把握本质重基础 培育能力提素养——对一道双曲线高考题的解法探究与思考

晏 鸿 (新疆教育科学研究院 830049)

符强如 (新疆乌鲁木齐市实验学校 830026)

2022年新高考数学全国I卷理科第21题秉承熟而不俗、俗中有变、变中有新的风格，注重数学本质和通性通法，彰显了从能力立意向素养导向的过渡，为学生提供了丰富的选择，是一道内涵丰富、解法多样的优质题，也为解析几何教学起到了很好的导向作用，值得一线教师去挖掘和探究.

1 题目呈现

(1)求l的斜率；

此题从问题表述来看，取材平实,表现朴实,题干清晰；从内容上来看，考查直线与双曲线位置关系、直线和双曲线平面图形(三角形)的面积问题.本题看似入手易、解法多，但命题者在多解背后都埋下了“地雷”，让它起到了压轴的功能，使不少学生力不从心，不能顺利完成解题过程.它考查了学生的逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，要求考生需要具备较高的思维能力.

2 解法探究

思路1条件直译——代数法(这是解析几何教学中最常见的方法)

思路2条件转化——代数法

解析几何的拦路虎之一就是繁琐的代数变换，需要较强的运算能力.我们可以在思路1的基础上优化解法，将条件kAP+kAQ=0转化替代.

思路3参数法

运用参数方程能够快速解决圆锥曲线的弦长、范围等问题.

对于参数法解决圆锥曲线问题，也可以从以下视角来解决.

评注 参数法比传统方法具有更大优势，其核心就是减少了变量或参数.此题借助直线参数方程或双曲线相关的参数方程，从两个不同视角解析，利用参数t的意义解题，解法3和解法4视角不同，呈现的解析难度也不同.这也启示我们，变换解题视角去思考能够在一定程度上使解题思路“柳暗花明”，从而大大优化运算.

思路4齐次化联立

圆锥曲线问题中遇到斜率和或积的问题时，可以尝试齐次化联立.

评注 齐次化联立即将直线方程与圆锥曲线方程联立后，利用“1”的代换实现齐次化，可以将题目中涉及的斜率转化成一个一元二次方程的两根，再由一元二次方程的两根关系获取斜率和或积的关系.但是此法一般是在解决圆锥曲线中直线斜率和或积的问题时应用，可以避免繁琐运算，提高解题正确率.

3 启示与思考

3.1 追溯背景

3.2 启示

当今的数学教育发展趋势可以理解为以理解为价值取向、以问题解决为价值取向、以数学探究为价值取向.教师要抓好课堂教学，在重视基础知识和基本技能教学的同时，更要注重提升学生对数学思想方法和数学本质的理解水平.对于此题，学生面对繁琐的步骤及复杂的计算往往都束手无策，容易产生畏难心理.其实“快”思维下数学教学更需要“慢” 艺术，不是单纯将教师个人认为好的数学思想方法短时间内打包发给学生，教师需要在课堂教学中 敢于等待学生，让学生独立思考、自主探索，发挥学生的主观能动性，陪伴学生重走数学知识的形成之路.

波利亚说过，没有任何一道题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做,更重要的是解题后的回顾[1].对于思维量较大或者所谓的“难题”，教师教学中应引导学生思考如何恰当利用题目主干条件、如何优化解题过程、怎样优化代数运算、深入分析和探究；更要积极引导学生进行反思，深度挖掘试题的背景，理清命题者的意图，深刻揭示试题本质，这样才有利于学生夯实基础，将知识系统化、网络化.关注思维以及问题的本质,对于数学问题的把握、揭示和体验都是提升课堂有效性的关键.对于高考压轴题，唯有如此才能居高临下指导学生，培养学生关键能力，发展学生核心素养.

一道经典的问题可以引导启发学生多角度思考.通过不同视角的解题途径，多方位多角度去思考问题，我们可以领略到解析几何与其他知识的综合交汇及其灵活迁移运用.虽然解题方法不同，但核心思想始终围绕着解析几何本质和思想,由特殊到一般地寻找规律，探索解题的通性通法.当然，通性通法必须在数学思想的指引下渗透，而不是同类型题目的简单重复和操练.要积累活动经验，强化思考能力，真正进入深度学习，发展高阶思维，提升数学素养.

高考真题立足基础，传承稳定；在稳定的基础上进行创新，这种创新不是通过一成不变的试题呈现，而是立足教材，对教材中的例题、习题运用稳定的基础知识、经典的基本方法、深化的基本思想进行包装.现阶段，尤其是复习教学，回归教材是正道.回归教材不是简单地阅读教材，不是简单罗列知识、梳理方法，更不是对教学过程的简单重现，而是对学科知识脉络的建构、对教材编者意图的领悟、对教材隐性知识的挖掘、对学科知识本质的把握，在平时教学中指导学生要寻“根”究“本”.唯有如此，学生核心素养方能切实培养.