平行四边形的面积：从否认到确认

□郜舒竹 李娟

小学数学课程中“平行四边形的面积=底×高”这一内容，常见于第三学段（五年级）“多边形的面积”单元的起始课，以第二学段（三年级）“长方形的面积=长×宽”为认知基础。教科书的设计是通过“数方格”和“分、移、补”的活动，让学生直观感知平行四边形面积与相应长方形面积“形异量等”的等价关系，进而利用长方形面积公式得到“平行四边形的面积=底×高”。

这样的安排应当说符合“从已知到未知”的学科逻辑，回答了平行四边形面积公式“是什么”和“为什么是”的问题。在此基础上对公式进行记忆，可以达到利用公式计算平行四边形面积并解决相关问题的目的。但是，如果把课程与教学目标指向学生的认知过程和素养，那么仅有“是什么”和“为什么是”的学科逻辑是不够的，还需要“如何知道并相信”的认知逻辑。

一、承认与否认

人在认识陌生事物的初期处于与自身熟悉的经验建立联系的直觉阶段，熟悉的经验在思维中的存在形式也叫“图式（Schema或Scheme）”。罗马尼亚著名数学教育家、国际数学教育心理学会（PME）创始人菲茨拜因（Efraim Fischbein，1920—1998）的研究表明，图式是影响直觉过程中感知、推理与想象最重要的因素之一［1］。人会无意识地将思维中的图式应用于对陌生事物的认识与理解，这样的应用可能是正面的、积极的，也可能是负面的、消极的。负面的、消极的影响往往表现为面对多种可能性难以取舍的茫然与徘徊。

因此人对“是什么”的承认和确认必然会伴随着对“不是什么”的否认与筛选。同样，对“为什么是”的理解与对“为什么不是”的解释一定是共生、并存的。排除了可能性中的“不是”，才能真正相信并确认“是什么”和“为什么是”。因此对陌生对象的认识，不单纯是接受和承认，还包括对诸多可能性进行枚举、比较和排除的否认过程。

平行四边形面积对小学五年级学生来说，是新的、陌生的认识对象，与之最为接近的经验自然源于长方形的面积。平行四边形与长方形相比较，可以说是异同并存，从形状上看都是四边形，而且具有对边相等且平行等诸多共同的性质。学生在三年级就已经熟悉“长方形的面积=长×宽”，从视觉上看，长与宽是长方形相邻两边及其长度，因此在思维中自然形成的图式是“长方形面积等于相邻两边长度乘积”。如果长方形相邻两边长度分别为3厘米和4厘米，那么面积为“3厘米×4厘米=12厘米2”。这样的图式会无意识地影响到学生对平行四边形面积的认识（如图1）。当面对相邻两边长度分别是3厘米和4厘米的平行四边形时，学生会自然而然地认为面积也是“3厘米×4厘米=12厘米2”。

图1 边长对应相等的长方形与平行四边形示意图

此类直觉认知并不荒谬，也不能视为错误。对于相邻两边长度分别为3厘米和4厘米的长方形（如图2），默认的面积单位为“边长1厘米正方形的面积”，因此运用“行数×列数”得到长方形面积为“3厘米×4厘米=12厘米2”［2］。

图2 长方形面积示意图

同样，如果把相邻两边长度分别为3厘米和4厘米的平行四边形（如图3），按照类似方式等分为12个边长为1厘米的菱形（小平行四边形），并且规定每一个小菱形的面积为“1平方厘米”，那么这个平行四边形面积自然也是“行数×列数”，即“3厘米×4厘米=12厘米2”。

图3 平行四边形面积示意图

学生应用长方形面积认知的经验得到了平行四边形面积是“相邻两边长度乘积”，这就成为与“平行四边形的面积=底×高”不同的另一种可能性，这种可能性不仅合情，而且合理。相信并且承认“平行四边形的面积=底×高”的前提，是对这种可能性的否认。

二、对“相邻边长度乘积”的否认

数学中的演绎推理通常遵循“从给定到确定”的模式，从给定的条件得到确定的结论。平行四边形面积公式如何确定，取决于给定的前提条件，即如何定义面积单位。图2中长方形面积计算中的“1平方厘米”是边长1厘米正方形的面积，图3中平行四边形面积计算中的“1平方厘米”是边长1厘米菱形的面积（如图4）。

图4 面积单位比较示意图

首先需要澄清这两个图形面积是否相等，二者是否具有“形异量等”的等价关系。比较的方法是多样的，比如可以在方格纸中画图或剪纸等。用动态变化的眼光看，这两个图形的关系实质是旋转导致形变，边长1厘米正方形两条竖直的边沿顺时针方向旋转一个角度，边长保持不变，但面积变小了，而且随着旋转的继续，面积会越来越小（如图5）。

图5 正方形旋转为菱形示意图

通过这样的比较活动可以形成两点认识：第一，边长相等的正方形面积与非正方形的菱形面积并不相等，不具有“形异量等”的等价关系。第二，给定正方形边长，那么正方形的形状和大小（面积）随之确定；但给定菱形边长，其形状和大小（面积）不能随之确定。

类似的结论同样适用于长方形与平行四边形的关系，给定长方形相邻两边长度，长方形的形状和大小（面积）随之确定；而给定平行四边形相邻两边长度，其形状和面积不能随之确定（如图6）。

图6 长方形旋转为平行四边形示意图

由此可知，如果采用边长1厘米的菱形面积作为面积单位“1平方厘米”，就会出现“同一名称、所指多样”的歧义现象。通常所说的“单位”可以有两种理解，第一是主观的非标准单位（Nonstandard Unit），第二是客观的标准单位（Standard Unit）［3］。非标准单位具有因人而异的差异性和多样性；标准单位则要求确定性和一致性，确定性指的是时间意义的不变性，一致性指的是空间意义的处处相同。边长1厘米的不同菱形面积未必相等，具有不确定性和不一致性，可以作为具体问题中的非标准单位，但不能成为标准单位。边长1厘米的正方形面积具有“边长相等、大小一致”的确定性和一致性，可以成为标准单位。

通过比较得到的结论是，应当选取边长1厘米的正方形面积作为面积测量的标准单位。用这个统一的标准单位测量长方形和平行四边形面积，就会发现图1中对应边长度相等的长方形和平行四边形面积是不相等的。至此就完成了平行四边形面积公式认识的第一步，否认了“相邻两边长度乘积等于面积”。

接下来需要认识等底等高平行四边形与长方形二者“形异量等”的等价关系，这样的关系具有“边长不等—面积相等”的反直觉特征，表现为“边越长—面越大”或“边越短—面越小”的直觉误解。因此对二者关系的认识，首先不是对相等的承认，而是对不等的否认。

三、对“边越长—面越大”的否认

小学数学教科书中对等底等高平行四边形与长方形二者“形异量等”等价关系认识的主要活动为“分、移、补”，先将平行四边形分割出一个三角形，而后平移到另一侧，补齐成为长方形（如图7）。

图7 教科书中“分、移、补”示意图

这样的设计指向的是特殊的平行四边形面积与相应长方形面积的“相等”和“为什么相等”，并没有指向“边越长—面越大”的直觉误解。同时，教科书中图示的平行四边形的高位于平行四边形内部（以下简称：形内高），对于高位于形外（以下简称：形外高）的情况也未涉及（如图8）。

图8 “形外高”平行四边形与长方形比较示意图

格式塔（Gestalt）心理学创始人之一，著名科学家爱因斯坦的生前好友，德国心理学家韦特海默（Max Wertheimer，1880—1943）在《有效思考》一书中，描述了其在德国小学数学课堂教学中的观察与发现：当学生已经经历了图7中“分、移、补”的过程，得到了“平行四边形的面积=底×高”的结论之后，对于图8中长方形和平行四边形面积的等价关系仍然拒绝接受，认为图8中平行四边形面积大于长方形面积，理由是平行四边形看上去比长方形“更长”，而且无法将左侧平行四边形转化为右侧的长方形［4］。许多研究都表明，像这样“边越长—面越大”的直觉误解是极其普遍的［5］。因此，对平行四边形与长方形二者“形异量等”关系的认识，仅有“分、移、补”的“动态转化”过程是不够的，还需要“静态对比”中的想象与推理。

面对同样的认识对象，动态转化与静态对比的认知过程是不同的：前者是同一对象时间意义上的先后变化，着重于“变与不变”的关系；后者是两个对象构成元素之间的对应，关注的是“相异与相同”的关系。举例来说，图9中两个正方形（实线与虚线），用静态对比的眼光看，是两个不同的对象，表现为空间位置和摆放方式的不同。

图9 静态对比示意图

用动态转化的眼光看，它是同一个正方形旋转运动过程中的不同状态（左侧虚线正方形绕一个顶点旋转成为右侧实线正方形），运动过程中图形的形状、大小保持不变（如图10）。这样的运动实质是在思维中发生的，是一种“想象性运动（Fictive Motion）”［6］。

图10 动态转化示意图

对于图8中的平行四边形和长方形，如果用静态对比的眼光看，是两个形状、位置均不相同的图形。这时如果运用“盈亏互补”的方法，在平行四边形左侧“亏”的部分补上一个直角三角形，长方形右侧补上同样的三角形，可以发现两个组合图形（直角梯形）形状、大小完全相同（如图11）。

图11 “盈亏互补”示意图

应用“等量加（减）等量仍然是等量”的基本事实，立刻可以知道原来的平行四边形和长方形面积具有“形异量等”的等价关系。类似的方法还可以是“无中生有”地想象两个图形之间不存在的梯形是存在的，分别补到平行四边形和长方形上，同样发现两个组合图形（阴影部分）形状、大小完全相同（如图12），因此推理出补之前的长方形与平行四边形面积相等。

图12 阴影部分面积相等示意图

静态对比的认识过程，弥补了动态转化的不足，可以实现对“边越长—面越大”这一误解的否认，认识到边的长度不能成为面积大小的制约因素。在此基础上，使用类似的方法可以进一步意识到决定平行四边形（包括长方形）面积的因素为“宽度”与“高度”，得到“宽度与高度分别相等的平行四边形面积相等”的结论（如图13）。

图13 宽度与高度相等的平行四边形示意图

由此可以认识到“平行四边形的面积=底×高”中的“底”实质是此类图形的宽度，“高”其实是此类图形的高度。给定平行四边形的宽度和高度，虽然平行四边形的形状不能确定，但面积能够确定，这样的认识就成为相信并确认“平行四边形的面积=底×高”的思想基础。

四、“从否认到确认”的教学设计

“从否认到确认”作为一种“如何知道”的认知方式，可以广泛地应用于不同课程内容的教学设计。教学设计实质是依据认知对象对认知过程和认知活动进行的设计。如果把“是什么”视为认知对象，那么认知过程首先是对多种可能性进行比较与选择的认知活动。比较与选择的活动首先不是承认“是什么”，而是对可能性中“不是什么”的否认，在此基础上形成对认知对象“是什么”的承认与确认。这样的认知过程与认知活动可以概括为“枚举—否认—承认—确认”的基本框架。

●枚举：依据学生已有经验枚举“可能是什么”。

●否认：通过对诸多可能性的比较和筛选，得到“不可能是什么”。

●承认：在筛选的基础上承认“应当是什么”。

●确认：在承认的基础上进一步证实并确信“一定是什么”。

这一认知过程所遵循的思维逻辑是“为知是什么，先知不是什么”，强调否认是承认与确认的前提，对“是”的承认与确认需要经历对“不是”的否认。事实上，这样的思维方式在人的日常经验中普遍存在。比如购物时，对某商品产生购买愿望，通常不是立刻付款取货，而是货比三家，“再看看”其他商家的类似商品。“再看看”其实就是枚举可能性的过程，通过对多种可能性的比较，在否认若干可能性后，才会确认应当购买的商品。将这种应用广泛且行之有效的思维逻辑应用于学生的认知过程与活动，无疑对学生认知能力的提升是十分有益的。图14用流程图的形式呈现这样“从否认到确认”的教学设计框架。

图14 “从否认到确认”教学设计框架示意图

“从否认到确认”的教学设计，立足于开放性的认知活动。否认是以多样的可能性为前提，这一过程具有主观的差异性。比如，对于“分数意义”的理解重点是认识分数与单位的关系，不同的单位会得到不同数的表达。举例来看：

●一个半苹果平均分给3人，每人得到多少？

面对这样貌似简单的问题，自然而然的答案是每人分得“半个苹果”或“个苹果”。事实上，这一问题的答案并不确定，存在多种可能性，无论是“半个苹果”还是“个苹果”，是将“一个苹果”看作单位。如果改变看“一”的眼光，这个答案也会随之改变。比如把“两个苹果”看作单位，每人分得的半个苹果就是“两个苹果的”。表1枚举了常见的四种可能性。

表1 “分苹果”问题开放性答案

这些可能性显示出答案的开放性，这样的开放性表现为“同量不同数”，每人分得苹果的“量”是确定的，但表达这个量的“数”是多样的。多样的表达并无对错之分，这就说明否认不是否定，而是依据人的习惯、偏好和需求对诸多可能性进行比较与选择。正如前文中对边长1厘米小菱形面积作为面积单位的否认，并不是否定其成为面积单位的可能性，而是因为其形状、大小的不确定性和不一致性，否认其作为面积测量中的标准单位。事实上，任何平面图形都可以成为比较图形大小的非标准单位。

总之，数学课程与教学应当融入“从否认到确认”的认知活动，让数学学习成为在多种可能性中进行比较和筛选的过程，使学生“用数学的眼光看，用数学的思维想，用数学的语言说”的活动真实地发生，让认知成为真正的“过程”，而不仅仅是走个“过场”。