在计数与记数活动中体会数学思想

卜俊

摘要：认识10以内的数时，学生需要体会到数码思想的简化作用。在此基础上，认识11—20各数是学生理解十进位值制计数（记数）法的关键。教师需要通过现实与历史交融的各种计数与记数活动，帮助学生充分体会整体思想和直观思想的简化作用。具体地，可以设计“数10个以内的商品，体会‘整体计数的进制思想”“数10根以上的小棒，进一步体会‘按十计数的十进制思想”“从现实到历史，了解十进制的来历”“从计数到记数，感悟‘直观表示的位值思想”“估10个以上的事物，感受‘整体比较的思想延伸”等环节。

关键词：小学数学；《认识 11—20各数》；十进位值制

一、教前思考

数是对刻画事物各种属性的量的抽象。“数源于数（shǔ）”［实际上是自然数源于数（shǔ），其他数源于自然数］，是数数的过程（计数）和结果（记数）的辩证统一。数数的本质是一一对应，不断“加1”。數数永无止境，会遇到越来越复杂的情况（大的数），因此需要简化，不能总是“加1”。由此，认识数（及表示数）需要从简单的情况（小的数）开始，通过在现实情境中数数，逐步体会实现简化的计数和记数思想，从而把握数的本质，同时形成数感。

关于数的认识（及表示），苏教版小学数学一年级上册第五单元安排学生认识10以内的数，第九单元安排学生认识11—20各数。认识10以内的数时，学生需要体会到数码思想的简化作用：用数码“1”表示1这个概念后，用不同的数码“2”“3”……“9”，而不用数码“1”的重复记录“11”“111”……“111111111”（古人刻痕、结绳、摆石子、摆小棒等体现的就是这种记数方式）表示2、3……9这些概念。虽然自然数的本质是1的累计，但是，随着数的增大，用不同的数码表示显然比不断“加1”表示要简洁。认识11—20各数（其实包括认识10），学生需要体会到整体思想和直观思想的简化作用：把十看成一个整体，即一个新的计数单位，形成十进制；让不同的计数单位对应不同的空间位置，形成位值制，从而用十位上的数码“1”表示1个十，即10这个概念。虽然用不同的数码表示不同的数具有一定的简洁性，但是，随着数的不断增大，需要的数码也就越来越多，而将一个比较大的数看成一个新的计数单位，让不同的计数单位对应不同的空间位置，则都可以减少数码的使用（其中，计数单位使得比计数单位大的数可以用计数单位和较小的数组合表示，位置表示使得计数单位不需要用专门的数码表示）。可见，认识11—20各数是学生理解十进位值制计数（记数）法的关键，也是学生认识（表示）更大的数的基础。其教学需要通过现实与历史交融的各种计数与记数活动，帮助学生充分体会上述计数与记数思想。

二、教学过程

（一）数10个以内的商品，初步体会“整体计数”的进制思想

师（出示超市场景图）王阿姨在超市做理货员。国庆节到了，有很多货架需要整理，王阿姨请大家来帮忙。不要小看整理货架，这可是非常考验人的工作，我们一起来挑战一下吧！（出示图1）请你数一数这里分别有几颗草莓、几颗樱桃、几根香蕉、几颗葡萄，并说一说你是怎样数的。

生草莓一颗一颗地数，有5颗。

生樱桃两颗两颗地数，有8颗。

生香蕉三根三根地数，有9根。

生葡萄五颗五颗地数，有10颗。

师比较这些数的方法，有什么不同的地方？

生除了一个一个地数，还可以几个几个地数。

师没错！生活中，除了一个一个地数，也就是按个计数，还可以几个几个地数，也就是把几个看成一个整体或者一群，按整体或者按群计数。那么，这样数有什么好处？

生数得比较快。

师不错。对此，相信同学们在刚才数商品的过程中已经体会到了。不过，这样数有什么条件吗？

生要能准确地看出几个。

师是的。不仅要准确，而且要快速地看出几个。也就是说，最好不要数，直接就能看出一个整体或一群中有几个。同时，要把各个整体或各群区分清楚。（指着图1中的樱桃）比如，这两个樱桃和这两个樱桃就区分得很清楚，一下子能看出。

［说明：创设超市理货的情境，激活学生的生活经验。基于学生已经认识的数，引导学生用不同的方式数具有不同摆放特点的多种商品的个数，从中初步体会“整体计数”的进制思想。］

（二）数10根以上的小棒，进一步体会“按十计数”的十进制思想

师（出示图2）还记得我们之前认识10的时候，教材中给出了这样的“想想做做”吗？当时，有同学问：数出10根后，为什么要捆成1捆？现在，你觉得是为什么呢？

生让我们一眼就能看出这是一个整体，这里有10根。

师没错。这样就方便我们数出更大的数了。下面，我们来玩一个拿小棒的游戏，体会一下按捆数的好处。老师给你们的学具盒里，有10根捆成一捆的小棒，也有一根一根散着的小棒。游戏规则：（1）看数字拿相应数量的小棒；（2）拿出来就起立；（3）每次拿小棒限时3秒钟。

（课件出示“3”，所有学生都在3秒钟内拿出3根小棒并起立。课件出示“5”，所有学生都在3秒钟内拿出5根小棒并起立。课件出示“12”，部分学生没在3秒钟内拿出12根小棒。）

师没拿出来的同学遇到了什么麻烦？

生12根太多了，3秒钟太短了，来不及数……

师那我们来听一听成功拿出来的同学是怎么做的。

生只要拿出1捆和2根就可以了。

师你是怎么想到直接拿出1捆的呢？

生因为这里的1捆是10根，12根比10根多2根，所以先拿1捆，再补拿2根，合起来就是12根了。

师很好！有了1捆小棒，拿12根小棒是不是就方便多了？请你再用这样比较方便的方法拿14根小棒吧。

（学生操作，交流反馈。）

師以前，我们是一根一根地数小棒的，计数单位是一。现在，我们一下子数出1捆小棒，计数单位是多少？

生1捆。

师1捆是几根？

生10根。

师所以，计数单位是十。那么，计数单位一和计数单位十之间有什么关系？

生10个一就是1个十。

师（板书：10个一→1个十）现在请你数出10根小棒，捆成1捆，体会10个一和1个十的关系。

（学生数、捆。）

师（出示图3）现在请你说一说12是怎样构成的。

生1个十和2个一合起来是12。

［说明：整体计数是理解十进位值制记数法，认识11-20各数的关键之一，也是本节课的重点内容。在数10个以内的多种商品的基础上，基于学生认识10时将10根小棒捆成1捆的经验，让学生在规定的时间内数出10根以上的小棒，从而充分体会以10为整体（计数单位）计数的特点与优势，初步体会十进制的思想与应用。］

（三）从现实到历史，了解十进制的来历

师通过刚才的数数活动，我们知道：整体计数很重要，尤其是在数比较大的数时。在整体计数时，我们可以把2个、3个、5个、10个乃至其他个数看成一个整体。不过，相比而言，我们更经常把10个看成一个整体。你们能找一找自己生活中遇到的把10个看成一个整体的情况吗？

生我家买的手帕纸，一条里面有10包。

生我买的发卡，一袋里面有10个。

……

师只要留心观察，就会发现，我们身边的“十”有很多。其实，只要比较一下10的写法和0、1、2……9的写法的不同，即不再用新的符号，而是用原有的“1”和“0”组合表示，就能发现：我们在写阿拉伯数字时，也是把10个看成一个整体的，这就是十进制。那么，人们为什么会采用十进制呢？其实，人类历史上采用过很多种进制，如二进制、八进制、十二进制、十六进制、六十进制，有些进制现在还在使用。不过，人类采用得最多的还是十进制。究其原因，我们有10根手指，用手指数数很方便，但数到10个就必须重新再数，慢慢地就习惯把10看成一个整体，采用十进制了。

（出示原始人打猎后数猎物的场景图，引导学生每数1个猎物就伸1根手指，伸完10根手指后就把已经数过的10个猎物捆成1捆，然后数剩下的猎物，重新伸手指。）

［说明：整体计数是简化计数过程的重要思想，但是普遍以10为整体计数，即采用十进制，是与人类生理特点有一定关系的“偶然”选择。重现原始人打猎后数猎物的场景，引导学生经历十进制诞生的过程，充分理解十进制的合理性。］

（四）从计数到记数，感悟“直观表示”的位值思想

师手指只有10根，数数时需要重复使用，所以不太方便把数过的数记录下来，尤其是想统计一段时间内打的猎物的总数时，便需要把每天打的猎物的数量记录下来。对此，可以用什么代替手指？

生小石子、小棒……

师没错，还有刻痕、结绳等方法。这些东西或方式不受数量限制，而且，每数10个也可以凑成一个整体。比如，小石子可以堆成1堆，形成一个整体；小棒可以捆成1捆，形成一个整体。而且，还可以把1堆小石子换成1个大石子，把1捆小棒换成1根大棒。不过，古人慢慢发现，随着数的数越来越大，需要再次把一些整体看成一个更大的整体，那么记录的时候，小石子堆或小棒捆，大石子或大棒，就越来越大，因此材料找起来、用起来都越来越不方便。那么，怎样更方便地记录一与十乃至更大的计数单位呢？

（学生思考。）

师（出示图4）可以用1个大石子表示1个十，用1个小石子表示1个一。但如果没有大石子，或者说两个石子一样大，怎么办？想想我们的计数器或者算盘是怎么做的。

生（恍然大悟）用不同的位置表示不同的计数单位。

师很好！这就是位值制的思想。我们使用的阿拉伯数字也是这么表示计数单位的。（出示数位表）在整数中，从小到大的数位是从右到左依次排列的：第一位是“个位”，个位上的“1”表示1个一；第二位是“十位”，十位上的“1”表示1个十。

［说明：继续沿着历史的脉络，引导学生感受位值制因为记数及其进一步简化的需要而诞生的自然发展过程，初步建立数位的概念，完成十进位值制记数法另一个要点的学习。］

（五）估10个以上的事物，感受“整体比较”的思想延伸

师（出示图5）超市里挂着好吃的虾条。数一数，第一排有多少包虾条？

生（数后）10包。

师猜一猜，第二排有多少包？第三排有多少包？

生第二排比第一排多一点，大约12包；第三排比第二排又多一点，大约15包。

师（出示两摞数学书，一摞10本，另一摞15本）第一摞10本，你估计第二摞大约多少本？

生15本。

师你是怎么估计的？

生第二摞比第一摞高大约一半。

师比画一下，20本大约能摞多高？

（学生比画、交流。）

师（出示图6）先估一估，再数一数。

（学生说出了从9到19的各种答案。）

师为什么现在没有刚才估计得准确了？

生没有10了。

师是的，没有10这个确定的标准了。我们可以先圈出10个草莓。（在课件上操作）现在你能估计了吗？

生不用估计，能看出来了，14个。

……

［说明：认数，不仅要精确地数，而且要大概地估。大概地估有利于进一步发展数感，有着很高的实用价值——现实中，有时更看重做事的效率，而非结果的精确性。同时，精确地数是大概地估的基础。有了相对精确的结果作为参考，估计的结果才更合理和可靠。这里，教师设计一定的参考数量，让学生通过比较，估计其他数量。这不仅能帮助学生学会估计，而且能通过从整体计数到整体比较的拓展，让学生进一步体会整体思想的运用。其中，对棒棒糖的估计，因为没有给出具体情况，所以倒逼学生不能数，只能估。］