复杂工况下分数阶永磁同步风力发电机混沌运动的H∞鲁棒控制

杨 莉， 黄天民， 丁菊霞， 魏 伟

(1. 成都信息工程大学 自动化学院，成都 610225； 2. 西南交通大学 电气工程学院，成都 610031；3. 四川农业大学 建筑与城乡规划学院，成都 611830)

随着化石资源的稀少和污染排放的增加，风能等可再生能源在未来几十年将大幅度增长，并在缓解气候变化和实现能源可持续性方面发挥关键作用[1]。相对于双馈风力发电系统[2]，直驱永磁同步风力发电系统因无齿轮箱，从而具有能量损失小、可靠性高、低电压穿越能力强和维护成本低等特点[3]。直驱永磁同步风力发电机组因其低故障率及低维护成本，成为风能资源丰富、设施空间充足、占地面积少、噪声污染少的海上风电场的主要风电机型[4]。但永磁同步电机对系统参数和外部负载扰动非常敏感，Li等[5-6]研究表明在某参数范围或某工作条件下会呈现出混沌振荡行为[7]，主要表现为电机转速或转矩的剧烈振荡、系统不规则的电磁噪声、控制性能不稳定等，进而对电网造成较大冲击。杨国良等[8]首次研究了直驱永磁同步风力发电机组中的混沌现象，并在非线性混沌模型基础上设计出滑模控制器。王磊等[9]针对永磁同步风力发电机组混沌运动，采用(takagi-sugeno，T-S)模糊模型将非线性永磁同步风力发电系统转化为线性子系统，并设计出模糊混沌跟踪控制器有效抑制混沌运动。但是自然界中所有的物理现象都是以分数阶形式存在的[10]，整数阶微分方程只是分数阶微分方程的一个特例。Xue等[11]建立了分数阶永磁同步电机模型，并分析其混沌特性。Yang等[12]针对具有外部扰动的永磁同步风力发电机组混沌问题，采用T-S模糊隶属度规则将非线性分数阶永磁同步风力发电机模型转化为等效线性子模型，并设计出模糊控制器有效抑制混沌运动。

时滞现象[13]是指信号在传输过程中有延迟产生，广泛存在各类实际控制系统中，例如电机系统[14]、电力系统[15]、风力发电系统[16]等。对风力发电系统本质特性认识不足、不熟悉其工作环境或者建模错误，都会使得风能转换系统受到参数或信号传输时滞的影响。时滞将导致风电系统电流波形失真、电压损失或转矩振荡等[17]。

基于上述讨论，本文研究了具有状态时滞和外界负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机混沌状态的稳定性分析与控制器设计问题。针对分数阶永磁同步风力发电机组建立了分数阶T-S模糊混沌模型，并设计出模糊状态记忆的H∞鲁棒控制器。Lyapunov稳定性分析与数值模拟仿真表明，在该控制器作用下，永磁同步风力发电机混沌运动得到有效抑制。研究结果表明对抑制复杂工况运行下的永磁同步风力发电机混沌运动具有较好的理论意义与实用价值。

1 永磁同步风力发电机分数阶T-S模糊模型

1.1 分数阶微积分理论

连续函数f(t)的Caputo型α阶微分定义[18]为

(1)

式中，m-1<α

分数阶非线性系统定义[19]为

(2)

式中，x(0)=x0为初始条件,x(t)=[x1,x2,…,xn]。

1.2 分数阶永磁同步风力发电机混沌模型

根据文献[20]所给出的整数阶模型，可得出气隙均匀的分数阶永磁同步风力发电机混沌模型为

(3)

(4)

1.3 分数阶永磁同步风力发电机T-S模糊混沌模型

将分数阶永磁同步风力发电机非线性混沌模型式(4)转换为式(5)矩阵表达形式

(5)

式中：x(t)和u(t)分别为系统状态变量和控制变量；A和B为系统参数且A=[-1 0 0; 0 -1μ; 0σ-σ]；[x(t)]为系统非线性表达式且有[x(t)]=[x2x3; -x1x3; 0]。

考虑具有状态时滞和外界负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机混沌模型的矢量表达式为

(6)

式中：x(t-τ)和w(t)分别为状态时滞变量和负载扰动变量；Aτ和Bw分别为时滞变量和扰动参数矩阵；z(t)为性能输出变量；C，Cτ和Dw为具有适当维数的实数矩阵。

根据T-S模糊规则，建立分数阶永磁同步风力发电机非线性系统式(6)的模糊混沌模型为

Rulei: Ifx3(t) isMi, Then

(7)

式中：Rulei为第i条模糊规则，i=1,2,…,r，r为模糊规则数；Mi为模糊集合；Bi为控制输入参数矩阵；Ai为系统参数矩阵且有Ai=[-1di0; -di-1μ; 0σ-σ]；di受x3(t)取值影响；Aτi为时滞状态参数矩阵；Ci，Cτi和Dwi为适当维数的实数矩阵。

根据模糊理论，可得出具有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机T-S模糊混沌模型为

(8)

式中，前件变量x3(t)在模糊集合Mi中的隶属度函数为ξi[x3(t)]。

假设有以下公式成立

(9)

则系统式(9)的去模糊混沌模型为

(10)

2 知识准备

为了研究分数阶永磁同步风力发电机模糊混沌模型式(10)稳定性，主要应用以下引理。

引理2对于x(t)∈C1[0,T0]且T0>0，则有

引理3[22]假设存在适当维数的任意向量m和n,则有不等式2mTn≤θmTm+θ-1nTn,∀θ>0成立。

引理4[23](Schur补引理) 如果有适当维数的给定矩阵N，P和Q>0，则有如下两个不等式是等价的。

引理5[24]如果存在连续可微函数向量x(t)，P为正定对称矩阵，则有

(11)

式中，∀α∈(0,1]，∀t≥0。

引理6[25]如果存在适当维数的任意矩阵X和Y，则有以下不等式成立

XTY+YTX<ηXTX+η-1YTY, ∀η>0

(12)

3 模糊记忆状态反馈H∞鲁棒控制器设计

通过PDC(parallel distributed compensation)技术，设计出具有模糊记忆状态的状态反馈H∞鲁棒控制器为

Rulei: Ifx3(t) isMi, Then

u(t)=-Kix(t)-Kτix(t-τ)

(13)

式中：i=1,2,…,r；Ki和Kτi为控制器增益矩阵。

由式(13)可得出系统的全局模糊记忆状态反馈H∞鲁棒控制器为

(14)

将控制律式(14)代入系统式(10)，可得出含有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机闭环模糊控制模型为

(15)

式中：hi=hi[x3(t)]；hj=hj[x3(t)]；Hij=Ai-BiKj；Hτij=Aτi-BiKτj。

定义1假设以下两个条件能同时成立[26]。

(1) 当外部扰动和性能输出为0时，分数阶模糊混沌模型式(15)是全局渐近稳定的。

(2) 在零输入条件下，如果以下不等式成立

式中，对于所有tf>0，γ为任意正实数。

则具有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机闭环模糊混沌模型式(15)是渐近稳定的。

定理1假设存在正定对称矩阵P，任意矩阵Mi和Mτi，任意正实数εi，δτij，δτji和γ，使得以下LMIs(linear matrix inequalities)成立

(16)

和

(17)

即含有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机闭环模糊混沌模型式(15)是渐近稳定的且满足H∞控制性能指标γ。

证明首先证明在外部扰动和性能输出为0时，系统式(15)是渐近稳定的，假设P为正定对称矩阵，构造出Lyapunov函数为

(18)

由引理1可知，以下不等式成立

(19)

从而可知Lyapunov函数式(18)为正定的，根据分数阶微积分理论，求Lyapunov函数V[x(t)]关于时间t的导数为

(20)

令χ=τ+ν，则有

(21)

则又有

(22)

当0<α≤1且t>ν时，有(t-ν)α-1>0，从而可以看出，只要有以下不等式(23)成立

(23)

则含有状态时滞和负载干扰的分数阶永磁同步风力发电机模糊混沌模型式(15)是渐近稳定的。

(24)

其次，再证明分数阶混沌系统式(15)具有H∞鲁棒控制性能指标，有

(25)

因隶属度函数小于等于1和引理3可得

(26)

由式(15)、式(24)和式(26)可得

(27)

式中：Bwij=Bwi+Bwj；Cij=Ci+Cj；Cτij=Cτi+Cτj；Dwij=Dwi+Dwj。

如果式(27)为负定的，则可以看成不等式式(27)左端每一部分都为负定的。

第一，先假设式(27)左端第一部分为负定的，则有

(28)

由引理6可知，当且仅当存在正常实数εi，将Hii和Hτii代入式(28)可等效为

(29)

式中：ϑT(t)=[xT(t),xT(t-τ),wT(t)]；

则有

(30)

对式(30)分别左乘和右乘对角矩阵diag[P-1,P-1,I]，并令Q=P-1，Mi=KiP-1和Mτi=KτiP-1，则有

(31)

由引理4可得，式(31)可等价为式(16)。

第二，再假设式(27)左端第二部分为负定的，则有

(32)

由引理6可知，当且仅当存在正常实数δτij和δτji，将Hii和Hτii代入式(32)可等效为

(33)

式中： ϑT(t)=[xT(t),xT(t-τ),wT(t)]；

则有

(34)

对式(34)分别左乘和右乘对角矩阵diag[P-1,P-1,I]，并令Q=P-1，Mi=KiP-1和Mτi=KτiP-1可得

(35)

其中

由引理4可得，式(35)可等价为式(17)。

如果式(16)和式(17)都成立，则含有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机闭环模糊系统式(15)是渐近稳定的且满足H∞控制性能指标γ。证明完毕。

4 系统仿真

式中：M1,2为模糊集合；A1,2和Aτ1,2为系统参数矩阵；B1,2为控制输入矩阵；Bw1,2为扰动输入矩阵。

当u(t)=0时，可得出具有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机开环模糊混沌模型为

永磁同步风力发电机参数选择如参考杨国良等和王磊等的研究，取系统参数为σ=16，μ=45.92，则有A1=[-1 30 0; -30 -1 45.92; 0 16 -16]，A2=[-1 -30 0; 30 -1 45.92; 0 16 -16]。

假设永磁同步风力发电机转速存在时滞，取延迟τ=0.5，且延迟参数矩阵为Aτ1=Aτ2=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 -1]。

风能随机性使得风力发电机将受到负载扰动影响，并取扰动转矩和负载扰动为Bw1=Bw2=[0; 0; 0.5]，w(t)=sin(2πt)e-0.5t。

取性能输出参数矩阵为C1=C2=[10 10 20]，Cτ1=Cτ2=[1 1 2]和D1=D2=1。

取模糊隶属度函数为

含有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机在无控制作用下的混沌特性，如图1所示。由图1可知，当分数阶次在0.95<α≤1.00，系统存在混沌运动状态，此时风力发电系统是不稳定的，转速和转矩会出现不规则振荡行为。但随着分数阶阶次进入α<0.95时，系统在无控制作用下也能进入稳定运行，从而可以看出分数阶阶次对风力发电系统的混沌特性影响不容忽略。

图1 当u(t)=0时，受扰时滞系统混沌特性Fig.1 Chaotic characteristics without u(t)

为了快速抑制风力发电系统的混沌振荡运动，依据模糊PDC控制技术设计出具有模糊记忆的状态反馈H∞鲁棒控制器为

u(t)=-K1x(t)-Kτ1x(t-τ)；

u(t)=-K2x(t)-Kτ2x(t-τ)。

式中，K1,2和Kτ1,2为控制器参数矩阵。

则模糊控制器总输出可描述为

从而得出具有状态时滞和负载扰动的分数阶永磁同步风力发电机模糊控制模型如下

对q轴电压和发电机转速施加控制量，并取输入参数矩阵为B1=B2=[0;1;1]。系统状态曲线，如图2所示。

图2 系统状态曲线Fig.2 The system state curve

采用所给出的定理1，利用MATLAB软件中的LMIs工具箱可解出具有模糊记忆的状态反馈H∞鲁棒控制器参数矩阵为

K1=[46.104 2,60.979 6,-0.805 8]，
K2=[-41.571 7,67.151 3,-7.126 0]
Kτ1=[0.101 3,0.158 1,-0.010 2]，
Kτ2=[-0.100 5,0.189 1,-0.008 9]

无状态记忆的反馈控制器参数矩阵为K11=[2.178 6,58.564 1,15.868 9]，K22=[-2.178 6,58.564 1,15.868 9]。系统控制曲线，如图3所示。

图3 系统控制曲线Fig.3 The system control curve

由图2和图3可知，在分数阶阶次发生变化、含有状态时滞延迟和外界负载扰动情况下，定理1所推出的控制方法能有效抑制永磁同步风力发电机组中的混沌振荡运动。相对于无状态记忆控制方法，具有状态记忆的模糊H∞鲁棒控制器具有更良好的控制性能。随着分数阶阶次的降低，控制性能更好。

5 结 论

针对含有状态时滞和外界负载扰动情况下的分数阶永磁同步风力发电机组混沌振荡运动行为的控制问题，利用T-S模糊理论与分数阶微积分算法，建立含有状态时滞和负载扰动的分数阶模糊混沌模型，通过PDC控制方法和H∞鲁棒控制算法设计出具有状态记忆的模糊状态反馈H∞鲁棒控制器。利用Lyapunov函数直接法，根据分数阶微积分性质，采用Cauchy矩阵不等式和合同变换，通过LMI形式得出满足H∞控制指标的系统渐近稳定性条件。通过数值模拟仿真可以看出，系统在具有状态时滞、外界随机负载扰动和分数阶阶次变化的复杂运行情况下，通过定理1所推出的模糊记忆H∞鲁棒控制器能使得系统快速摆脱混沌振荡运动，具有良好的控制性能。