风险规避零售商基于双向期权的采购管理

2023-01-14罗加蓉

科技和产业 2022年12期

向林，罗加蓉

(西南科技大学经济管理学院，四川绵阳 621010)

随着现代企业竞争的不断加剧，供应链的设计和维护成了企业稳定发展的重中之重。一个设计合理的供应链不仅能降低企业成本，还能提高企业抵御风险的能力，从而提高企业的利润。但是，市场需求以及供给的不确定性，交易合同的多样化以及现货市场价格的波动给供应链的稳定带来了巨大的挑战。经过相当长一段时间的摸索和实践，学者们已经在前述多变的市场环境下建立起了相当完善的理论模型分析体系。然而，传统不确定性环境下的管理模型往往基于期望效用理论(expected utility)构建，该理论认为决策者完全理性且总能获取完美信息和最优计算，并以最大化效用为目标[1]。但大量实验与实证研究表明现实运作中的决策和理论模型之间存在一定偏差。大量学者从公理化建模、行为经济学实验等角度试图修正和完善经典决策模型，以期能建立描述现实个体决策行为的一套理论与方法。于是便催生出一系列能够量化风险规避的供应链决策模型，其中主要包括均值-方差法(mean variance tradeoff)、条件风险价值法(CVaR)以及前景理论(prospect theory)。

Markowitz首先提出了风险投资模型，即均值-方差模型，随后，该方法被用于供应链管理的研究。Giri[2]在产出不确定的条件下，研究了风险规避的零售商在面对一个稳定但价高的供应商以及一个价低但是存在供货风险的供应商时的订购策略，并对相关参数进行了敏感性分析。李波等[3]研究了电子商务下风险规避制造商与风险中性零售商组成的双渠道供应链，并结合渠道偏好分析了风险规避行为对供应链决策的影响。但是由于均值-方差法对于偏离均值的上下偏差予以同等对待，不能很好地刻画决策者地风险规避行为，因此许多学者又选择使用风险价值法(VaR)改良而成的条件风险价值法进行供应链研究。马利军等[4]的研究表明风险厌恶零售商与风险中性制造商的供应链合作博弈存在均衡的批发价格以及订货量以及零售商的讨价还价能力与风险厌恶水平正相关。Luo等[5]在零售商风险规避的前提下，使用回购契约探讨了风险规避对供应链决策和绩效的影响，并使用相应的契约对供应链进行了协调。蔡鑫等[6]的研究表明期权契约能够协调都具有风险偏好的决策者的供应链，并且其协调条件受到双方的风险偏好系数的共同影响。

然而上述方法可能会使模型变得非常复杂，难以求解。前景理论是行为经济学家Kahneman和Tversky基于心理学研究成果提出的，由于其模型的简洁，现已发展成解决不确定性决策领域最具代表性的理论。在产出与需求都不确定的情况下，Du等[7]使用前景理论研究了一个由风险规避的零售商以及制造商组成的二级供应链的协调问题，并对损失厌恶如何影响决策做了说明；同样地，朱宝琳等[8]建立了风险规避零售商在三级供应链中的决策模型，研究表明风险规避程度会对零售商以及供应链的期望利润造成不利影响，并设计了契约对供应链进行协调。而针对信息不对称，Venkataraman等[9]设计了相应的回购契约对风险规避的零售商以及风险中性的供应商组成的二级供应链进行了协调。以上文献都是假设参照利润为零。Liu等[10]对参照利润不为零时的风险规避零售商的相关行为进行了研究并分别就风险厌恶水平以及参照利润进行了敏感性分析。

基于以上分析发现，鲜有学者使用双向期权对风险规避的决策者进行研究。因此，本文以前景理论的期望效用函数为基础，考虑存在现货市场时风险规避的零售商使用双向期权契约的订购决策，研究风险厌恶水平以及相关的期权契约参数对零售商的影响。并通过仿真实验对相关结论进行说明。

1 问题描述与假定

本文的决策主体为面临市场需求不确定性且存在风险规避行为的零售商。不失一般性，假设所生产以及加工出售的都为单一价格产品，且具有交货提前期长、生命周期短等特征，除了供应商为零售商提供零部件之外，还存在可供零售商进行相关交易的现货市场。在该现货市场中，订单之外未被供应商满足的需求，零售商也可以从现货市场购买相应的产品进行出售。

本文考虑零部件供应商向零售商提供期权批发价格契约的同时提供双向期权契约。该双向期权契约赋予零售商在观察到真正的市场需求时向供应商买或卖出的权力。

除此之外，本文对于风险规避的描述使用基于前景理论的分段线性效用函数，即

(1)

式中：π0表示决策者的利润参考点(reference point)，当决策者根据计算得出的利润低于利润参考点时，他就会感觉到损失；λ(λ≥1)表示风险厌恶水平，即当λ越大，则表示决策者的越厌恶损失，则其对期望利润的影响就会越大。一般情况下，当λ=1且π0=0时表示决策者为风险中性。

本文所使用的参数符号及定义见表1。

表1 参数符号及定义

2 零售商的订购决策模型

在得到供应商给出的相关价格信息以及基于自己对于市场的预测之后，零售商可以得出自己的最优购买决策：固定订购量q0以及期权订购量为q1。当被观察到的市场需求x小于(q0-q1)时，零售商会选择执行数量为q1的看跌期权；当市场需求x大于(q0-q1)并且小于q0时，零售商会选择执行数量为(q0-x)的看跌期权；当市场需求x大于q0并且小于(q0+q1)时，零售商会选择执行数量为(x-q0)的看涨期权；当市场需求x大于(q0+q1)时，零售商会选择执行数量为q1的看涨期权，并且会在现货市场补充(x-q0-q1)的零部件。

根据上述信息可知，零售商的利润为

(2)

式(2)右边第1项为零部件的销售收入，第2项为固定购买成本，第3项为双向期权订购成本，第4项为执行看跌期权所获得的收益，第5项为看涨期权的执行成本，最后一项为现货市场购买成本。

将式(2)改写为如下的分段函数形式：

(3)

在对零售商风险规避的分析中，使用最简单的情况，假设零售商的参考利润为0，即π0=0。对该分段函数进行分析可知，各个分段函数均是市场需求x的增函数，且前3个分段函数的最大值均分别与后3个分段函数的最小值相等。由于利润的正负值难以确定，因此分两种情况对零售商的期望效用进行建模。

情形1：r(q0-q1)-ωq0-oq1+epq1≥0，此时可以得到如下的效用函数：

(4)

由前景理论可以得到零售商的期望效用为

(5)

引理1：零售商的期望效用E(q0,q1)是其固定订购量q0以及期权订购量q1的凹函数。

证明：由式(5)可得

epF(q0-q1)-(ec-ep)F(q0)-(p-ec)F(q0+q1)。

同理可得

epF(q0-q1)-(p-ec)F(q0+q1)。

再分别求其二阶导有

(ec-ep)f(q0)-(p-ec)f(q0+q1)-

同理

(p-ec)f(q0+q1)-

(p-ec)f(q0+q1)+

ep(ec-ep)f(q0-q1)f(q0)+

(ec-ep)(p-ec)f(q0)f(q0+q1)+

4ep(p-ec)f(q0-q1)f(q0+q1)+

命题1:在存在现货市场的情况下，风险规避的零售商在批发价格契约以及双向期权契约共存的情况下其最优固定订购量q0*以及最优看涨期权订购量q1*应当同时满足式(6)。

(6)

命题1表示考虑风险规避的零售商在考虑双向期权时，其最优固定订购量q0*以及最优看涨期权订购量q1*都是由损失厌恶水平λ、最终产成品的市场需求分布F(x)、批发价格ω、现货市场价格p、看涨期权执行价格ec、看跌期权执行价格ep以及期权购买价格o共同确定。

情形2：r(q0-q1)-ωq0-oq1+epq1<0，再根据假设2可以得到如下的效用函数：

(7)

由前景理论可以得到零售商的期望效用为

(8)

引理2：零售商的期望效用E(q0,q1)是其固定订购量q0以及期权订购量q1的凹函数。

证明：由式(5)可得

(ec-ep)F(q0)-(p-ec)F(q0+q1)-

同理可得

(p-ec)F(q0+q1)-

再分别求其二阶导有

(ec-ep)f(q0)-(p-ec)f(q0+q1)-

同理

(p-ec)f(q0+q1)-

(p-ec)f(q0+q1)+

λep(ec-ep)f(q0-q1)f(q0)+

(ec-ep)(p-ec)f(q0)f(q0+q1)+

4λep(p-ec)f(q0-q1)f(q0+q1)+

命题2：在存在现货市场的情况下，风险规避的零售商在批发价格契约以及双向期权契约共存的情况下其最优固定订购量q0*以及最优看涨期权订购量q1*应当同时满足式(9)。

(9)

命题2表示考虑风险规避的零售商在考虑双向期权时，其最优固定订购量q0*以及最优看涨期权订购量q1*都是由损失厌恶水平λ、最终产成品的市场需求分布F(x)、批发价格ω、现货市场价格p、看涨期权执行价格ec、看跌期权执行价格ep以及期权购买价格o共同确定。

结合情形1以及情形2可以得出零售商的决策过程：首先将相关数据分别代入两个模型中进行计算，得出相应的最优订购量，再与假设进行对比查看其是否符合假设，若只有一个符合假设，则其为决策依据；若两者都符合假设，则分别计算其最优期望利润，取期望效用最大的订购量组合。

3 算例分析

采用数值分析的方法，通过与风险中性的决策者进行比较，基于不同的契约参数(期权订购价和执行价)的变化，讨论风险厌恶水平以及双向期权对供应商订购决策和期望效用的影响，进而给出相应的管理启示。假设随机需求在[0,2 000]上服从均值为δ=1 000，方差为σd=300的截断正态分布，ω=6，r=10，p=6.5。

3.1 风险厌恶水平对零售商订购量以及期望效用的影响

其余参数设定为：o=0.75，ec=5.7，ep=4.8。保持随机需求的均值与方差不变，使用MATLAB分别考察不同的风险厌恶水平对零售商的最优订购量以及最优期望效用的影响。并根据数据绘制出相应的变化曲线，如图1所示。

图1 不同风险厌恶水平对零售商的影响

图1(a)展示了不同风险厌恶水平对零售商最优订购决策的影响。从图1(a)可以看出，随着零售商风险厌恶水平的增加，其最优固定订购量q0*逐渐减少，而其最优期权购买量q1*逐渐增多。这是因为，由于存在现货市场，零售商对于市场需求超过其订购量的担心低于其订购量大于市场需求的担心，因此，在其他条件一定的情况下，随着风险厌恶水平的增加，零售商会越发担心由于市场需求疲软所造成的供过于求，而固定订购量又是其必须履行的义务，因此零售商会减少其固定订购量转而购买更多的期权。

图1(b)展示了不同风险厌恶水平对零售商最大期望效用的影响。从图1(b)可以看出，对于零售商而言，他的最大期望效用随着风险厌恶水平的增加而减少，且低于风险中性(λ=1)时的最大期望效用。这是因为，风险规避的决策者在决策时会更加注重避免可能发生的损失，从其效用函数可以看出来，其对利润低于0的部分赋予了更高的“权重”，从而导致了其在决策时的不合理，进而最终导致其最大效用的减少。

3.2 期权订购价格对零售商订购量以及期望效用的影响

保持其余参数不变，基于不同的看涨期权订购价格o，使用MATLAB分别考察在不同的风险厌恶水平下期权订购价格对零售商的最优订购量以及最优期望效用的影响。并根据数据绘制出相应的变化曲线，如图2所示。

图2 不同期权订购价格对零售商的影响

图2(a)展示了不同风险厌恶水平下期权订购价格对零售商最优订购量的影响。从图2(a)可以看出，对于零售商而言，不管是风险中性还是风险规避，当期权订购价格增加时，其最优固定订购量q0*略微增加，而其最优期权购买量q1*逐渐减少。这是因为，在其他条件一定的情况下，随着期权订购价格的增加，零售商与期权相关的总成本会增加，为了避免成本增加导致的收益减少，零售商将会减少期权购买量。虽然期权购买量的减少增加了供过于求的风险，但是由于现货市场的存在，零售商只会略微增加固定购买量。

图2(b)展示了不同风险厌恶水平下期权订购价格对零售商最大期望效用的影响。从图2(b)可以看出，对于零售商而言，不管风险厌恶水平如何，其最大期望效用都随着期权订购价格的增加而减少，这说明期权订购价格的增加对零售商是不利的。

3.3 看涨期权执行价格对零售商订购量以及期望效用的影响

保持其余参数不变，基于不同的看涨期权执行价格ec，使用MATLAB分别考察不同的风险厌恶水平下看涨期权执行价格对零售商的最优订购量以及最优期望效用的影响。并根据数据绘制出相应的变化曲线，如图3所示。

图3(a)展示了不同风险厌恶水平下看涨期权执行价格对零售商最优订购量的影响。从图3(a)可以看出，对于零售商而言，不管是风险中性还是风险规避，当期权执行价格增加时，其最优固定订购量q0*都逐渐增加，而其最优期权购买量q1*都逐渐减少。这是因为，在其他条件一定的情况下，随着看涨期权执行价格的增加，零售商的看涨期权的相关总成本会增加，为了避免成本增加导致的收益减少，零售商将会减少期权购买量转而购买更多成本相对较小固定订购。与期权订购价格不同的是零售商的固定订购量增加显著，这是因为零售商所购买的期权为双向期权，还可以行使卖权，而看涨期权执行价格的增加直接影响的是零售商的买权，因此零售商会增加固定订购量的购买。

图3(b)展示了不同风险厌恶水平下看涨期权执行价格对零售商最大期望效用的影响。从图3(b)可以看出，对于零售商而言，不管风险厌恶水平如何，其最大期望效用都随着期权执行价格的增加而减少，这说明期权执行价格的增加对零售商是不利的，这一点与期权订购价格的变化对零售商期望效用的影响相同。

图3 看涨期权执行价格对零售商的影响

3.4 看跌期权执行价格对零售商订购量以及期望效用的影响

保持其余参数不变，基于不同的看跌期权执行价格ep，使用MATLAB分别考察不同的风险厌恶水平下看跌期权执行价格对零售商的最优订购量以及最优期望效用的影响。并根据数据绘制出相应的变化曲线，如图4所示。

图4(a)展示了不同风险厌恶水平下看跌期权执行价格对零售商最优订购量的影响。从图4(a)可以看出，随着看跌期权执行价格的增加，零售商的最优固定订购量q0*会略微增加，而其最优期权购买量q1*几乎不变。这是因为，由于现货市场的存在，零售商在进行采购决策时会充分关注供过于求的风险，因此，看跌期权执行价格的变化并不会导致其订购量发生大的变化。但是看跌期权执行价格的增加意味着供过于求的风险降低，因此零售商会增加固定订购量的购买。

图4(b)展示了不同风险厌恶水平下看跌期权执行市场价格对零售商最大期望效用的影响。从图4(b)可以看出，对于零售商而言，不管其风险厌恶水平如何，其最大期望效用都随着看跌期权执行价格的增加而增加，这说明看跌期权执行价格的增加对于零售商而言是有利的。