压电致动的谐振式水下柔性结构动态迟滞建模及前馈补偿

王泽锴，娄军强,陈特欢，邓益民,崔玉国，魏燕定

(1.宁波大学 机械工程与力学学院，宁波 315211；2.浙江大学 机械工程学院 浙江省先进制造技术重点实验室,杭州 310027；3.浙江工业职业技术学院 机电工程学院，浙江 绍兴 312000)

水下航行器对于现代的海洋探索来说扮演着非常重要的角色，活跃在水下勘探、海底测绘以及深海军事等领域。为了使航行器能在复杂水下环境中保持良好运动性，一方面大量的柔性结构被引入到设计中，使其具备轻量化、柔性化等特点；而另一方面，对推进器的推进性能也提出了更高的要求。传统的如螺旋桨推进器不仅存在效率低及转向机动性差等问题，还对海洋环境带来污染和破坏。因此，学者将研究的方向转向了仿生学，使得鱼类生物的身体/尾鳍(body and/or caudal fin,BCF)推进方式被广泛应用于水下航行器上[1-2]。

得益于智能材料的高度发展，如形状记忆合金(shape memory alloy,SMA)、超磁致伸缩材料(giant magnetostrictive material,GMM)及压电陶瓷材料(piezoelectric ceramic material,PZT)等得到了充分的研究[3-5]，以满足仿生推进系统的复杂运动要求。其中，近几年新出现的宏压电纤维复合材料(macro fiber composite,MFC)，在作为致动器时不仅有着传统压电材料行程宽、精度高、响应快以及作动力大等优点，还具备高耦合系数、低压电常数及良好的柔韧性等特点[6]，非常适合BCF推进方式的实现。Cen等[7]研制了一款MFC驱动的内置电源水下机器鱼，基于MFC双晶片悬臂梁的弯曲振动建立了动力学模型，在样机上测试了直线和转向游动。此外，许多学者研究也表明，对BCF推进方式来说，推进器在谐振状态下，具有最优的水下推进性能。林煌旭等[8]对MFC致动的仿鲹科谐振式水下推进器进行了性能测试和仿真，结果显示在略小于固有频率的4 Hz处，推进器的摆幅峰峰值达到10.4 mm，平均推力可达1.5 mN。Tan等[9]通过实验对类鳟鱼多功能机器人的水下运动性能进行了探究，在外加水流的情况下，观察到谐振频率5.4 Hz时，机器人的最大速度达到0.71 BL/s。显然，研究MFC致动水下柔性结构在谐振状态下的特性，将极大地提升水下推进器性能。

然而，MFC材料本身在输入和输出的关系上存在着迟滞非线性，严重影响了柔性结构的控制精度。方楚等[10]研究了基于STOP算子的Prandtl-Ishlinskii,(PI)模型，作为前馈补偿器来补偿压电陶瓷的迟滞效应。PI模型属于算子模型，在模型准确性和求逆上有更大的优势，但传统PI模型并不能很好地描述偏置及非对称性迟滞现象。对此，出现了一类改进PI模型，如Wang等[11]改进了PI模型中的PLAY算子，使其成为一种非对称性算子，而Kuhnen[12]则将死区算子引入到传统的PI模型中，形成了新的算子叠加模型。然而改进PI模型，却无法处理工程应用中常出现的一种复杂迟滞非线性——动态迟滞现象。Janaideh等[13]，将一个广义动态PLAY算子引入到PI模型中，以此来描述超磁致伸缩执行器的动态迟滞现象。除引入动态算子的方法之外，另一种处理方法是将系统的动态特性和迟滞特性分别进行建模。Jian等[14]，将压电致动器的动态迟滞模型分为静态非线性和动态线性两部分，在得到迟滞逆的基础上引入了迭代学习控制。这两种处理动态迟滞方法对比可以发现，前者进一步增加了模型的复杂程度，而后者在满足可行性的情况下，建模的难度更低，更利于操作。尽管目前对迟滞建模的手段较为丰富，但是对于MFC致动水下柔性结构来说，流场环境及流固耦合作用[15]，使得水下动态迟滞现象的复杂程度高于其在空气中的表现，同时也对模型参数的辨识及控制提出了更高的要求。因此，分析MFC致动水下柔性结构在谐振状态下的振动特性，建立动态迟滞模型，对实现仿鱼类BCF游动模式的水下推进器的精密跟踪定位控制有重要的意义和价值。

本文搭建了MFC致动水下柔性结构实验测控系统实验平台，对系统的动态特性进行了测试。针对谐振状态下表现出来的非对称动态迟滞现象，提出了一种改进PI静态迟滞和传递函数动态模型串联的复合式模型进行描述。在完成模型参数辨识的基础上，利用复合式逆模型进行了前馈补偿，实现MFC致动水下柔性结构在谐振状态下对正弦轨迹的跟踪控制。

1 系统描述

本文所选用的柔性结构是以lAL×bAL×hAL的铝制基体为底，利用环氧树脂胶(3M-DP460)将尺寸为lMA×bMA×hMA且工作于d33模式下的MFC致动器(型号M2814-P1)粘贴于根部两侧表面并进行固化，其实际致动部分尺寸为lRA×bRA×hRA，选用基本参数如表1所示。最后利用防水性能优异的环氧树脂胶(3M-DP490)对MFC致动器的电气连接处进行处理，实现防水和电气隔离。具体结构如图1所示，可以看到，该柔性结构被分为两部分，包括无MFC覆盖的被动部分和有MFC覆盖的主动部分，柔性结构可以在MFC伸缩变形的作用下，在y轴方向产生位移。

表1 结构基体及MFC致动器参数表Tab.1 The parameters of the structure substrate and MFC actuators

图1 柔性结构示意图Fig.1 Flexible structure actuated by MFC

为了测试MFC致动水下柔性结构的振动特性，将其一端固定于支架上，并浸没于长方体水缸正中，同时对MFC施加正弦激励电压，形成柔性结构水下振动现象。利用激光位移传感器可对结构的位移信号进行采集，消除光线在水中折射对测量的影响后，最终得到施加电压信号与结构末端实际位移之间的关系。实验原理图如图2所示。

图2 实验原理框图Fig.2 Schematic diagram of the experiment

其中，上位PC机在LabView平台的配合下，与多槽嵌入式USB CompactDAQ机箱(NI,cDAQ-9178)通信，包括施加电压信号的给定和反馈信号的读取。D/A转换模块(NI-AO9263)和电压放大器(Trek PZD700A)相连，后者将前者输出的模拟电压放大200倍后，作为实际的MFC施加电压。A/D转换模块(NI-AI9205)与激光位移传感器(Micro-EPSILON，ILD2200-10，分辨率0.15 μm)相连，使结构的形变位移被转换为数字信号，并能被有效读取。实验装置图如图3所示。

2 水下振动特性

对MFC驱动的柔性结构在水中的动态性能进行测试，利用幅值为400 V，频率范围0.1～8 Hz的正弦扫频电压信号来激励MFC，得到水下柔性结构末端振动位移的幅-频响应曲线。如图4所示，其一阶固有频率落在3.4 Hz附近。

图3 实验装置图Fig.3 Photograph of the experimental setup

图4 水下柔性结构末端振动位移幅-频响应曲线Fig.4 Measured underwater frequency responses of the flexible structure tip displacement

为了消除扫频激励引起的流体运动不稳定对水下柔性结构动态特性的影响，在固有频率附近选取频率范围2～5 Hz，间隔0.2 Hz，共16组单一频率正弦信号进行测试。得到水下柔性结构末端的稳定振动频率特性关系曲线如图5，从图5(a)可以看到，在一阶固有频率3.4 Hz处取得最大振幅3.57 mm，图5(b)为相频特性曲线。

进一步研究MFC致动器引起的迟滞非线性行为，利用谐振状态下的实验结果，绘制末端位移迟滞特性曲线如图6所示。可以看到在正半周期，输入电压121.5 V时，柔性结构末端位移达到正向最大值3.297 mm；而在负半周期，输入电压为-112.8 V时，柔性结构末端位移达到负向最大值-3.827 mm，柔性结构的正负位移存在偏置现象，偏置误差达到7.4%，且表现出非中心对称性，这是由于MFC致动器驱动电压的双极性引起的。

3 系统模型构建

从图6的分析结果来看，系统模型的构建必须对迟滞现象进行描述。由前文实验测得的一阶固有频率看到，受到水下柔性结构振动过程中周围流体附加质量的影响，使得其数值处于一个较低的水平。因此可以认为MFC材料本身的迟滞特性引起了整个柔性结构的迟滞行为，且这种迟滞是静态的，在此基础上，再考虑系统的动态特性。

(a) 幅频特性

(b) 相频特性图5 水下柔性结构末端振动位移频率响应曲线Fig.5 Underwater responses of tip displacement in the steady state with different actuating frequencies

图6 谐振状态下迟滞曲线Fig.6 Hysteresis loop in resonant

本文引入复合式模型，该模型分成静态子模型和动态子模型两部分，利用前者来描述系统的迟滞行为，后者来描述系统的动态特性，其结构如图7所示。

图7 复合式模型框图Fig.7 Block diagram of the compound model

图7中：u(t)为输入变量，即驱动电压；v(t)为模型的中间变量；y(t)为输出变量，在这里为柔性结构的末端位移；N(·)为静态子模型，考虑选取拟合性能好，易于求逆，尤其能满足实验现象所表现出来的偏置和非对称性的建模方法，利用改进型PI模型来进行描述；G(s)为动态子模型。

3.1 系统静态模型

改进型的PI模型，保持了传统的PI模型的部分特点，即采用了迟滞单元加权叠加的方式、在形式上和求解析逆等方面有着自己的优势；此外，该模型还能有效处理迟滞的偏置性，其包含两个算子，即PLAY算子及单边死区算子。前者的表达式为

hj(u,t)=

(1)

式中：j为PLAY算子的编号；hj为算子的输出，特别的，h0j为算子初始输出值；rj为阈值；T为采样时间。后者的表达式为

(2)

式中:i为单边死区算子的编号；x(t)和di为算子的输入和输出；si为阈值。由此，得到改进型PI模型的表达式为

y(t)=υT·D[si]{ωT·H[rj,h0j](u,t)}

(3)

通过式(3)可以看到，改进型PI模型的建立需要确定PLAY算子和单边死区算子的阈值和权值。对于这些值的求解，可以将问题在满足算子输入-输出严格单调的条件下转化为带约束的二次最优问题，具体的公式可通过文献[11]中叙述的方法给出。

3.2 系统动态模型

为了得到系统的动态子模型，可将柔性结构视为一端固定、一端自由的悬臂梁，则基于Euler-Bernoulli梁理论，得到如下传递函数

(4)

式中：q代表模态的编号；Kq、ζq及ωq分别为第q阶振动模态下的开环增益、阻尼比以及角频率。

由于只需要保留系统的一阶振动模态，因此对(4)式的传递函数进行模态截断，引入降阶传递函数模型[16]

(5)

通过式(5)，与式(4)中的传递函数模型对比可以发现，除了保留了一阶振动模态之外，还加入了馈通环节系数D。这是由于系统截断虽然未改变极点位置，但造成了零点位置的扭曲，因此需要引入该系数进行补偿。

4 模型参数辨识

复合式模型的辨识可按照其结构，分别对静态子模型和动态子模型进行辨识。首先选用适当的低频率的标准正弦电压信号，消除系统的动态特性影响，完成静态子模型的辨识；其次，以谐振状态下系统的驱动电压作为输入，通过静态子模型计算得到输出；最后，配合所记录的谐振状态下MFC致动水下柔性结构的末端位移值，完成动态子模型的辨识。值得注意的是，由于柔性结构周围流体不稳定状态会影响其动态特性，因此需要截取稳定振动时的数据。具体的参数辨识步骤如下：

步骤2计算静态模型输出：以幅值400V、频率3.4Hz的正弦电压信号作为静态子模型输入，将步骤1辨识得到的参数代入式(3)模型中，得到静态子模型输出。

4.1 静态子模型辨识结果

由于改进型PI模型的辨识精度和PLAY算子和单边死区算子的个数有关，因此引入相对误差(relative error,RE)和均方根误差(root mean square error,RMSE)来量化模型辨识的精度，进而确定两个算子的数量，定义如下：

(6)

(7)

式中：smo(z)为系统模型输出；sro(z)为系统实际输出；z为数据编号。考虑到模型的鲁棒性和补偿控制计算量等因素，选取PLAY算子和单边死区算子的数量分别为7和3。模型拟合的结果如图8所示，模型RM和RMSE分别为1.83%和0.015 3 mm。通过计算得到PLAY算子和单边死区算子的阈值、权值如表2。从图8可以看到，正负误差最大值接近于正弦波波峰或者波谷处，这是由于在这些位置上速率的变化较大而造成的。

图8 静态子模型辨识结果Fig.8 Identification results of the static submodel

表2 改进型PI模型参数表Tab.2 Identified parameters of MPI hysteresis model

4.2 动态子模型辨识结果

(8)

将辨识得到两部分子模型如图7进行串联，即得到系统的复合式模型。为了验证该模型的准确性，令固有频率3.4 Hz正弦电压作为模型输入，计算得到模型输出，与谐振实验测得的位移数据进行对比，结果如图9所示，RE和RMSE分别为3.21%和0.082 4 mm。从图9中可以看到，误差最大处依然接近于正弦波的波峰或波谷，这是由于静态子模型的辨识误差，经传递函数模型放大后引起的。

图9 谐振状态下模型输出与实验输出对比Fig.9 Comparison between model output and experimental output in resonant state

进一步，为了说明复合式建模方法的必要性，与步骤1建立的静态模型输出进行对比，绘制3 Hz、3.4 Hz及4 Hz三个工作频率下的迟滞环，检验两个模型的拟合程度，结果如图10所示，可以看到，系统的迟滞环形状随频率上升而变化，其方向在固有频率时发生了转动，这一现象可由图5(b)的相频特性来解释，证明MFC致动水下柔性结构存在非对称的动态迟滞现象。从静态模型的表现来看，其迟滞环形状取决于辨识所用原始数据，一旦辨识完成以后，无论输入值频率如何变化，则迟滞环的形状保持不变，而复合式模型输出，根据输入频率的变化表现出一定的适应性，其迟滞环的形状与实验结果基本吻合。表3给出了两种模型在三个不同频率下的检验误差，对于静态模型来说，随着频率的上升，RM和RMSE不断增大，而复合式模型在固有频率3.4 Hz，RE和RMSE分别为3.21%和0.082 4 mm，相对于静态模型的23.98%和2.714 7 mm，精确性得到了大大的提高。此外，在3 Hz和4 Hz的情况下，复合式模型的RE和RMSE相对增大，但仍可以分别保持在9%及0.2 mm以内。因此证明本文所建立的复合式模型在描述动态迟滞现象时有较高的准确性，并在固有频率附近一定带宽内具有更好的泛化性。

5 前馈逆补偿跟踪控制实验

为水下柔性结构设计跟踪控制器时，需要注意的是，在许多实际应用中，由于环境等特殊因素，使得传感器无法被合理的布置，因此反馈控制难以被实现。本文在建立了系统模型的基础上，设计了前馈逆模型补偿控制器。

图10 不同工作频率静态及复合式模型迟滞环Fig.10 Hysteresis loops of static and compound models at different actuating frequencies

表3 不同频率下静态模型与复合式模型的检验误差Tab.3 Testing errors of static model and compound model at different actuating frequencies

5.1 逆模型构建

根据前馈逆补偿控制的要求，在实施跟踪控制实验前，需要先求取系统的逆模型。由于复合式模型的特点，系统逆模型也可被分为两部分，即静态逆模型和动态逆模型。

其中，静态逆模型即为改进型PI逆模型，其表达式如式(9)

(9)

对于动态逆模型，考察式(8)，根据其零极点位置，可以确定其为一个稳定系统，由于其分子分母阶次相同，因此直接求倒数即为其逆模型，表达式为

(10)

5.2 末端位移跟踪实验

为了验证控制方式的有效性，将幅值为±1 mm，固有频率3.4 Hz下的正弦波位移作为目标信号，按顺序输入到动态逆模型和改进型PI逆模型中，根据式(10)和式(9)，计算前馈控制电压。利用计算所得的驱动电压，进行水下柔性结构末端跟踪实验。在实验中，为了避免激励初期低速流体黏滞力对前馈补偿的控制效果的严重影响，采用线性递增的方式，将计算所得补偿电压进行施加，测得柔性结构末端位移如图11(a)所示，图11(b)为实验测得的位移与目标位移的线性度。其中，最大误差为0.061 4 mm，线性度为98.48%，误差产生的主要原因在于辨识模型的精度，从该结果可以看到所采用的控制策略在谐振状态下水下柔性结构末端位移跟踪控制上是可行有效的。

表4 改进型PI逆模型参数表Tab.4 Identified parameters of MPI inverse model

(a) 跟踪控制结果图

同样地，将此前馈补偿控制方法应用于不同的工作频率下来验证模型在固有频率附近一定带宽内的泛化性，分别取3 Hz及4 Hz，幅值仍为±1 mm的正弦波位移作为目标，跟踪结果如图12所示。

图12 不同频率下跟踪控制结果图Fig.12 Underwater tracking performances at different frequencies

由图12可知，最大跟踪误差产生的位置是在正弦波的峰值或过零处，这是由辨识所得的静态子模型在此位置上存在较大误差引起，位移跟踪效果受到模型精度的影响。将稳定状态下，跟踪实验结果的相对误差RE和均方根误差RMSE在表5中进行列举，结果显示，在3.4 Hz时误差最小，随着频率偏移固有频率，误差稍有增大，但仍保持在较小的数值内，证明本文提出的前馈控制方法具有适应性和可靠性。

表5 不同频率下跟踪实验检验误差表Tab.5 Testing error of tracking experiments at different frequencies

6 结 论

本文测试了MFC致动水下柔性结构的振动特性，建立了基于改进PI模型和带馈通环节传递函数模型的复合式迟滞模型，完成了模型参数的辨识。所建立的模型在固有频率3.4 Hz下能较好地描述谐振状态下的迟滞现象，同时在3 Hz及4 Hz时依然能保证一定的精确性，具有较好的频率适应性。基于复合式逆模型，利用所设计的前馈补偿控制器，采用线性递增的控制方式，在3 Hz、3.4 Hz及4 Hz三个不同频率下进行了正弦轨迹跟踪控制实验。结果表明系统的输出结果与目标位移基本一致，证实了所提出的迟滞模型及补偿控制方法的有效性，为后续进一步开展水下反馈控制和复合控制打下基础。