数形结合思想的教学过程与阶段性表现形态的研究*

王永强 (山东省烟台市经济技术开发区第六初级中学 265602)

1 数形结合思想孕育于“直观形象”，表现为“经验形态”

经验是人类对世界认识的主要泉源，数学语言是对世界进行描述的最基本、也是最重要的语言形式，而数学知识的产生也孕育于人类的生活经验之中.在人类的社会活动中，人们可以通过现实中所存在的客观实物原型或模型的直观形象，认识到世界中的空间形式及其所存在的数量关系.因此，事物的直观形象往往会成为数学思想萌发、孕育的生长点[1]97.数学思想是数学中的一种较为高阶的、理性的认识，它萌芽于我们不断的社会实践之中，并贯穿于数学整体的发展中.数形结合思想是最具有一般性的数学思想，它的萌芽与发展就是以直观形象为基础，以客观事物模型为根源的，因而，在实现与探究数形结合思想发展价值的第一个阶段中，我们应当树立以直观形象的实物为基础的理念，使数形结合思想在学生头脑中得以孕育.综合分析，我们可以将数形结合思想的“直观形象阶段”的形态特征及其表现形态概括为“经验形态”.

在这个过程阶段中，数形结合思想是一种潜在的、待渗透于学生头脑意识中的数学思想，是通过学生不断的经验活动积累并孕育生成的.“直观形象”阶段是学生对数形结合思想认识的开始，也是数形结合思想发展价值实现过程的逻辑起点，是学习者脱离具体内容进行抽象认识的开始，在本阶段中，其大致表现出如下的特点：

较倾向于直观形象，具有经验性以及实验性特征，并且在此过程阶段中，尚不具有严密性的特征，数与形之间的逻辑上的联系也存在一定的不严密性.在数形结合思想的孕育阶段，学生对于数学知识的学习多依赖于现实实物或模型，抽象逻辑思维能力较低，学生思维特征多依赖于直观、形象的具体事物或模型.一般来说，处于“直观形象阶段”的学生多为较低年级的学生群体.这个阶段也是培养和发展学生数学观察能力的前提.因此，在数形结合思想形成的萌芽阶段，应当是学生在观察的基础上，通过对具体直观形象的事物的观察，感知数形结合思想.值得一提的是，在此过程中，教师甚至不用明确告知学生所涉及的具体的数学思想.

例如，在低年级的数学教学中，教授基本的加法，比如在对“9加几”这一节进行学习时，教师一般会运用摆小棒的方法进行教授，其实这就是一种最简单的数形结合思想的渗透案例.当对某一具体运算进行讲解时，如“9+5”，学生很自然地会运用具体实物(小木棒)进行操作，他们会在5个小棒中取出其中一个，从而使得该组木棒的个数剩余4个，然后再移动所取出的1个与另外一组的9个木棒凑在一起，从而凑得个数为10.此时，将新组合的10个木棒再加上另一组剩余的4个，得出此时的结果为14个，然后总结得出“9+5=14”.初中数学中数轴的教学里，也是由形象实物进行引导，让学生加以认识和学习的.

这样，在教学中，虽然未明确点明所涉及的数形结合思想，但在一定程度上培养了学生的数学观察以及直觉感知能力.教师将数形结合思想渗透于学生的数学学习过程中，为数形结合思想的贯彻提供了基础性的保障.同时，对直观形象的事物的运用，也进一步提高了学生的学习兴趣，有利于调动其学习积极性，促进其在对数学思想的感知基础上提升对数学知识的有效学习.

2 数形结合思想贯彻于“学科渗透”，表现为“综合形态”

学科渗透是指将某一学科领域的原理或方法，应用到另一个学科领域中去，从而作出新的发现.[1]103在数学的历史发展长河中，几何学与代数学一直以来都是数学中的两大极为重要的分支，它们两者之间的相互渗透无疑促进了数学的发展.而在这个过程中，两者间相互渗透的形态一般表现为“综合形态”，并具有以下的几点特征：充分地挖掘出代数与几何各自的属性，并调动两者自身的优势，充分发挥数形结合思想表象、表形以及逻辑性、算法性的本质特点，从而促使数学问题的发现，加深学生对数学基本概念的理解、加强数学知识间的联系.

在数学的发展史上，有极为众多的数学分支学科都是在学科之间相互渗透而产生并不断发展起来的.例如，解析几何(又被称为坐标几何)就是在学科的相互渗透中应运而生的，它也是学科渗透中最具代表性的一个数学分支，它是用代数学科思想渗透于几何学科中产生的，是以代数的方法研究几何的问题，解析几何是数形结合思想的最为显著的典型.具体分析就是将平面上的点与实数数对，在直角坐标系的运用中建立彼此对应性的联系，这样就可以利用方程来对曲线的性质进行研究.解析几何的发端要追溯到古希腊时期，阿波罗尼斯在对圆锥曲线进行分析研究时，运用了两条直线对圆锥曲线的性质进行探讨.再后来，古希腊天文学家伊巴古(又译为喜帕恰斯)在分析其研究中出现的几何相关问题时，提出了坐标(经纬度)可以用来确定地球上的某一位置这一观点.而直到14世纪，在法国数学家奥力森的著作中，提出了一种用几何坐标的方法来确定某一点的位置的观点.在17世纪初，格塔拉底对运用代数思想来研究几何问题进行了比较全面的分析，著成《阿波罗尼斯著作的现代阐释》一书，再后来，格塔拉底又进行了更加细致的探讨，最终著成《数学的分析与综合》一书.这些都是学科渗透的具体表现，也为后来解析几何的产生与发展奠定了基础.后来，笛卡尔与费马在总结前人经验的基础上，开拓了解析几何学这一领域，这也是数形结合思想比较有代表性的成果.

因此，数形结合思想的教学与贯彻过程离不开代数学与几何学之间的相互渗透，表现出综合性及一致性的特征，而这也正是与现代数学发展的趋势相一致的，也即高度分化的同时又保持高度的综合性.值得注意的是，在这个阶段中，学生的思维已经具有了一定的抽象性、逻辑性，其头脑中也已经具有了一定活动或经验作为发展的基础.例如，在小学阶段的“线段表示数”就涉及到了最简单的数形结合思想渗透.而在初中教学中，在数形结合思想的贯彻及教学的过程中，也应当是借助于数学史的发展的，因此，代数学与几何学的相互渗透也就成为了初中数学教学中的重要的过程.因而，在初中数学教学中，在对数学新概念教学时，一线教师应当在代数学与几何学的相互渗透中做好对数形结合思想的贯彻工作，而非只是在解题教学时.

例如，在初中数学的教学内容中，在代数学与几何学相互渗透的成果中，在对新概念进行教学时，除了解析几何的相关知识外，最典型的代表就是勾股定理的证明，它是历史上第一个把数与形相联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理[2].而勾股定理也是初中数学教学中运用数形结合思想的极为重要的案例之一.因此，在初中数学教学中，尤其是新概念教学中，对勾股定理内容进行学习，是学生体验数形结合思想较好的案例之一.再比如，在统计学中，我们也可以运用数形结合思想，充分发挥数与形的各自优势，从而使得统计结果更加直观并且具有算法性；在数据分析中，对于SPSS软件的运用，及其通过线性回归分析、相关分析、方差分析等所得到的数据的描述，便是数形结合思想本质的直接反映.在这一教学阶段中，教师要把握好对数形结合思想的贯彻，充分发挥代数学、几何学、统计学等数学学科分支之间的综合性，以培养学生数形结合思想的意识，这无疑是对数形结合思想发展价值实现的一个重要阶段，可为学生的数学应用、数学问题解决打下坚实的基础.

3 数形结合思想巩固于“运用训练”，表现为“演绎形态”

数学思想源自于人类的数学活动，是一种数学实践经验[3].它是一种具体的问题解决方法的一般化思想.简而言之，数学思想的运用训练的过程其实就是问题解决及其归纳的过程，它是将数学思想内化于学生的头脑中，使其表现为一种自动激活的状态并能够灵活运用的重要过程.数形结合思想是中学数学思想中最具有一般性的数学思想，因此，数形结合思想的价值、意义的体现必然最终是以数学活动为载体，并应用于数学问题解决的过程中.而数学运用或问题解决的过程阶段是对数形结合思想一般化的必需条件，在这一过程中，学生需要足够的样例积累才能使数形结合思想发展价值的实现成为可能，也就是说学习者需要将数形结合思想运用于或依托于具体的问题情境中，通过发挥数与形各自的优势，使学生通过数学观察，调动直观思维、形象思维等思维方式得出有效信息，并通过演绎推理等方式使得数学问题得以解决.因此，在运用训练的过程中，将数形结合思想巩固于学习者头脑中，对于建立学生数与形结合的意识、提高学生的数学观察能力、发展学生的思维表达方式、促进学生的演绎推理能力有着重要的价值.这一阶段也是数形结合思想发展价值的实现过程中必不可缺的重要阶段，对学生运用数形结合思想解决具体问题以及提高其数形结合思想运用意识有着重要的价值.

在初中数学教学中，数形结合思想实现中的重要一环是数学运用、问题解决及其归纳的过程.在这个过程中，学习者需要通过对一定数量的相关知识的积累以及相关样例的训练，运用数形结合思想对不同形式的问题或涉及不同学科内容领域的问题进行体验并对问题给以解决，从而得出答案.在这一过程中，学习者通过不断的累积、归纳、演绎推理，使数形结合思想在头脑中得以巩固.学习者对相关内容或对相关问题的解决方式进行训练的过程，也是数形结合思想一般化、模式化的过程，它是将数形结合思想巩固于学习者头脑中的重要阶段，也是促使学生形成远迁移，并将数学思想(尤其是数形结合思想)运用于不同情境中的一个重要因素.

例如，在一元一次方程的学习中，学生经历了其中所涉及的方程思想以及数形结合思想等一般性的数学思想，学生在此过程中对数学思想(尤其是数形结合思想)有了一定的体验，但如果要将数学思想内化于头脑中，并使其呈现一种自动激活的状态，能够在不同的问题情境中灵活应用，仍然需要学生进行一定的运用训练.因而，在学习二元一次方程、一元二次方程、一元二次方程组，尤其是在对一元二次不等式的解法等数学相关内容知识的学习过程中，要加强对数形结合思想的逻辑训练，并在不同的问题中或实践中运用数形结合思想，从而使得数形结合思想在学生的头脑中得以巩固，使学生有意识地运用数形结合思想建立问题中反映的数与形的关系，透过数形结合思想的表形、表象的本质特征，使得学生能运用数学观察，并发挥直觉思维、形象思维，通过逻辑演绎、推理，从而得出问题的解决方案与问题的最终答案.这也是促使数形结合思想的发展价值实现的必要过程.

4 数形结合思想深化于“反思总结”，表现为“一般化形态”

在数学活动中，学习者头脑中对数形结合思想的认识已经有了一定的提高，但是基于数形结合思想的培养与它在数学史上的进程一致的原则，数形结合思想一般化的重点在于学生对数学实践的反思与不断的总结.在数学问题解决之后，学生对数形结合思想经过概括、反思的过程，促使其一般化，使数形结合思想内化于学习者头脑之中.

在学生解决数学问题的过程中，会运用一种或多种数学思想，而促使这些数学思想在其头脑中一般化、程序化的过程正是学生深入理解数学思想的关键所在.简而言之，虽然数学思想形成的重点是在数学活动中实践以及在实际的运用中进行训练，但形成的关键在于对数学活动经验进行总结和概括[3].在数学史上，我们知道在平面直角坐标系创立之前，古希腊数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线性质的探究、天文学家伊巴古对经纬度的规定以及阿拉伯人对三次方程的求解，都是坐标法萌芽的标志.但是，坐标法的成熟或形成则是以后来的笛卡尔与费马为代表的，他们是在对前人成果的实践、反思、概括的基础上，将坐标法程序化、一般化，这样，坐标法才能够得以确立.同样地，牛顿与布莱尼兹在实践之后，在经历反思、总结、概括的基础上将积分思想一般化、模式化后，积分思想才得以产生.积分思想产生的历程与坐标法的形成过程相一致，积分思想的萌芽也是要向前推至古希腊时期以及古代中国，那时候的人们将其用在对某些特殊图形面积以及体积的求解过程，这一过程所用到的其实就是“穷竭法”以及“无穷小的思想”，但在这一时期，人们并没有对它进行总结概括以及反思，也就没有能够使这些思想或者方法一般化.

在数学的学习中，将数学思想深化于学生头脑中，同样也必须要经历一般化、模式化的概括过程.如果学生经历了数学活动或对数学问题的解决之后，而没有经历概括与反思的过程，那么在对具体问题解决时所运用的数学思想也就不能推广到一般，也就是说，不能使这些数学思想一般化、模式化，因此也就不利于迁移的产生.因而，在数学教学或学习中，教师应注意让学生经历对数学活动中所涉及的数学思想(尤其是数形结合思想)的概括这一过程，这一过程是在学生经历了具体数学问题的解决之后进行的，它是经过反思总结而产生的.

数形结合思想是我们在小学数学教学中就开始有所接触的数学思想.例如，在对正方形以及圆形等几何图形的周长、面积进行求解时，就体现出了以“数量”来对图形的属性进行描述的思想.在中学数学学习中，这种数与形间进行沟通的现象更多，最典型的就是数轴和平面直角坐标系的知识内容，两者都是以“数量关系”对图形位置进行刻画的代表；在对距离、面积的探究中，运用的是以数量描述图形度量属性的思想；在相似三角形与全等三角形的学习中，所体现出的是运用角度大小或长度大小来表示图形形状关系的思想；在对函数图象的研究中，所体现出来的是用图形来对数量依存关系进行刻画的典型代表，是数形结合思想的最直接的体现.在这些关于数形结合思想的数学教学内容中，应当注重让学生在认识数形结合思想的基础上，经历数学活动实践或数学问题解决的体验过程，最终要实现数形结合思想的一般化、程序化，还必须经过反思与总结这一过程，这个过程是数形结合思想的贯彻或教学过程中较为关键的一步，也是促使数形结合思想发展价值实现过程中重要的认知操作过程，还是学生对于数形结合思想的认识在头脑中得以深化的重要阶段.