数学文化在中考试题中的渗透及其教学启示

陈 琦

（宁波市海曙区储能学校，浙江 宁波 315010）

“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”[1]近年来，有关数学文化的试题频繁渗透在各地中考试题中，体现了数学学科育人的基本理念。

一、研究数学文化类试题的价值和意义

（一）数学文化对教师专业发展、转变教学观念具有引领作用

优秀的数学教师不但要具备学科素养，更应该有精湛的教学艺术。数学文化在中考试题中的渗透，促使数学教师具备更广阔的数学视野和更深厚的人文情怀，以强烈的责任感和使命感去了解数学文化。所谓要给学生一杯水，教师首先要有一桶水，这桶水就是数学教师的专业素养，不仅仅是数学知识和能力，更应具备深厚的数学文化情怀。浙教版教材中有很多有关数学文化的素材，但是由于部分数学教师不够重视，往往不能充分发挥数学文化的育人价值。近年来数学文化在中考试题中的不断渗透，促使广大教师转变传统的教学观念，有意识地将数学文化融入课堂，主动成为数学文化的传播者。

（二）数学文化提升学生文化素养，对理解数学具有启迪作用

数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养[1]。所谓数学素养，通俗理解，就是忘掉已学的数学知识后还剩下的东西。对大多数人而言，将来的工作和生活不会再去研究数学，那么，学习数学的目的是什么？是为了将来面对工作生活领域中困惑时能够用数学的理性进行思考，用数学的思维去解决问题。这就特别需要我们培养出具备数学素养的学生。遗憾的是在目前的中学数学教学中，一些学生在不断地刷题、考试中，失去了对数学的兴趣，认为数学是枯燥的代名词。这不得不说是数学的悲哀。事实上数学文化中蕴含的生动有趣的游戏、赏心悦目的构图、穿越时空的历史故事等，对拓宽学生的视野，激发他们的民族自豪感有很大的作用。这些有趣的数学故事和游戏既具备数学的理性，又充满了数学的美感，对学生理解数学也具有启迪作用。数学文化对提升人的素养也有积极的作用。学生要解决数学问题时，首先要阅读理解素材，其次要提炼相关信息，最后建立数学模型解答问题，正是这些过程，培养了学生逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模、直观想象和数据分析六大核心数学素养。同时也让学生感受到数学温厚的文化情怀和深刻的理性精神。

二、2022年全国各地渗透数学文化的中考试题分析

（一）方程类的数学文化题型

笔者研究了上百份2022年的全国各地中考试题，发现渗透数学文化题型出现最多的是方程类的题型。如：山东泰安卷《四元玉鉴》中“买椽多少”问题，浙江绍兴卷《算学启蒙》中“良马追及”问题，四川成都卷《算法统宗》买果问题，湖南岳阳卷的《孙子算经》中的“百鹿入城”问题，广东深圳卷《九章算术》“盈不足”问题，等等。对方程类数学文化试题的探究，有助于培养学生人文素养、数学运算、数学建模等素养。

例1（2022浙江宁波卷）：我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十，今有米在十斗桶中，不知其数，满中添粟而春之，得米七斗，问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为。今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少。再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗。问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）。

背景赏析：《九章算术》是我国古代西汉时期一本重要的算学著作，它总结了秦汉以前我国在数学领域上的重要成就，对中国产生了深远的影响，是一部数学百科书式的大著作[2]。教学建议：题目中已有对文言文的解释，所以只需指导学生把文字语言转化为数学语言，确定已知量与未知量，明确两个等量关系：原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7。最后据此构建方程组。此题考查两元一次方程组，命题的价值在于培养了学生的阅读理解能力，数学建模构造方程解决问题的能力。

（二）勾股类的数学文化题型

在数学发展史上，勾股定理有着举足轻重的地位与价值，可以说是初中数学最重要的定理之一。对勾股定理的应用和证明，一直是历年中考题的热点问题。如：2022年湖北黄冈卷求勾股数的弦长问题，四川遂宁卷勾股树中正方形的个数问题，四川宜宾卷求“弦图”中大正方形面积，等等。

例2（2022湖南湘潭卷）：中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图1），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（ ）。

图1

背景赏析：《周髀算经》可以说是中国国粹之一，据史书记载，《周髀算经》并未直接给出勾股定理的证明方法，而是汉代数学家赵爽利用弦图对此进行了证明。弦图精妙地展现了几何图形的截、割、拼、补，其构思精巧，富有创意，既表达着逻辑的严谨，又呈现了几何的直观，是数形结合的典范[3]。教学建议：教师先简单介绍《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，在数学上的主要成就是介绍并证明了勾股定理。在背景赏析的基础上，可以让优秀学生上台来展示其解题思路和过程，学生根据弦图的截、割、拼、补的图形特点，寻求直角边之间的关系。得出大正方形的面积为5，然后设小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和三角形面积建立两直角边关系的二元方程，教师适当点拨学生灵活使用完全平方公式简化计算，求得直角三角形的两条直角边的长，即可求得tanα的值。师生共同合作，展示过程中运用了勾股定理、方程、三角函数等知识点，充分体现几何的直观和数形结合的完美。

（三）游戏类、故事类的数学文化题型

游戏类、故事类的数学中考试题不仅发展了学生的思维，而且极大提升了数学试题的内涵，使数学中考试题不再是枯燥的演练，而是充满童趣，生机盎然。2022年各地中考试题也涌现出一批游戏类和故事类的中考数学题，如：江苏连云港卷“石头、剪子、布”游戏猜赢的概率问题，河北卷“曹冲称象”的故事，湖北武汉卷中的幻方——九宫格问题，宁夏卷中利用七巧板“滚小球游戏”求概率，等等。

例3（2022江西卷）：沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图2所示），则长方形的对角线长为（）。

图2

背景赏析：七巧板是一种儿童益智类玩具，由我国古代劳动人民发明并流传至今。它是由一块正方形、五块等腰直角三角形和一块平行四边形组成，这七块板可拼成1600种以上丰富多样的图案，因此也叫“东方魔板”。教学建议：本题教学适合四人小组合作学习。课前准备好一个对角线长为2的正方形硬纸板，并在纸板上画出7个如图2的图形，课堂里小组成员剪下7个图形，重新组成长方形，一起分析这些小图形边之间的数量关系，最后由一个代表汇报正方形和长方形之间边之间的关系，长方形的长是正方形的对角线长为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，教师提问本题运用了四边形的哪些性质，考察学生的观察识图能力和知识迁移能力。

为深化义务教育课程改革，2022年各地中考数学试卷中积极地渗透数学文化试题，很大程度上为数学文化教育融入课堂指引了方向，但“如何让数学文化教育真正融入学生的内心，提升学生的数学文化素养”还是一个急需解决的问题。2022年各地中考题中的数学文化题型几乎都是选择题和填空题为主，形式比较单一。可以尝试一些探究性的大题，这些题型可以深入了解学生的思维过程，使学生真正去理解数学。同时，各地中考题中与数学文化结合的试题内容比较单薄，主要集中出现的还是勾股定理，如赵爽弦图、七巧板、古代算法等题材。因此数学文化与数学中考试题的融合还需要进行一些创造性的变革，使文化内容更加新颖。2022年河北卷“曹冲称象”的数学文化故事、山东济南卷利用我国古代的计时工具漏刻刻画函数问题等，使数学文化在中考题中的渗透变得耳目一新，值得提倡。

三、渗透数学文化试题的教学启示

（一）挖掘教材中的文化素材，欣赏数学之美

各个版本的数学教材，都渗透着数学文化的内容。以浙教版为例，如教材中的“引葭赴岸”中的勾股定理、“丢番图的墓志铭”中的方程问题、“蒙娜丽莎笑脸”中的黄金分割问题、还有七巧板中的拼图问题，都蕴含着几何的定理、方程的思想，体现出数学的应用价值。作为教师，在平时的课堂教学中要重视挖掘教材中文化素材，帮助学生深刻理解教材，拓宽知识面，感受数学文化，培养核心素养。教材中的阅读材料能让学生深切体会到数学文化的博大精深，欣赏到数学的理性之美。

（二）研究渗透数学文化的试题，发展数学思维

数学文化频繁地出现在中考试题中，启示教师重视研究渗透数学文化的试题，引导学生发现试题中的数学文化，总结归类各种数学文化题型的解题方法和思路，帮助学生消除对此类试题的陌生感和恐惧感。对于经典名题，教师可以向学生介绍文化背景，充分挖掘题目中的数学知识，明确试题考查的知识点和数学思想方法，实现会一题、通一类。这些试题的解答需要学生经历观察、理解、建模等思维过程。而教师在课堂教学中深入赏析这些数学文化试题的背景，可以激发学生进一步探究数学的兴趣。“当我们真正把数学文化的魅力渗入教材、达到课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，让大家通过文化层面易于理解数学、喜欢数学、热爱数学。”[4]

（三）组织数学文化活动，培养数学兴趣

著名数学家陈省身教授勉励青少年：数学好玩。但在目前的数学教育下，学生面临大量的数学刷题，无法体会到数学的好玩。“兴趣是最好的老师”，作为教师，有责任唤醒学生对数学的兴趣，给他们提供有趣的数学游戏、智力题、魔术等等。传统的数学文化游戏如数独游戏、24点游戏、七巧板的拼图游戏等，既蕴含着丰富的数学知识，也有很强的趣味性，能够激发学生主动去探究数学问题。有意义的数学文化活动，不仅仅是游戏，也可以推荐学生阅读数学经典名著，如《九章算术》《孙子算经》《算法统宗》等，通过某个数学名题、趣题，或者是数学某个定理发现历程，再有目的地指导学生阅读这些经典名著，从这些名著中了解数学历史、数学家的经历，激发学生探究数学史的兴趣。数学文化活动也包括开辟数学文化兴趣课，进行项目化学习。笔者曾组织九年级学生进行黄金分割的项目化的学习活动，通过让学生动手制作黄金分割的建筑模型，拍摄具有黄金分割美感的照片，讲解黄金分割的“前世”和“今生”，手抄报呈现“黄金分割”在现实生活中的应用，使他们真正走进并接受数学文化，体验数学文化的精髓，促进学生人文素养的提升，体现教育“立德树人，文化育人”的价值。