高阶Lamb波模态在腐蚀损伤处的透射特性分析

陈飞宇，罗 志，曹徐伟

(1.中国船舶重工集团公司第七一三研究所，郑州 450015；2.河南省水下智能装备重点实验室，郑州 450015；3.华东理工大学 机械与动力工程学院，上海 200237;4.杭州电子科技大学 机械工程学院，杭州 310018)

航空航天、舰船武备、石油化工等部门的结构服役工况恶劣，容易发生腐蚀，进而可能带来重大安全事故。这些结构的无损检测一直以来备受关注。传统的超声体波检测技术通过测量飞行时间(time of flight，ToF)确定板厚，是腐蚀检测的主要手段[1]。然而，对于薄壁结构，该技术受时间分辨率的限制，并且逐点检测的方式使其检测大面积结构腐蚀的效率低下。

Lamb波是在板中由纵波和横波耦合而成的一类弹性波，具有传播距离远、对结构内部和表面损伤都敏感等优点。Lamb波层析可以快速检测和评估大面积薄壁结构中可能出现的腐蚀损伤[2-4]。Hutchins等[5]利用基础Lamb波模态的幅值衰减、频谱重心偏移、ToF作为滤波反投影算法的输入，反演平底孔、厚度渐变孔等损伤，其中频谱重心偏移的反演结果最接近真实损伤形状。进一步地，他们利用连续小波变换从宽带信号中识别Lamb波模态，分别利用单一模态的幅值衰减、峰值频移、ToF重构损伤[6]。不同模态的不同特征重构同一类型的损伤，所得图像的信噪比、动态范围存在显著差异。Malyarenko等[7-8]利用严重频散模态在厚度变化路径上的ToF作为同步迭代重构技术的输入，结合板厚与群速度的对应关系反演损伤特征。通常而言，所选Lamb波模态频率范围的频散越严重，对厚度损失的检测灵敏度越高。即便如此，由于腐蚀尺寸通常较小，由此导致的ToF变化量也较小，因此反演结果易受路径长度误差的干扰。

高阶模态的截止特性为腐蚀检测提供了另一种思路。Zhu等[9-10]采用频率补偿方法匹配有腐蚀和无腐蚀时的接收信号波形。进一步地，他们利用接近截止频率的退化信号的频移量估计腐蚀深度。Silva等[11]利用连续小波变换提取截止频率附近S1模态的能量，以此检测板背面是否存在腐蚀损伤。Belanger[12]同时激励了多个高阶水平剪切模态，通过观察相速度/频率图中多个模态能量的重新分配来间接估计腐蚀处的最小剩余厚度。Cao等[13]建立了包络差异系数指标，用于描述略高于截止频率的A1直达波包波形的变化，实现了铝板中腐蚀损伤的成像和定位。

本文利用准确模态振型技术(exact mode shapes)激励产生单一的高阶A1模态，并对其在腐蚀损伤处的透射特性进行了分析。通过有限元分析，对比研究了经过不同宽度、深度的腐蚀损伤后A1模态飞行时间、透射幅值以及波形变形。为了说明进一步证明高阶模态在损伤检测的灵敏性，还对比研究了基础模态(A0模态)经过腐蚀损伤的传播特性情况。

1 高阶Lamb波模态腐蚀检测原理

图1给出了铝板中的Lamb波频散曲线，其中铝的材料参数如下：弹性模量为E=71 GPa，泊松比为ν=0.33，密度为ρ=2 700 kg/m3。

(a) 相速度频散曲线

观察频散曲线可以发现，基础传播模态(A0和S0)在所有频厚积下都会出现，而高阶传播模态(A1，S1，S2等)只有在特定频厚积以上才会出现。若频厚积低于截止值，高阶传播模态可能转换为非传播模态(波数为虚数)，只能在局部产生振动，无法沿板平面向外传播能量。高阶模态的截止频厚积可以由下式进行定义[14]

(1)

(2)

式中：cL为纵波波速；cT为横波波速;n为高阶模态阶数。对于无粘弹性的金属板而言，这些截止频厚积实际上也是高阶Lamb波从传播模态转换为非传播模态的过渡点[15]。

对于以高于截止频率传播的高阶模态来说，如果在其传播路径上因腐蚀引起的厚度损失足够显著，则其对应的频厚积可能会低于其截止值。这些高阶模态的部分能量将会转换为其他零阶模态，也有部分能量由于厚度损失而被反射。因此，在截止频率附近激发所需的高阶模态，观察信号的波形或者幅值变化，理论上可实现厚度损伤类损伤(如腐蚀、磨损等)的检测。

2 A1模态经过腐蚀损伤透射特性研究

根据式(1)、(2)计算得到，A1模态的截止频厚积为1 572.1 kHz·mm，S1模态的截止频厚积为3 121.0 kHz·mm，S2模态的截止频厚积为3 144.2 kHz·mm。S1和S2模态虽然也有截止现象，但是在略低于它们截止频厚积的位置处会出现零群速度(zero group velocity，ZGV)厚度谐振现象[16]，该频率点的信号能量较强，给截止现象的分析带来干扰。因此，本文仅分析A1模态在腐蚀损伤处的截止现象。

2.1 有限元模型

如图2所示，采用有限元软件ABAQUS/Explicit仿真Lamb波在二维平面应变模型中的传播过程。试件的基本尺寸为120 mm×4 mm，材料为铝，材料参数在第1章中给出。试件中间预制了一个轮廓为圆弧形的凹槽，圆心位于直线x=0上，以此模拟腐蚀损伤。腐蚀的宽度为W，深度为D。

图2 有限元模型示意图Fig.2 Schematic diagram of finite element model

试件的左右两端放置阻尼递增层，用于吸收边界反射波。各层阻尼按如下公式计算得到

(3)

式中：l为每层吸收边界的长度；L为吸收边界总长度；αmax为阻尼系数最大值；n为幂指数。

根据已有文献的结论[17-18]，本文设置两边吸收边界长度L=40 mm，阻尼系数最大值αmax=5 MHz(激励中心频率500 kHz的10倍)，幂指数n=2。吸收边界共划分为10层，每层长度2 mm。

2.2 单一模态激励

由于Lamb波各模态在任意频率下都是正交的，因此当厚度方向上施加的位移载荷匹配某一模态的位移振型时，理论上在板中只会激励产生该模态[19]。

基于上述原理，本文采用Alleyne提出的准确模态振型技术(exact mode shapes)，该技术通过融合与频率相关的模态位移振型以及输入信号的频谱信息来确定各激励节点应当施加的位移信号[20-21]。

如图3所示，将500 kHz为中心频率的20周期Chebyshev窗调制的正弦信号作为输入，利用傅里叶变换计算其频谱。然后，针对有效带宽(430～570 kHz，高于A1模态的截止频率393.0 kHz)内的每个频率分量，计算所需模态的位移振型。另外，需要缩放位移的幅度，使得在输入信号带宽中的各频率下，模态的总应变能一致。

(a) 时域表示

首先考量某单一频率成分下板厚方向上各节点的面内和离面位移施加情况：计算板厚方向各节点在该频率点下的模态振型位移值ux,A1(z,ω0)和uz,A1(z,ω0)；将这些位移值乘以该频率分量的所占权重值，即图3(b)中输入信号在该频率下的幅值。然后遍历输入信号有效频带范围内的所有频率成分，并通过逆傅里叶变换得到有限元模型中厚度方向上各节点应当施加的位移信号，如图4所示。具体计算公式如下

(4)

(5)

式中：ux(z,t)和uz(z,t)为z位置处需要施加的面内和离面位移信号；ux,A1(z,ω)和uz,A1(z,ω)为频率ω下，A1模态在z位置处的面内和离面位移振型值，具体计算可参考Giurgiutiu给出的公式[22]；ω1和ω2为输入信号有效带宽的上下限；F(ω)为输入信号f(t)的频谱。

根据图1，在输入信号的有效频带内，板中可能存在S0，A0和A1三个传播模态。其中，S0模态的波长范围为7.6～11.8 mm，A0模态的波长范围为4.8～6.1 mm，A1模态的波长范围为13.3～33.3 mm。为了精细化仿真模型，将网格尺寸设置为0.1 mm。根据CFL收敛条件，将时间步长设置为5 ns，以满足时域仿真的要求。图4给出了计算得到的贯穿板厚方向41个节点的面内和离面位移信号。从图中可以发现，A1模态在板中面的面内位移值始终为0，符合反对称Lamb波模态的振动特点。

(a) 施加的面内位移

将上述面内和离面位移信号加载到x=-10 mm处贯穿板厚方向的节点上，在板中可以激励得到单一的A1模态。测点位于板上表面的x=10 mm处，由于来自左右边界的反射成分经过阻尼递增层被充分吸收，因此该测点的面内或离面位移信号可以用于分析略高于截止频率的A1模态与不同尺寸腐蚀损伤的相互作用。

2.3 节点振动分析

对于正常板，准确模态振型技术可以激励出单一A1模态波包。而对于腐蚀板，激励出的单一A1模态将与腐蚀损伤作用后发生透射和模态转换现象，从而产生透射的A1模态波包、转换的A0和S0模态波包。为了减小零阶模态的存在对高阶模态腐蚀损伤作用机制分析的影响，应当尽量选取A1模态振幅相对于其他模态占主导的节点和位移方向。因此，需要先各模态的位移振型进行分析，以确定最佳测量节点和位移方向。

图5为4 mm铝板在500 kHz频率下各模态的归一化波结构。从图中可以看出，在贯穿厚度方向的大部分区域里，A1模态的面内位移基本都大于其离面位移；A0模态在贯穿板厚方向上各节点的离面位移大于其面内位移；而S0模态整体的面内位移与离面位移相当，但在截面上各节点的面内位移关于中面对称，故而可以选取关于中面对称的两个节点，并通过信号相减而消除S0模态。因此，可以选择面内位移作为研究对象，分析不同腐蚀损伤下A1模态的变化。

(a) A0模态波结构

为了进一步降低A0模态对高阶模态损伤作用机理研究的影响，我们讨论了不同模态在贯穿厚度方向各节点面内位移的幅值大小关系，如图6所示。从图6(a)中可以发现，A1模态的面内位移幅值总是大于A0模态，但越靠近上下表面，两者的比值越小。图6(b)为贯穿厚度方向不同各节点A1模态与A0模态面内位移幅值比，从图中可以看出，中面附近的比值最大，上下表面处比值最小。因此，应当优先选择靠近中面的节点来对A1模态损伤作用机理进行研究。在该区域，A1模态的面内位移幅值是A0模态的70倍以上，因此A0模态的干扰可以忽略不计。

(a) A0模态和A1模态面内位移分布

3 仿真结果分析

图7为仿真计算的正常板和腐蚀板上正向传播的Lamb波A1模态波包。可以发现，随着损伤尺寸的增加，透射波包受损伤的影响也越大。为了探究A1模态波包受腐蚀损伤的作用机理，本文讨论了各个时域指标的变化规律。

作为对比，本文同样也计算了A0模态入射不同尺寸腐蚀损伤的结果。输入信号为100 kHz为中心频率的4周期Chebyshev窗调制的正弦信号，有效带宽为30～170 kHz。采用图2所示的有限元模型进行分析，利用准确模态振型技术在板中激励产生单一的A0模态。在该频段，即使在腐蚀损伤处发生模态转换，板中也只存在A0和S0模态，而S0模态的面内位移关于中面对称。因此，本文采集上下表面节点面内位移，并将位移求差以消除由引入损伤而产生的S0模态。

(a) 正常板的接收信号

3.1 飞行时间

正常板(图7(a))中波包的传播速度等于中心频率下A1模态的群速度，而当发生厚度损失(即频厚积减小)时，A1模态的群速度减小，甚至趋于截止点(群速度为0)，这就导致其波包到达时间显著滞后。因此，利用接收信号的飞行时间(ToF)表征损伤的程度。

Lamb波波包总体飞行时间是整个传播路径上每一个小段路径飞行时间的总和。由于没有截止特性，零阶模态在没有腐蚀损伤的路径上群速度保持一致，只有在损伤区域其群速度有变化，因此零阶模态总体飞行时间变化不大。不同于零阶模态，由于存在截止特性，高阶模态在经过腐蚀损伤时一部分频率的成分将被截止，透射波包的频率成分将发生变化。因此，除了在损伤区域其群速度有变化之外，在损伤至接收节点之间(后半段)的路径上Lamb波的群速度与激励节点至损伤之间(前半段)的路径的群速度也有差异。因此，高阶模态的ToF对腐蚀损伤更加敏感。

这里定义ToF为接收信号波形包络的幅值达到其最大值20%的最早时刻与激励信号包络最大值20%的最早时刻的差值。图8(a)绘制了25种不同腐蚀损伤尺寸以及正常状态下A1模态ToF的变化曲线。可以发现，损伤宽度W或损伤深度D较小时，A1模态ToF相比正常状态时的ToF变化并不显著。但是随着损伤宽度和深度的增大，腐蚀损伤对A1模态ToF的影响愈加显著。特别地，当最小剩余厚度(d-D)减小至3.4 mm以下时，ToF会显著增加。

(a) A1模态ToF与腐蚀尺寸的关系

作为对比，图8(b)绘制了25种不同腐蚀腐蚀损伤尺寸以及正常状态下A0模态ToF的变化曲线。从图中可以看出，ToF的数值与损伤尺寸呈现单调递增的关系，但是递增幅度较小。这说明A0模态波包的ToF受腐蚀损伤作用影响小。通过对比高阶模态和零阶模态经过腐蚀损伤后ToF的变化情况，可以发现，当腐蚀损伤尺寸较大时，零阶模态的ToF对损伤敏感性较小，而高阶模态的ToF对损伤敏感性较大，适合用于损伤检测。另外，对ToF的变化规律的研究有望为损伤定量评估奠定基础。

3.2 透射幅值

除了传播时间的变化，高阶模态在通过腐蚀损伤时还会伴随着透射幅值的降低，但透射率除了与损伤尺寸有关，还与损伤轮廓等因素相关。另外，透射波包的幅值还与波包的频率组成有关，与频散特性关系密切。因此A1模态的幅值并不完全是随损伤尺寸的增大而递减的函数。图9(a)统计了不同损伤尺寸下的A1模态透射波包包络的最大幅值变化情况。从图中可以看出，A1模态的透射幅值与损伤深度D呈单调递减关系，而与损伤宽度W并不是单调递减关系。当损伤深度D较小时，透射幅值随腐蚀宽度W的增加反而增大。而当损伤深度D较大时(1 mm)，则规律相反。经分析，该规律与损伤轮廓和铝板表面的斜角有关。另外，可以发现，当腐蚀宽度W较小时，A1模态幅值随腐蚀深度D变化规律接近线性关系，而当腐蚀宽度W较大时，A1模态波包的幅值随腐蚀深度D增加而迅速下降。总之，A1模态的透射幅值并不是某单一损伤尺寸的单调函数，而是受腐蚀宽度W和腐蚀深度D的综合影响。

(a) A1模态幅值与腐蚀尺寸的关系

作为对比，图9(b)绘制了不同腐蚀腐蚀损伤尺寸下A0模态波包包络最大幅值的变化曲线。从图中可以看出，随着损伤尺寸的变化，透射波包幅值几乎不变，甚至有微小的增加。这说明A0模态透射幅值受腐蚀损伤作用影响小。经对比分析，高阶模态的透射幅值对腐蚀损伤的敏感度远高于零阶模态，有可能被用来进行轻微腐蚀损伤的检测。

3.3 波包变形程度

由于腐蚀损伤造成平板局部厚度减薄，在减薄区域高阶模态的频厚积接近甚至低于截止频厚积。这一效应一方面造成一部分频率成分(接近截止频厚积)的传播速度趋于0，形成严重频散现象；另一方面造成一部分频率成分传播(低于截止频厚积)被截止，使得该部分频率成分被反射或发生模态转换。因此，高阶模态在经过腐蚀损伤时会发生严重的波包变形。为了对波包变形程度进行分析，引入皮尔逊相关系数来表征两个时间序列(激励信号和透射信号)的相似性，具体计算公式如下[23]

(6)

式中：cov(X,Y)是序列X和Y的协方差;σX是X的标准差;σY是Y的标准差。

图10(a)统计了A1模态在不同尺寸腐蚀损伤作用下波包的变形情况。从图中可以发现，波形相似性系数分别是损伤宽度和深度的单调递减函数。当腐蚀宽度较小时，腐蚀对波形的影响较小。当腐蚀宽度和深度都较大时，损伤将严重影响A1模态的波形。如图7(d)腐蚀板(W=8 mm,D=0.8 mm)的接收信号相较于原始激励信号已经产生了较大的波形畸变。

(a) A1模态与激励信号相似性与腐蚀尺寸的关系

作为对比，A0模态的波包则受腐蚀损伤影响较小。如图10(b)所示，在所研究的25种尺寸的损伤作用下，A0模态波包与激励波形的相似度均在98%以上。通过对比分析，高阶模态的波包变形程度远大于零阶模态，因此该指标也可以用来表征腐蚀损伤的存在。而且由于变形程度与损伤的宽度和深度都呈现递增的关系(相似性递减)，对该指标的研究有可能为损伤定量评估提供信息支撑。

4 结 论

本文采用准确模态振型技术，并结合有限元数值仿真，分析了高阶Lamb模态在腐蚀损伤处的透射特性。该方法通过精确控制板厚方向各节点的质点位移从而在结构中激励出单一模态，可以方便地分析特定类型的损伤与该模态的相互作用机理，并可以探究不同尺寸的损伤与Lamb波模态传播特性的作用规律。

利用有限元计算发现，略高于截止频率的A1模态经过腐蚀损伤，接收信号的飞行时间(ToF)会显著增加，且随着损伤尺寸的增大而单调递增。同时，接收信号的幅值会显著降低，但透射幅值并不是单一损伤尺寸(尤其是腐蚀宽度)的单调函数，而是受腐蚀宽度W和腐蚀深度D的综合影响。另外，A1模态波包的波形也会受到腐蚀损伤的影响，且影响的程度与损伤的尺寸呈现正相关性。对于传播特性参数变化规律的研究将为基于多模态Lamb波的损伤定量评估与损伤轮廓重建奠定理论基础。

本文还对比研究了有相似频散规律的A0模态，结果显示，A0模态的飞行时间、透射幅值以及波包波形变形程度均受腐蚀损伤影响较小。研究结果也验证了高阶模态在腐蚀损伤检测方面的优越性。另外，不同模态通过结构损伤时的差异性表达也为无基准多模态联合损伤评估提供了理论支撑，该方面的研究为多模态Lamb波的信息挖掘提供了新思路。