罗茨真空泵偏心大圆弧转子型线设计及分析

2023-01-06李正清李小金杨建斌刘筱文韩仙虎蔡宇宏李晓霞

真空与低温 2022年6期

李正清，李小金，杨建斌，刘筱文，韩仙虎，蔡宇宏，王毅，李晓霞

（兰州空间技术物理研究所，兰州 730000）

0 引言

罗茨泵具有启动快、功耗小、抽速大、效率高、维护费用低等特点，被广泛应用于半导体、冶金、化工、医药等行业中。罗茨泵是一种双转子回转式容积真空泵。工作过程中罗茨泵的一对转子相向转动，将气体由进口端输运至出口端实现抽气，转子在运转过程中相互啮合，以减少气体逆向流动形成的返流。罗茨泵转子型线的啮合设计非常重要，直接关系到真空泵的各项性能指标[1-2]。

常见的转子型线主要分为3类：摆线型、渐开线型和圆弧型[3-11]。在不同的顶圆半径和节圆半径下设计及分析常见转子型线，应用于罗茨泵产品的设计是型线研究的重要内容[3-5]。张帅等[6]应用该方法分析罗茨泵转子外摆线和内摆线，设计了双叶型罗茨泵摆线转子型线；戴映红等[7]采用此方法设计了气冷罗茨真空泵转子的摆线-圆弧型线。上述转子型线的设计均采用几何分析的方法，该方法虽然易于理解，但求解过程复杂，计算分析量大。探索新的转子型线，设计分析新型线的特性是转子型线研究的重要内容之一。标准圆弧型转子型线中，圆弧中心均位于转子型线的对称轴上，形成由圆弧及其共轭曲线共同组成的转子型线[8]。偏心圆弧转子型线由中心位于节圆内的圆弧及顶部密封圆弧构成，能有效提高转子的容积利用率，但在偏心圆弧和顶部密封圆弧间必须采用过渡曲线，使得转子部分位置的间隙偏大[9]。在偏心大圆弧转子型线中，圆弧中心位于节圆内腰部曲线对应的轴上，圆弧半径远大于传统圆弧转子型线半径。本文首先确定转子的偏心大圆弧及对应销齿圆弧，然后应用转子啮合特性，基于偏心大圆弧参数获得其对应的共轭曲线，形成由偏心大圆弧、销齿圆弧及偏心大圆弧共轭曲线构成的光滑连接的转子型线，使得设计及计算过程简化；其次，应用共轭特性，构建基于理论型线的实际型线设计方法，实现转子均匀间隙的设计。最后，以70 L/s抽速的罗茨泵为目标，完成转子型线设计及分析。

1 转子型线分析

如图1所示，罗茨泵转子型线为中心和轴对称曲线，因此仅须求解整个转子型线的1/4即可。偏心大圆弧转子型线中，节圆半径为R1；AE为偏心大圆弧，圆心O1位于x1轴负半轴，半径为R2，F为偏心大圆弧上任一点，半径O1F与节圆相交于D，根据啮合特性，φ角为F点的啮合角；CE为顶部销齿圆弧，圆心位于节圆上P点，半径为R3；腰部曲线AG为偏心大圆弧AE对应的共轭曲线，BG为腰部销齿圆弧，圆心位于节圆上H点，半径为R3；转子的顶圆半径为R4。

图1 罗茨泵偏心大圆弧转子型线Fig.1 Eccentric large arc rotor profile of Roots vacuum pump

1.1 节圆外型线分析

偏心大圆弧转子型线分析如图2所示，连接O1A，在ΔKAH中，AH的长度可表示为：

图2 偏心大圆弧转子型线分析Fig.2 Eccentric large arc rotor profile analyzes

假设O1K的长度为l，则O1H的长度为2R1-l。

在ΔO1AH中，偏心大圆弧AE对应的半径R2由余弦定理可表示为：

圆弧AE的方程可以表示为：

圆弧AE方程中变量α在ΔO1AH中取得最小值，由余弦定理可表示为：

在ΔO1PO中，O1P的长度可以表示为：

顶部圆弧CE是以P点为圆心，以PE为半径的销齿圆弧，因此，销齿圆弧CE的方程可以表示为：

销齿圆弧的半径R3=R2-O1P。由图2可知，方程（7）中自变量γ的最小值为零，在ΔO1PO中可以确定γ的最大值为：

此时转子顶圆半径R4=R1+R3。

应用啮合特性求解转子共轭曲线对应的型线时，须求解转子的啮合角φ，啮合角为啮合点法线O1F与节圆的交点D和转子中心的连线与坐标轴y1的夹角。

在ΔO1DO中，应用正弦定理，β可以表示为：

啮合角φ可以表示为：

1.2 共轭曲线部分

根据罗茨泵转子的啮合特性，共轭曲线的坐标转换关系可表示为[12]：

式中：d为两坐标系原点间的距离即为2个转子中心的距离，由式（11）可确定转子偏心大圆弧AE对应的共轭曲线部分，其中变量φ值由式（10）确定，（x1，y1）值由偏心大圆弧线式（3）确定。如图1所示，共轭方程式（11）确定的共轭曲线位于x2O2y2坐标系中（位于转子2中），需将其平移至转子1中，并逆时针旋转π/2。顶部销齿圆弧与腰部销齿圆弧BG互为共轭曲线，其方程可以表示为：

自变量γ的取值范围为（0，π/2-αmax）。

综上，根据式（3）（7）（11）和（12）便可获得整个转子型线的1/4，然后由转子的轴对称性，获得整个转子的型线。

1.3 转子实际型线

转子理论型线的设计间隙为零，转子在每个啮合点接触。在实际的转子型线设计中，由于加工误差、应力变形以及热变形的存在，必须设计适当的间隙，确保转子的正常运行。因此，分析求解转子的实际型线是转子型线设计的重要组成部分[13]。

实际型线求解可分为几何法和解析法。采用几何法，须具体分析建立每种实际型线与理论型线的参数关系；采用解析法仅须对型线方程进行求导计算便可获得实际型线，该方法适用性广，各种型线的求解步骤相同。基于此，采用解析法分析设计偏心大圆弧转子实际型线。

如图3所示，位于节圆外的任一转子型线AC的参数方程可表示为：

图3 转子理论和实际型线Fig.3 Theoretical and actual profile

设M为型线AC上任一点，过该点转子型线的切线为MN，过M点做切线的垂线，垂线交节圆于D点，设罗茨泵转子间隙为2δ，则对于单个转子实际型线需要在法线方向缩进δ，如图3中，理论型线上M点对应的实际转子型线点为M＇。

设M点的坐标为（x1，y1），则过M点转子理论型线的切线MN的斜率kMN可表示为：

法线MD与切线MN垂直，因此法线斜率与切线斜率的乘积为-1，则法线MD的斜率kMD可表示为：

过M点，法线MD方向的单位向量可以表示为：

由于理论型线和实际型线间的距离为δ，因此根据式（14）～（16），图3中已知理论型线AC对应的实际型线A＇C＇可以表示为：

基于式（15）～（17），采用解析法可获得转子的实际型线。若共轭曲线也采用这种方法，须将已知型线式（13）和啮合角式（10）代入式（11），然后由式（15）～（17）获得实际型线。显然，将式（13）和（10）代入（11）形成的表达式很复杂，不利于实际型线的求解。为了简化求解过程，根据转子共轭啮合特性，可首先将已知曲线AC沿法线向外延长δ，然后求解该段曲线对应的共轭曲线即得到腰部实际型线的对应部分。

如图3所示，将转子理论型线AC部分向外延伸δ得到的曲线A＇＇C＇＇可表示为：

将由式（18）确定的曲线A＇＇C＇＇的参数代入共轭方程式（11），便可获得对应转子2的共轭曲线。根据啮合特性，转子1的型线向外延长，必然导致转子2型线向内收缩δ以保持两者间的啮合关系。然后将其通过平移和旋转移动至转子1中便可获得理论型线AB部分的实际型线A＇B＇。

综上，已知型线方程求解实际型线可分为2步：（1）根据式（16）求解型线法向单位向量；（2）根据式（17）求解实际型线。已知型线方程求解其共轭曲线对应的实际型线可分为3步：（1）根据式（16）求解单位向量；（2）根据式（18）求解向外偏置型线；（3）将由式（18）计算得到的参数代入共轭方程式（11）获得实际型线。

2 转子型线设计

2.1 转子理论型线

按照上述分析步骤，设计罗茨泵产品实际抽速为70 L/s，转速3 000 r/min，有效抽速为几何抽速的75%，转子节圆半径为R1=34 mm，顶圆半径R4取48～48.5 mm，由式（1）（2）和（5）可得R4与l的关系，如式（19）所示。在转子间隙δ=0.1 mm的条件下，分析计算转子偏心大圆弧圆心位置l、半径R2，顶部销齿圆弧半径R3和转子长度lrotor。

转子1/4部分型线的偏心大圆弧AE由式（3）确定，顶部圆弧CE段由式（7）确定，AE对应的共轭曲线部分AG由共轭方程式（11）确定，腰部销齿圆弧由式（12）确定。当顶圆半径R4取不同值时，首先获得转子1/4型线，然后以坐标轴为对称轴将1/4转子型线取对称，即获得整个转子理论型线。最后，由1.3节中依据理论型线求解实际型线的方法获得转子实际型线。如图4所示（图中为了显示清晰，间隙取值为2 mm）。偏心大圆弧圆心位置l，偏心大圆弧半径R2、销齿圆弧半径R3及转子长度lrotor如表1所列。