高考真题展“容颜”，变式拓展三“境界”

内蒙古呼和浩特市第二中学 (010010) 余碧波

1.真题呈现

2.真题破解

故填答案：0(答案不唯一，只要在[0，1]内取值即可)；1.

解法2：(分类讨论法2)由于函数f(x)的最值与函数的单调性相关，可通过考虑0，2为分界点来研究函数f(x)的性质.当a<0时，f(x)=-ax+1，x2时，f(x)=-ax+1，x

综上得a的取值范围是[0，1]，故a的最大值为1.

故填答案：0(答案不唯一，只要在[0，1]内取值即可)；1.

3.变式拓展

(1)变式第一境界——打好基础

(2)当x≤0时，函数y=x3递增且值域为(-∞，a3]；当x>0时，函数y=-3x递减且值域为(-∞，-3a)，当a≥0时，显然a3≥-3a，故存在最大值f(a)=a3，当a<0时，显然-3a>a3，即f(x)无最大值.综上，可得a<0.故填答案：0；(-∞，0).

图1

(2)在同一平面直角坐标系下画出函数y=x3和y=|x2+2x|的图象，如图1所示，由x3=|x2+2x|，解得x=0或x=2，因为函数f(x)的值域为R，由图可知a=0或a≥2.故填答案：R；{a|a=0或a≥2}.

(2)若f(x)有最小值，则实数a的取值范围是.

②当x≤2时，y=-x+3递减，最小值为f(2)=1.当02时，y=logax1时，且x>2时，y=logax>loga2，要使函数有最小值，则必须满足loga2≥1，解得1

(2)变式第二境界——合理巩固

图2

解析：当a=2时，f(4)=3+log24=3+2=5.若该函数的值域是[4，+∞)，故当x≤2时，满足y=-x+6≥4.当x>2时，由y=3+logax≥4，所以logax≥1，若02时，logax<0，不成立；若a>1，函数y=logax为增函数，所以loga2≥1⟺loga2≥loga2⟹1

(3)深层：变式第三境界——全面提升

图3

解析：由题意得f(0)=min{2，b}=b，所以b≤2，即实数b的取值范围为(-∞，2].在同一坐标系中作出函数h(x)=3-|2x+1|及函数g(x)=ax2+b的大致图象，如图3所示，令3-|2x+1|=2，解得x=-1或x=0，结合图象可知，若f(x)最大值为2，则g(-1)=a+b=2.故填答案：(-∞，2]；2.

(1)若函数f(x)在(-∞，1)上有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为； (2)若函数f(x)的最大值为1，则a=.

解析：(1)当x∈(-∞，1)时，y=-x2+ax，求导可得y′=-2x+a，若函数f(x)在(-∞，1)上有且只有一个极值点，则y′=-2x+a=0在(-∞，1)上有解，故a<2.

4.教学启示

通过以上高考真题的三个不同层面的变式拓展，从表层、中层、深层这三个不同层面进行合理的变式拓展，表层是打好基础，中层是合理巩固，深层是全面提升，质疑问难，变式递进，层层推进，在熟练掌握数学知识、思想方法的基础上，获得成功的体验，从而激发、培养良好的质疑与探究思维习惯，形成有效的数学能力，有效激发对问题探究与深入的好奇心，产生新的思考与探究，从而不断提升解题能力、创新能力与探索能力等.