例析含参数的一元一次方程问题

文／唐崇明

在平时的学习中，我们经常遇到系数用字母来表示的一元一次方程，这样的方程我们称之为含字母系数的方程，也叫“含参方程”。这类问题题型多变，富有思考性。下面就让我们一起探究此类问题吧！

类型一 利用方程的定义求参数的值

例1已知（k-2）x||k-1=3是关于x的一元一次方程，则k的值为______。

【解析】根据一元一次方程的定义可知：一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不等于0，而且方程必须是整式方程。

解：由题意知解得k=-2。

类型二 利用方程解求参数的值

例2已知关于x的方程3a（x+5）=6x+1无解，求a的值。

【解析】解决本题需先将方程转化为“ax=b”的形式，当a=0且b≠0时，此方程无解。

解：原方程可化为（3a-6）x=1-15a。

解得a=2。

问题拓展已知关于x的方程a（2x+b）=12x+6有无数多个解，求a、b的值。

【解析】参照上题的思路，解决本题需先将方程转化为“ax=b”的形式，当a=0 且b=0时，此方程有无数多个解。

解：原方程可化为（2a-12）x=6-ab。

因为原方程有无数多个解，

类型三 利用两个方程解之间的关系求参数的值

例3已知关于x的方程=x-1与方程3（x-2）=4x-5的解相同，求a的值。

【解析】对于此类两个方程具有相同解的问题，我们一般有如下的两种思路来解决：第一种思路，先将第二个方程解出来，将求得的解代入第一个方程，求出参数a的值；第二种思路，分别将两个方程解出来，由于两个方程具有相同的解，可以得到关于参数a的方程，从而求出a的值。

解法一：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

因为两个方程的解相同，所以，

解法二：解方程3（x-2）=4x-5，得x=-1。

问题拓展两个关于x的方程分别是2（x-1）=3m-1与3x+2=-2（m+1），它们的解互为相反数，求m的值。

【解析】对于此题，我们可以发现两个方程中均含有参数m，同时这两个解互为相反数，因此利用例3 的第二种思路解决此题较为简单。首先分别用含有m的代数式表示出两个方程的解，再根据解互为相反数，可以得到两个解的和为0。

解：解方程2（x-1）=3m-1，得。

解方程3x+2=-2（m+1），得。

因为两个方程的解互为相反数，

解得m=1。

类型四 利用方程的整数解求参数的值

例4已知方程x=6-mx是关于x的一元一次方程，当m取什么整数时，方程的解为正整数？

【解析】此类方程的解为正整数，首先应用含有m的代数式来表示方程的解，然后根据解为正整数以及m为整数这两个条件，可以得知解中的分母是分子的正约数，最后得出m的值。

解：整理方程，得（m+1）x=6，

因为x为正整数，且m为整数，

所以m+1 是6 的正约数，则m+1=1、2、3、6，即m=0、1、2、5。

类型五 利用方程的错解求参数的值

例5小明解关于x的方程去分母时，方程右边的-2 没有乘10，求得的解为，试求出方程正确的解。

【解析】对于此类题型，我们首先要将错解代入写错的方程中，然后求出待定字母的值，再将求得的待定字母的值代入原方程，求出方程正确的解。

总之，在解决含有参数的一元一次方程的相关问题时，同学们需要认真研读题目，把握题意，针对问题的核心，将对应的问题转化为关于参数的方程，最终得出答案。