锁相放大技术提取微小信号的信噪比极限可认为无影响；但在要求精度低的情况下，噪声类型对于信噪比极限的影响不可忽略。

图6 均匀高斯噪声和白噪声的信噪比与偏离度的关系曲线

上述仿真中，设置信号振幅不变，改变噪声的类型和大小，从而研究能够提取信号的极限范围。当噪声逐步增大时，发现锁相放大技术能够提取出的信号振幅值输出不稳定。结合定义的偏离度来确定能够提取的微弱信号的极限范围，从而获得对应的信噪比。对于含有调制频率1 kHz微弱信号的准连续信号，其采样频率需要高于2 kHz，该参数对于目前很多仪器来说容易得到。因此上述仿真运算的参数对于真实仪器测量过程比较合理，其结果具有较高的可信度。

3 结语

本文以Simulink仿真软件为主要工具，针对宽带太赫兹波探测技术中锁相放大器的使用背景，对锁相放大技术提取微弱信号的信噪比极限性能进行了定量分析。仿真结果显示，对于1 kHz的参考信号，最佳积分时间选取4 000倍周期、滤波器的截止频率选择1 Hz时结果最好；对于含均匀高斯噪声的信号，提取微弱信号的信噪比极限为-52.04 dB；对于含白噪声的信号，提取的信噪比极限为-49.03 dB。

本文只选取了频率为1 kHz的微弱信号，若采用同等量级频率信号，其结果应该比较接近；对其他具有较大差别频率的信号，采用锁相放大技术提取微弱信号的信噪比极限范围可参考本文的流程进行仿真。本项工作能够对使用锁相放大技术测量、分析宽带太赫兹波探测系统的信噪比极限提供理论参考，也希望能够对Simulink初学者、初步接触锁相放大技术的学者起到一定的借鉴作用。