揭示数学本质 提升学生素养——对“基本不等式的证明”教学的思考*

黄智华 (江苏省南京市秦淮区教师发展中心 210002)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自四星级重点高中高一普通班，基础较好，有一定的自学能力、推理能力及运算能力，而且已经有了课前预习自学的习惯.

1.2 教材分析

所用教材为苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》.“基本不等式的证明”是第3章第4节的内容，这节内容由“基本不等式的证明”和“基本不等式的应用”两部分组成.基本不等式在后续的学习中是作为定理直接应用的，它在求函数最值、证明不等式方面有广泛的应用，课标要求熟练掌握、灵活运用，所以要让学生经历知识的发生、发展、应用、深化认识和理解的完整过程.基本不等式的证明及简单应用是本节课的重点.

教材给出了证明基本不等式的三种证法，分别是作差比较法、分析法和综合法，并在“思考”中给出了基本不等式的一种几何解释，可以认为是基本不等式的一种几何法证明.几何法证明是从图形的度量关系得到基本不等式，赋予基本不等式以几何直观，这种证明方法需要构造合适的图形，这也成为教学的难点，但它可以突出数形结合的数学思想，通过“数”与“形”两个方面加深学生对基本不等式的理解与掌握.

例1所承载的教学功能是基本不等式的简单应用，用它证明其他不等式，以此熟练掌握基本不等式.在实际教学中，学生延用比较法、分析法、综合法来证明，这符合学生认知规律；不同的证明方法可以活跃学生的思维，发展学生的思维能力.分析、比较各种证明方法，引导学生发现运用基本不等式来证明是最简洁的，它属于综合法证明不等式.必须追问：怎么会想到运用基本不等式来证明的？带领学生一起分析问题的结构特征：不等式左边是两个正数的和，右边是常数，可以看作是左边两个正数(互为倒数)的积，符合基本不等式的本质特征，所以可以直接运用基本不等式来证明.例1有两个小题，要揭示它们本质是一样的，都是求证“一个正数和它的倒数之和大于等于2”.

教学目标 (1)经历基本不等式的探究发现和逻辑论证的过程，体验、感受数学发现和创造的快乐，感知从特殊到一般、化抽象为具体的数学研究方法；

(2)会用作差比较法、分析法和综合法证明基本不等式，发展逻辑推理素养，理解几何法证明基本不等式，领悟数形结合思想，渗透数学文化，发展直观想象、数学建模素养；

(3)能用基本不等式证明其他相关的不等式，能够利用基本不等式求函数最值，突出体现整体换元法；

(4)能让学生从数学角度主动发现问题、提出问题和分析解决问题.

教学重点 基本不等式的证明及简单应用.

教学难点 基本不等式的几何法证明.

2 教学过程

2.1 基本不等式的探究及证明

问题1实数a,b的等差中项和等比中项分别是什么？

说明考虑到教材上的问题情境不太切合实际、学生解决起来有困难，所以教学就从数学内部提出问题引入课题，这更利于教学活动的有效开展，有利于突出教学内容的本质，有利于构建逻辑连贯、前后一致的教学进程，有利于发展学生的认知力.在学生思考问题1时，提出只有a,b同号才有等比中项，培养学生质疑和批判性思维.启发引导学生自己主动提出问题2，培养学生的问题意识.在猜想结论的时候，学生得出了错误的结论，教师便将错就错，让学生经历从错误走向正确的真学习过程，深化了学生对数学本质的认识.

问题3请同学们证明猜想出的结论.

方法1 作差比较法，具体证明过程略.

方法2 分析法，具体证明过程略.

方法4 几何法，通过构造图形来证明.

方法4应该是在学生课前预习自学的基础上给出的.追问学生是怎么想到的？这是本节课的难点.借此介绍“无字证明”，展示中国古代数学的成就，渗透数学史，提升数学文化素养.

2.2 基本不等式的内容及认识

·基本不等式

·两个数学概念

·深化对基本不等式的认识

通过设置以下四个问题深化对基本不等式的认识与理解：(1)基本不等式的文字语言表述是什么？(2)基本不等式成立的条件是什么？(3)基本不等式等号取得的条件是什么？(4)基本不等式所揭示的本质是什么？

一个数学对象通常可以用三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)来描述，三种语言相互支撑、相得益彰，三种语言之间的相互转化可以加深学生对这一数学对象的认识.让学生经历“犯错—寻错—纠错”的探究过程，深化学生对基本不等式成立条件的认识.等号取得的条件是在学生证明过程中加以强化的.基于现在的学生学习了很多数学知识不知道怎么用，什么时候该用、什么情况下能用，提出问题(4).通过学生独立思考、相互交流讨论，得出结论：给出了两个正数的和与积之间的不等关系，这其实也是基本不等式的结构特征.这些认识为学生正确运用基本不等式解决问题奠定了扎实的基础.

行为记录的追踪分析在商业领域已经获得充分地应用，并取得了一定的成果，例如淘宝策划的“双十一”活动就是在对海量用户访问、购买行为记录的分析基础上策划了一次十分成功的营销活动。在这一点上，党校图书馆的信息整合建设也可以吸取经验。例如，党校图书馆可以以中央党校为核心，以各省市党校为分支，以地级市党校为末梢，对我国党校读者的行为记录进行采集、分布式计算以及非结构化的数据挖掘与分析，统计分析不同区域不同层次的党员干部的阅读倾向、知识结构、关心要点、知识漏洞，大数据的数据采集、挖掘、分析能够让党校图书馆更好地进行信息整合建设，为我国党校的教学科研更好地提供服务。[4]

2.3 基本不等式的应用及深化

例1设a,b为正数，证明下列不等式成立：

适度拓展的目的是引起学生对基本不等式成立条件的重视，这是学生今后运用时的易错点.通过拓展训练给学生思考、辨析机会，可以深化学生对所学新知的认识，同时渗透分类讨论、化归转化等数学思想，培养学生思维的严谨性，优化学生的思维品质，发展学生的数学能力，提升学生的数学素养.

2.4 课堂小结

数学知识角度：基本不等式的内容、结构特征、证明方法以及简单应用.

思想方法角度：从特殊到一般进行猜想，然后论证猜想结论，突出数学研究方法；体现化归转化、数形结合、分类讨论等数学思想.

核心素养角度：直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等.

2.5 课后探究及课后作业

课后探究：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗？说明你的结论.

课后作业：教材第98页练习1～2，第101页习题1～2.

3 教学反思

3.1 学生的自学要学到真知识，课堂教学要让学生经历真学习

现在很多的课改提倡“先学后教”“少教多学”，旨在突出学生学习的主体地位.学生的自学是不是真正能学懂，是不是能抓住数学的本质，是否提出有价值的问题，是否能学到数学研究方法、领悟蕴含其中的数学思想，这些都值得关注和研究，课堂教学要让学生经历真学习.

3.2 创设问题情境让学生多角度、多层次认识和巩固新知

其次是让学生自主证明猜想得到的结论，出现了不同的证明方法，特别是几何证明方法的出现，让学生从“数”与“形”两个方面来认识、掌握基本不等式.通过证明，让学生既确信基本不等式是正确的，又学到了数学研究的方法.

再次是设计了四个小问题帮助学生深化对基本不等式的认识，目的是让学生能正确使用基本不等式、弄清楚基本不等式的本质以及能解决什么问题.

最后是讲解例1和变式拓展，加深学生对基本不等式成立条件和本质的认识.

3.3 关注数学思想方法的教学，使教学更富有思想性

本节课的教学有意识地渗透了“化归转化”“分类讨论”“数形结合”“化抽象为具体、从特殊到一般”等数学思想方法，重点突出了“数形结合”的数学思想.

图1 图2 图3

其次，借助学生熟悉的初中知识介绍“无字证明”——通过构造图形来证明数学命题，给出了学生熟悉的公式(a+b)2=a2+2ab+b2的无字证明(图2).

最后让学生从我国古代数学家赵爽给出的“勾股定理”的无字证明(图3)中找出“基本不等式”(这是人教版教材的引入设计)，既培养学生识图能力、整体代换能力，突出基本不等式的几何背景，更提升学生的数学文化素养.

渗透数学思想方法的教学增加了课的内涵，丰富了数学教学的思想性，从而促进了学生思维的深入，其学习就有了深度.数学思想是数学的灵魂，与数学基本方法一起常常在学习掌握数学知识的同时获得，提高数学素养的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用.