基于高斯赛德尔迭代的输气管道状态静态模拟

文/王炜斌，何璐楠

0 引言

近年来，我国开建的天然气管道数量日益增多、管道的长度也急剧增加。如何保证输送管道的稳定可靠运行是一项重要而艰巨的任务。当输送管道的流动参数不随时间变化时，意味着管道进入稳定运行状态。管道稳态仿真原理是在已知的管道结构，根据初始节点的压力和载荷求解各个节点的压力和流量。而针对天然气管道稳态的仿真，有助于输送管道系统的优化设计和管理。稳态仿真不但可以减少投资浪费，优化系统设计，而且对于后期生产也有保障作用。

管道仿真技术就是为了发展现代管道技术应运而生的。计算机仿真技术就是采用计算机求解系统模型的数值解并对结果进行分析论证的一门综合性技术。仿真结果的优劣取决于模型是否足够精确（即理论模型与实际系统的误差是否达到要求的精度）、是否能够全面反映实际系统的特征。严格说来，对于气体输送管道的建模，流动气体的热力学参数与运动学参数是相互关联的。如果压力和温度较低，可以忽略压力和温度变化，将其当作等温气体处理，简化计算复杂度。但对于高温气体必须采用特殊方法。此外，流动的气体常常处于不稳定的状态，若不稳定状态程度较小，可以将其蜕化为稳定状态处理。但当存在较强不稳定状态时，必须采用动态方法来处理。

目前在工业中应用的天然气管道计算模型，大多采用的稳定流、简化的水力热力公式，传统的气体状态方程。由于这些公式是在很多理想化的条件下建立的，因而所得到的计算结果精度和使用性较差。根据大量工程实例，当输送管道的气体压力较小且温度较低时，采用传统的计算方法得到的结果与实际数据吻合度较高。但对于高温高压输送管道，传统的设计方法就失效了。不仅计算过程较为烦琐，在计算精度方面也同样无法满足要求。这种情况在压力超过6 Mpa时尤为明显。因此急需寻找一种新的求解气体管流偏微分方程组的有效方法。

本文选用高斯-赛德尔迭代（Gauss–Seidel method）求解线性方程组。该方法与雅可比法都采用了矩阵分解原理，但比雅克比法的求解速度快，而且省去了对原函数进行微积分运算，计算简便，在求解微分方程领域是一个重要的工具。

1 理论模型

当管道内的天然气稳定流动时，管道内的温度T、气体的压力P和流速三者之间满足连续性方程、能量方程、热平稳方程，具体如下所述。

气体内势能的减少等于动能、位势能的增加与摩阻损失之和，因此满足能量方程dP+pTds+pgdz+pdw2/2+0。其中，dP为气体的内势能，Tds为摩阻损失，pgdz为气体的位势能，pdw2/2为气体的动能。P为气体的压强，单位为Pa。z为管道高度，单位为m。

天然气在管道内流动满足热平稳方程。dh+d(w2/2)/dx=dq/dx。其中，h为气体的焓，单位为J/kg。q为单位质量的气体吸热量，单位为J/kg。

沿线高程差小于200 m的输气管可以作为水平输气管来计算。定D义为管道内径，单位为m；λ为摩阻系，为无量纲参数。摩阻损失Tds可以简化为：由于h=f(P,T)，式（1）可以写成：

将连续性方程、能量方程、热平稳方程及方程（2）进行整理，写成式（3）所示的矩阵形式。常微分方程方程组式（3）即为天然气管道时的动态方程。

求解式（3）所描述的常微分方程必须已知边界条件。边界条件分为初值问题和多点边界两类。本文所讨论的是初值问题，即已知输气管道起始点位置的状态参数值，由微分方程求管道其他位置的流量、压力、温度值。求解初始值问题的方法有很多，在此选用高斯赛德尔迭代法。该方法属于显式方法，是在雅克比矩阵迭代法的基础上发展来的。采用高斯赛德尔迭代法进行输气管静态模拟的计算过程是依次计算公式（4）、公式（5）、公式（6）。其中公式（4）、公式（5）、公式（6）均是由公式（1）至公式（3）并结合高斯赛德尔迭代经过推导演变获得的，其参数含义、单位和之前的相同。

根据上述计算步骤，使用数值分析理论和Matlab编程，给定天然气管道的初始数据和已知气体、环境参数，即可求得管道沿线各截面的温度、压力和流速分布情况，同时可以利用Matlab的绘图功能。将沿途压力、温度、流速的变化以折线图的形式进行表达，从而更加直观，也便于在以后的工程应用中，快速掌握管道情况，进行实时监测控制。

2 计算示例

某输气管道全长957 km。设输气量为Q＝8x108 m3／年。起点压力为8.9 MPa。管径为635×8.74(24英寸)。天然气的组成中甲烷为94.81%，乙炔为2.45%，二氧化碳为2.16%，氮气为0.58%。土壤的导热系数为1.2 W/(m·k)。管道埋深1.3 m。管道粗糙度0.016 38 mm。土壤月平均最低温度5 ℃。

为了说明本文所提出的高斯赛德尔迭代方法的有效性，与雅克比迭代相比较求解计算实例。仿真结果给出了输气管沿线的温度如图1所示，输气管道沿线的压力如图2所示，输气管道沿线的流速图3所示。

在图1中实线代表实际温度，点划线代表采用雅克比方法求解的温度，虚线代表采用本文方法求解的温度。从图1可知输气管道沿线的温度随输送距离的增加不断减小，本文所提出的方法求解的温度更接近实际数据。在图2中实线代表实际压力，点划线代表采用雅克比方法求解的压力，虚线代表采用本文方法求解的压力。从图2可知输气管道沿线的压力随输送距离的增加不断减小，相比于雅克比方法，本文所提出的方法求解的压力也更接近实际数据。在图3中实线代表实际气体流速，点划线代表采用雅克比方法求解的气体流速。虚线代表采用本文方法求解的气体流速。从图3可知输气管道沿线的流速随输送距离的增加而增加，相比于雅克比方法，本文所提出的方法求解的流速也更接近实际数据。

图1 输气管道沿线的温度

图2 输气管道沿线的压力

图3 输气管道沿线的流速

综上所述，输气管沿线压力逐渐降低，流速逐渐减小，温度逐渐降低，与雅克比求解方法相比，更接近实际情况。

3 结语

本文通过Matlab编程，采用高斯赛德迭代法对稳态天然气管道状态进行模拟，比四阶龙格库塔法计算复杂度低、计算时间短，比雅克比方法精度更高，为工程应用提供了理论参考。同时，将该方法做进一步改进和拓展，使之适应现有的自动化设备，并将其应用于长距离天然气管道输送，为工业自动化、现代化和管理的系统化、智能化保驾护航。