用好几何模型提升数学能力

章蓓蓓，朱雅莉

(合肥市五十中学新校 望岳校区，合肥 230031)

解题是一项技术，解题教学是一门艺术，尤其是初中几何教学。教师只是自己掌握知识点还远远不够，还需要用最简练的语言、最科学的途径把解题思路教授给学生。初中几何因为所涉及知识点相对模块化，所以大多数教师都愿意将几何问题模型化。只要反复训练，即便是数学水平很一般的学生，都能在自己所理解的范围内解答一二。笔者及所在课题团队历时一年观摩了若干节关于模型教学的公开课，归纳整理后用于自己的教学实践，并获得一些反思[1]。

模型从哪里来？凭想象生编硬造？肯定不是。初中几何最终被归纳出来的几大模型，其实原型都在教材当中。只是以某个题目为基础，不断改编和拓展，最终形成各种常见的模型。以一个模型为例，围绕该模型论述一个几何模型的提炼与教学应用，旨在提升学生的数学能力。

一、从课本中提炼几何模型

(一)抽取模型

如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。(上海科技出版社《初中数学同步练习》八年级下册第87页第18题)

模型抽取：若正方形中，∠EAF是∠BAD的一半，则有EF=BE+DF。方法是将△ADF顺时针旋转90°，AD边与AB边重合，如图2。此时可得∠BAH=∠DAF，所以∠EAH=45°=∠EAF，由此可证△EAH≌△EAF，问题得证。

以上这一套证法已相对固定，学生只要在正方形里看到有一个从顶点发出的角，度数是45°，那么必然有如上线段间的等量关系。这个模型称为半角模型。在上述问题中，只要知道正方形ABCD的边长，则应用此模型的结论可迅速求出△CEF的周长。

(二)变式强化

接下来尝试两个方向上的条件弱化。

条件弱化的一个方向是半角不完全在原角的内部。

类似于上一题的解题思路，这里可以将△BAE旋转至AB边与AD边重合，具体过程不再赘述。

在这个变式中，教师可进行第二次提炼，得到更一般的半角模型结论：在四边形ABCD中，有两邻边相等，且与这两边相关的一对对角互补，如果从两等边所夹角的顶点(例如A点)出发的角占这个内角的一半，那么这个半角的两边与四边形另外两边(或两边延长线)交点之间所连的线段与某两条线段之间存在和或差的关系。

条件弱化的另一个方向是将四边形改为三角形。

如图5，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°，猜想线段AD、DE、BE之间的数量关系并证明。

该变式题的基本思路依然是将△BCE旋转至△ACH，即CB边与CA边重合。只不过此时线段AD与AH并不在一条直线上，变成了AD、AH与DH形成了一个直角三角形，所探求的线段间数量关系也变成了AD2+BE2=DE2。

由此可以看到，题中虽然没有四边形的条件，但有共端点的等线段和共顶点的倍半角，基本思路并没有变。

至此，半角模型经历了“抽取—论证—变式—完善”的过程，形成了比较成熟的模型结构，也形成了相对稳固的解题策略。

二、几何模型教学注意点

(一)模型的提炼要自然合理

在上述半角模型的第一次提炼中引入得很快，但没有讲透为什么要这样解题，还有没有拓展其他解题方法，也没有讲清楚条件和结果之间的因果逻辑关系，学生处于知其然而不知其所以然的状态。所以在第一次变式问题环节教学中，学生会因找不到正方形的条件而受阻。在二次提炼后，正方形已不是必要条件，但学生在两次条件弱化的变式中还是会花费较多时间研究而不能助于推导。教学中观察发现，学生喜欢套用半角模型条件，一旦条件不具备便会阻断思路。学生在没有对模型结构了然于胸之前，只会硬套模型，存在惯性思维而缺少必要的过程推导。

所以几何模型教学首先要遵循“模型提炼自然合理”的原则。教师因为具有丰富的解题经验，易将几何模型高度提纯，存在惯性思维而缺少必要的过程指导，导致学生短时间内难于理解接受。学生既没有丰富的解题经验，又没有极速的运算能力支撑，对模型的结构理解浅显，往往只能生搬硬套。因此，教师在模型教学中要舍得投入时间让学生经历和体验，碰到典型的几何模型，鼓励学生先去做、去讨论多样的解法，甚至可以让学生在遇到解法单一的模型时反复碰壁。教师在第一次、第二次甚至更多次解题教学时不要急于过多总结，当学生对某一类的题目有一定的积累和感悟时，再适时点出这类题目的共性条件和共性结论，给出最一般的解法，再对模型进行定义，这种逐步提炼的方法才能更加有效。一方面，学生解题经验的逐步积累能够让其意识到这种结构很常见，有时隐藏在复杂的背景中，此时学生已经有了初步的模型意识。另一方面，学生经过之前多次解题经历的感悟，也会认为有必要将之提炼成一个条件与结论间相对稳定的结构，再配以相对成熟的解题策略[2]。

(二)模型的讲解要结构清晰

仍以半角模型教学为例，在前期的铺垫工作后，某一几何模型的教学就可以正式进行。教师在作业讲评或试卷讲评时不可一带而过，而是要像讲授新课那样具有仪式感地进行一节完整的课堂教学。

在模型初步抽取后，一定要反复淬炼，利用变式弱化条件，变换图形位置，让学生真正理解半角模型的结构特征。仍以前述问题为例，需要模型提炼后的第一次变式例题，在学生思而无果时，需要引导学生对比之前的问题，分析旋转完成第一次全等、互补完成三点共线、半角完成第二次全等阶段特点，在得出结论的过程中，分析什么条件还在，什么条件变化，变化的条件是否影响解题。通过对比，学生发现两者的解题过程几乎完全一样。究其原因是因为三个基本条件没有变。这时再引导学生反思，问题引入中哪些条件是可以弱化的，而变式题中哪些条件还可以继续弱化。只有这样不断地追问，组成问题串，让学生反复应用、反复对比、反复归纳，才能加深对半角模型的理解，同时对解题方法能够自然内化。这时抛出第一类弱化条件的问题，学生会下意识地寻找三个关键条件，找到后对比解题策略，发现该问题中的半角不全在两等边组成的倍角的内部。这时教师稍加引导，将△ABE逆时针旋转，将AB边贴合到AD边上。最后抛出另一类弱化条件的问题，让学生在对比条件后认识到四边形已不存在，此时AD与BE已不能连接形成一条线段，所以该题的结论不会再是“a+b=c”型的。那会是什么结论呢？有了前面的基础，教师完全可以放手让学生自己探究。学生即便是模仿刚才的解题过程，也不难探索出应有的结论。经过这两个方向的条件弱化，学生对半角模型的本质特征认识得更清晰：等边和半角。这两个本质条件决定了解题思路，其他条件只是影响结论中线段间的数量关系的具体形式。

(三)模型的迁移要螺旋渐进

通过前面的讨论可以看到，几何模型教学有其必要性，它就像几何定理一样，只要对某几个条件搭配相对稳定的图形结构理解透彻，每次遇到时便不需要再从头研究，省时省力。但把握不好度，便成了“套模型教学”，学生会死记硬背、生搬硬套。所以几何模型教学结束后，教师不要一味地反复套用模型练习，而是要思考如何将模型巩固迁移。

1.延长模型教学战线，追求螺旋式上升

一个模型教学结束后只需适当练一两道题，不可过多过急，不要增加学生负担。然后进入正常的课程教学序列，进行正常的学习与作业练习。一段时间后重温，让学生在潜意识里将该模型与另外遇见的模型作对比学习。同时在一段时间里经过不同类型题目的冲刷，学生记忆可能模糊，这时再次讲解可以唤起学生的学习记忆。只有经过对记忆的反复提取，才会对这一模型印象深刻。

2.关注模型之间相互转化，注重动态化理解

几何模型不能相互独立、静态地去看待。例如：

如图6，在Rt△ABC中，∠A=90°。点D是BC边的中点。点E、F分别是边AB、AC边上的动点，且满足∠EDF=90°。猜想BE、CF、EF之间满足怎样的等量关系？证明你的猜想。

再如图7，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC和∠BCD的角平分线的交点E恰好在AB边上。求证：DC=AD+BC。

这个问题显然又是另一个常见模型——平分平行等腰模型。但也可以看作是上述的半角模型，因为易证EA=EB，且∠DEC是平角AEB的一半，因之也可以用旋转的策略来解决。

3.设置问题条件灵活多样，抓住本质性特征

以2020年安徽省中考卷第23题的第(3)问为例。

三、模型教学提升数学能力

(一)通过模型的提炼培养抽象、归纳的能力

初中几何常见的模型在课本中均有原题，只不过课本中的原题难度较小，也没有太多的变式。教师在第一次教授与模型有关的原题时，不宜直接提炼出模型，而应该带着学生应用本节课所学知识来“就题解题”，并不需要太多的拓展和延伸。等到习题或考试中第二次出现与该模型有关的问题时，教师可使用“先行组织者”原理，让学生回忆之前做过的哪些题与该题相似，当时是怎么解决的。然后再审视现在问题所给出的条件，推出与之前所做之题有什么相似的结论。这时要引导学生不断抽象，使几个关键性的条件形成一个稳固的结构。再到第三次或第四次遇到这类问题时，则需要正式地推出该模型。所以，教师的教学目标不仅仅是解题，而是有意识地引导学生自行归纳、建构出完整的模型，包括模型的典型条件、典型结论、典型解题策略，以及解法中所蕴涵的数学思想。

例如，本文开篇所列举的课本中原题，学生第一次做印象并不太深，但第二次、第三次做过之后就能自发地进行归纳。这时教师即可给出所有的变式，学生进行深层的抽象和归纳，得出半角模型。它的典型条件是：具有公共端点的两条等线段，以及从这个顶点出发的半角。它的典型结论是与半角的边相关的三条线段间具有数量关系，它的典型解题策略是通过旋转将剩余两个角拼接到一起，它所蕴涵的数学思想是化归思想。

(二)通过模型的强化培养类比、迁移的能力

在前述半角模型的变式中，要引导学生不断进行比较：条件是强化了还是弱化了？结论是否发生改变？解题策略发生了怎样的改变？要引导学生自主探索出问题的根本性条件，只要这种根本性条件不变，相应的解题策略就不会改变。这便是通俗意义上所说的“举一反三”，其实也就是类比和迁移的能力。教师在每一个模型的教学中都应该注重培养学生类比、迁移的能力。这就要求在模型教学中，初步提炼出模型结构后，教师不要越俎代庖、讲解过多，而是要设计开放性的问题，采用反问或追问的形式，引导学生自行类比，主动迁移。

例如前述模型的第一次变式(如图3)，教师可以问：正方形是必要条件吗？正方形提供了哪些条件？如果不是正方形可不可以？请你把正方形改成一个合适的四边形，对这个四边形提出一些条件，使得结论仍然成立。到第二次变式(如图4)，教师在给出图形前可以提出问题：还有什么条件是多余的？如果按照目前的条件画图，可以画出怎样不同的图形，请你画画看。再到图5的问题，教师仍可以追问：一定需要四边形才能使这种旋转成立吗？旋转能够产生的最关键条件是什么？因此条件还可以怎样精减？请你提出一个问题。

通过连串的反问与追问，以及让学生自己提问，启发学生进行类比和迁移，最终自我发现哪些条件才是半角模型的根本条件。

(三)通过模型的应用培养综合分析的能力

模型教学并不仅仅是教会学生解决单一的问题，而是培养学生抽取模型的能力和应用模型的能力。而应用模型就是指在不同背景的复杂图形中，能够快速识别哪些条件组成了某一种模型，又或者是哪些条件组成了某种模型的一部分。正如图6与图7所对应的问题，均是多种模型复合的问题。学生如果对模型掌握熟练，便能迅速辨认出条件中都有共端点的等线段，都有半角条件，这些都是半角模型的典型条件。当然图6中还涉及了线段垂直平分线的知识，图7中还涉及了角平分线的知识，需要学生将模型与其他知识点综合起来进行分析。在模型的应用中教师要有意识地将条件和结论互换，培养学生的逆向思维与发散思维，让学生进行更高层次的综合分析。

几何知识的学习对培养学生的逻辑思维具有重要作用，教师在教学过程中要尽力唤醒学生的内生动力，激发学生主动思维、主动建构、主动应用[3]。几何教学仍应注重基础知识与基本结论，因其更具有普遍性和生长性，是后继学习的必要基石。