1950—1970年代中国数学家的哥德巴赫猜想研究

郭金海

哥德巴赫猜想是解析数论的中心问题之一，由德国数学家哥德巴赫（C. Goldbach， 1690—1764）于1742年在与大数学家欧拉（1707—1783）的通信中提出[1]。当时欧拉刚离开俄国圣彼得堡到了德国柏林，哥德巴赫是在俄国。此前的一段时间内欧拉和哥德巴赫是圣彼得堡科学院的同事和朋友。欧拉回信说他认为这个猜想是正确的，但他不能给出证明。由于欧拉的鼎鼎大名，此后哥德巴赫猜想引起不少数学家的关注和兴趣，尽管如此，直至1920年代才有了一些好的结果。1950年代中期之后，我国数学家王元、潘承洞相继对哥德巴赫猜想的研究取得突破性进展。1966年陈景润做出了更卓越的贡献，1973年发表达到顶峰的论文，获得国际数学界的高度评价。

哥德巴赫猜想是关于正整数和素数之间关系的两个推测，其表述如下：（A）每一个不小于6的偶数都是2个奇素数之和；（B）每一个不小于9的奇数都是3个奇素数之和。猜想（A）被称为关于偶数的哥德巴赫猜想；猜想（B）被称为关于奇数的哥德巴赫猜想。证明（A）的正确性即可推出（B）亦是正确的[1]。

至19世纪末，许多数学家对哥德巴赫猜想进行了研究，但大都是对该猜想进行数值的验证，提出一些简单的关系或一些新的推测，并未得到任何实质性的结果和提出有效的研究方法。1900年，德国大数学家希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，提出了23个他认为最重要的没有解决的数学问题，作为数学研究的主要方向。哥德巴赫猜想是其提出的第8个问题的一部分。然而，此后20年关于哥德巴赫猜想的研究并未取得显著的进展。1921年英国数学家哈代（G. H. Hardy， 1877—1947）在哥本哈根数学会的一次演讲中仍认为，哥德巴赫猜想是没有解决的数学问题中最困难的一个[1]。

不过，由于圆法和筛法的出现，就在哈代演讲后不久，关于哥德巴赫猜想的研究有了一些好的结果。圆法起源于1918年哈代和印度数学家拉马努金（S. Ramanujan， 1887—1920）发表的关于研究组合分析中的渐近公式的论文。此后，哈代和李特尔伍德（J. E. Littlewood， 1885—1977）在一系列论文中发展了堆垒素数论中新的分析方法——圆法。1923—1924年，他们相继发表两篇论文专门讨论哥德巴赫猜想。在1923年发表的论文中，他们证明了如果关于ζ函数零点的广义黎曼猜想正确，那么每个充分大的奇数都可以表示成3个奇素数之和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫（И. М. Виноградов， 1891—1983）利用哈代和李特尔伍德的圆法，以其独创的三角和估计方法无条件地证明了：存在常数B0，每個不小于B0的奇数皆可表示为3个奇素数之和，从而基本证明了哥德巴赫猜想（B）。这个结果通常被称为哥德巴赫—维诺格拉多夫定理[1]。

筛法本是一种用来寻找素数的古老方法，由古希腊学者埃拉托塞尼（Eratosthenes）创造。1920年，挪威的布伦（V. Brun）对埃拉托塞尼筛法做了具有理论价值的改进，并用于研究哥德巴赫猜想（A），他证明了每个充分大的偶数可表为两个各不超过9个素数的乘积之和，即（9， 9）。由此，开辟了利用筛法研究哥德巴赫猜想（A）及其他许多数论问题的极为广阔且富有成果的新途径[1]。

利用布伦筛法，1924年德国的拉德马赫（H. Rademacher）证明了（7， 7）；1932年，英国的埃斯特曼（T. Estermann）证明了（6， 6），还证明了在广义黎曼猜想之下，每一个充分大的偶数可表为一个素数和一个不超过6个素数的乘积之和，记为（1， 6）R；1937年，意大利的里奇（G. Ricci）证明了（5， 7）、（4， 9）、（3， 15）、（2， 366）；1938年，苏联的布赫夕塔布（А. А. Бухштаб）证明了（5， 5）[1]。1939年苏联的塔尔塔科夫斯基（В. А.Тартаковский）、1940年布赫夕塔布相继利用布伦筛法都证明了（4， 4）[1]。1941年，库恩（P. Kuhn）引进加权筛法，后来证明了（a， b），满足a+b≤6 [1]。

1947～1950年，挪威裔美国数学家塞尔伯格（A. Selberg）发表3篇论文，对埃拉托塞尼筛法做了重大改进。他的筛法被称为塞尔伯格筛法[1]。1948年，匈牙利的雷尼（A. Rényi）证明了N=a+b，其中N为大偶数，a的素因子个数为1，b的素因子个数不超过K，K为一绝对常数；其证明结果记为（1， K）。1965年，意大利的邦别里（E. Bombieri）又改进了筛法，给出著名的邦别里中值公式。该公式可以用来证明（1， 3）。与邦别里取得这项成果同年，布赫夕塔布得到了（1， 3）的结果[1]。

1950年代中期，中国数学家开始在哥德巴赫猜想的研究上崭露头角。首先是王元和潘承洞，他们在华罗庚的带领下，均取得了当时领先的成果。

王元（1930—2021），浙江省兰谿县人，专长于数论及其应用。1952年，他毕业于浙江大学数学系，在陈建功和苏步青推荐下，到中国科学院数学研究所工作。1953年冬，该所数论组成立，由所长华罗庚亲自领导两个讨论班。一个是“数论导引”讨论班，另一个是“哥德巴赫猜想”讨论班。每周各进行一次，每次半天。这两个讨论班一直坚持到1956年。数论组成立后，王元即被分配到该组，在华罗庚指导下研究解析数论，并参加这两个讨论班。

“哥德巴赫猜想”讨论班由一个人主讲，华罗庚等则不停地提问题，务必使得每一点都完全弄清楚为止。华罗庚的这种打破砂锅问到底的做法，常常使主讲人讲不下去，长时间站在讲台上思考。这使讨论班进展得很慢，但参加者受益很大，王元自不例外。而且他学习了讨论班上要求研读的夏皮罗（H. N. Shapiro）和瓦尔加（J. Warga）的论文后，对筛法产生很大的兴趣。

1 9 5 4年，波兰数学家库拉托夫斯基（K. Kuratowski）到北京访问，带给华罗庚一些波兰数学家的论文单印本，其中有谢尔宾斯基（W. Sierpinski）和辛哲尔（A. Schingel）关于函数论的论文。华罗庚与王元研究了这些论文后发现，用布伦方法可能得到更强的结果。当天晚上，王元就将布伦筛法用于欧拉函数，改进了他们的结果。此后，华罗庚要求王元想办法改进（4， 4）。于是，王元就致力于筛法与哥德巴赫猜想的研究，认真钻研了布赫夕塔布的论文。

在华罗庚的帮助下，王元于1955年将哥德巴赫猜想的研究结果改进为（3， 4）。1956年，王元的这一研究成果即论文《表大偶数为一个不超过三个素数的乘积及一个不超过四个素数的乘积之和》于《数学学报》发表。在该文中，他结合塞尔伯格筛法和布伦筛法，证明了如下两个定理：（定理1）每一充分大的偶数可表为一个不超过3个素数的乘积及一个不超过4个素数的乘积之和；（定理2）存在无限多个整数n，n为不超过3个素数的乘积，而n+2为不超过4个素数的乘积[2]。王元还用二维筛法，证明在广义黎曼猜想之下，每一个充分大的偶数可表为一个素数和一个不超过4个素数的乘积之和，简记为（1， 4）R。这一成果亦于1956年发表于《数学学报》[3]。这两篇论文的发表标志着中国学者首次在哥德巴赫猜想研究方面取得带有前沿突破性的进展。

1957年，王元又于《科学记录》发表论文《表大偶数为两个殆素数①之和》，将其1955年的结果（3， 4）改进为（3， 3）和（a， b），a+b≤5。他还进一步运用布赫夕塔布的方法和较为复杂的数值计算，证明了（2， 3）[4]。这又将哥德巴赫猜想的研究结果改进一步。

在该文中，王元是通过引入3个引理，證明如下基本定理，得出（2， 3）的结果的：

1960年，王元于《数学学报》发表论文《表整数为素数及殆素数之和（条件结果）》，从进一步改进筛法着手，证明了在广义黎曼猜想之下，每一个充分大的偶数都是一个素数与一个不超过3个素数的乘积之和，简记为（1， 3）R [5]。1962年，王元又将此文修订为《表大整数为素数及殆素数之和》，用英文发表于《中国科学》（Scientia Sinica），在该文附录证明了：每一充分大的偶数都是一个素数及一个不超过4个素数的乘积之和，即（1， 4）[6]，从而哥德巴赫猜想的研究结果再次被改进。

潘承洞（1934—1997），生于江苏省苏州市，专长于解析数论。1952年考入北京大学数学力学系。1956年毕业后留该系工作，次年成为闵嗣鹤的研究生。在闵嗣鹤指导下，潘承洞步入解析数论这一领域。他还曾参加华罗庚在中国科学院数学研究所领导的“哥德巴赫猜想”讨论班，并与陈景润、王元等一起讨论，互相学习和启发。1961年起在山东大学数学系任教。

随后，潘承洞深入研究了哥德巴赫猜想，并于 1961年取得关键性进展。他证明了任意充分大的偶数N可表成p+P，其中p为素数，P为一个不超过5个素因子乘积的殆素数。由此，他关于哥德巴赫猜想的研究得到（1， 5）的结果。1962年，该成果题为《表偶数为素数及殆素数之和》，发表于《数学学报》和《中国科学》 [7，8]。不仅如此，1962—1963年他并利用较简单的筛法证明了充分大的偶数必可表成一个素数及一个不超过4个素数的乘积之和，即（1， 4）；成果题为《表偶数为素数及一个不超过四个素数的乘积之和》，相继发表于《数学学报》和《中国科学》 [9，10]。当时该结果在国际上处于领先水平。

陈景润（1933—1996），生于福建省福州市，专长于解析数论。1949年考入厦门大学数学系，1953年毕业后任教于北京市第四中学，但因对教师这一工作很不适应而被辞退。1955年，厦门大学校长王亚南将其调回该校任教。由于华罗庚的赏识与推荐，他于1957年被调到中国科学院数学研究所任实习研究员。在数学研究所，陈景润的研究工作进展很快。他从研究三角和的估计及其应用入手，对圆内整点问题、除数问题、球内整点问题和华林问题等著名难题均做了重要改进。从1960年代中期开始，他转入筛法及其应用的研究。

1966年，陈景润对哥德巴赫猜想的研究做出突破性进展。该年，他于中国科学院《科学通报》发表论文《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，给出（1， 2）证明的提要。在该文中，他巧妙地引入3个引理：

然而，当时陈景润未给出详细的证明，该成果没有得到国际数学界的承认。随后的7年中，没有其他数学家给出（1， 2）的证明。1973年，陈景润在《中国科学》上发表了（1， 2）的详细证明。他在方法上提出并实现了一种新的加权筛法[12]。该文发表后旋即在国际数学界引起强烈反响，被公认为是一个十分杰出的成果，是对哥德巴赫猜想的重大贡献和筛法理论的卓越运用。不仅如此，他的研究结果被国际数学界称为陈景润定理[1]，迄今为止仍是关于哥德巴赫猜想的最佳结果。

哥德巴赫猜想是世界性难题。1950年代中后期至1970年代，王元、潘承洞和陈景润在这个猜想上相继取得居于世界领先水平的成果，这是中国数学家在解析数论领域的杰出成就，也是1949年中华人民共和国成立以来的重大数学成就之一。华罗庚对哥德巴赫猜想研究起到重要的推动作用，闵嗣鹤从中扮演了积极角色。

在中国数学家对哥德巴赫猜想的研究中，王元最早取得世界领先的成果，其工作对潘承洞和陈景润起到了引领和示范作用。1965年，布赫夕塔布超出中国数学家，得到了（1， 3）的结果，但这个纪录其实只保持了一年，1966年陈景润就得出（1， 2）的结果，并于1973年发表了用筛法对该成果的详细证明。陈景润最终攀上了最高峰，其研究成果最为重要，与哥德巴赫猜想最为接近，在国内外数学界影响最大。1978年，作家徐迟以陈景润为主人公发表了引起轰动的报告文学《哥德巴赫猜想》。这使陈景润成为家喻户晓的人物，对哥德巴赫猜想的继续研究和当时中国广大青年学子追求科学起到推动作用。1982年，王元、潘承洞和陈景润的研究成果集为“哥德巴赫猜想研究”，获国家自然科学奖一等奖。他们获得的这项崇高的学术荣誉，亦对他们的数学研究生涯产生了重要影响。

陈景润、潘承洞、王元相继于1996年、1997年、2021年逝世。王元先生提倡研究中国近现代数学史，对笔者进行过指导和帮助。谨以此文纪念这三位对哥德巴赫猜想做出重要贡献的杰出数学家。

① 殆素數是素因子个数不超过某一确定限的整数。

[1]潘承洞， 潘承彪. 哥德巴赫猜想. 北京： 科学出版社， 1981： 1-15.

[2]王元. 表大偶数为一个不超过三个素数的乘积及一个不超过四个素数的乘积之和. 数学学报， 1956， 6（3）： 500-513.

[3]王元. 表大偶数为一个素数及一个不超过四个素数的乘积之和——广义Riemann猜测下之结果. 数学学报， 1956， 6（4）： 565-582.

[4]王元. 表大偶数为两个殆素数之和. 科学记录， 1957， 新辑1（5）： 15-18.

[5]王元. 表整数为素数及殆素数之和（条件结果）. 数学学报， 1960， 10（2）： 168-181.

[6]Wang Yuan. On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime. Scientia Sinica， 1962， 11（8）： 1033-1054.

[7]潘承洞. 表偶数为素数及殆素数之和. 数学学报， 1962， 12（1）： 95-106.

[8]Пан Чэн-дун （潘承洞） . O представлении четных чиселв виде суммы простого и почти простого числа. Scientia Sinica， 1962， 11（7）： 873-888.

[9]潘承洞. 表偶数为素数及一个不超过四个素数的乘积之和. 山东大学学报， 1962， （2）： 40-62.

[10]Пан Чэн-Дун （潘承洞） . О представлении четныхчисел в виде суммы простого и непревосходящего 4простых проиэведения. Scientia Sinica， 1963， 12（4）： 455-473.

[11]陈景润. 大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和. 科学通报， 1966， 9： 385-386.

[12]陈景润. 大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和. 中国科学， 1973， 3（2）： 111-128.

关键词：哥德巴赫猜想 素数 解析数论 中国数论学家 ■