小学数学“数学广角”课堂教学优化策略——以“鸡兔同笼”为例

林聪强

课堂中的教学设计关乎课堂教学活动的有效性，而如何优化教学设计是“数学广角”教学中的重要问题，其有效与否直接影响到学生的学习效果。然而，在实际教学中，尽管很多教师在优化“数学广角”教学设计上花费了大量的精力，但是效果依然不尽如人意。为此，笔者结合自己的研究与实践，从四个方面论述如何有效优化教学设计。

一、讲究沟通联系，避免解法零散

小学数学教材是课堂教学的重要载体，也是教师备课的重要依据。但部分一线教师在研究教材的内容时，过分依赖教材，错误地以为只要简单地把数学知识教一遍即可，机械地进行教学，没有理顺知识点之间的结构关系，导致学生只是囫囵吞枣，并没有吃透知识背后的道理。例如：“鸡兔同笼”问题的解决方法众多，譬如列表法、画图法、假设法。然而很多学生并不知道画图法和假设法有什么共同点，他们错误地以为这是几种不同的方法。在课堂最后串联数学方法的时候，教师一般会先假设，再调整，但是部分学生无法掌握这种方法，因为其学得不够扎实，解法过于零散，没有将知识点进行联系。同时部分学生对于这些方法的关系理解得不够明确，所以一般会把它们当作一个个独立的方法进行解答，而没有建立统一的联系。数学是一个整体，不一样的数学方法之间有着紧密的联系，通过沟通联系知识的本质，可以帮助学生更好地理解解法背后的关联[1]。

人教版教材将“鸡兔同笼”问题从六年级移至四年级是考虑到学生的认知发展水平。教师在教学设计中如果没有充分设计沟通环节，学生就难以感悟到方法间的联系。而且四年级学生的思维正处于发展阶段，由于受到思维深度的限制，学生要在教师的指导下才能更好地实现对知识的加工。如果缺少了教师的正确引导，学生追求知识的渴求可能会被削弱。同时在课堂教学中，有些教师忽视了各种方法间的内在联系，没有进行合理的整合和梳理，对教材中的知识采取简单粗暴的处理方式。这样不但可能会导致学生对知识的掌握不够系统连贯，而且还有可能会造成学生认知结构的混乱。具体表现在：一部分教师在讲解列表法、画图法以及假设法时，只是片面笼统地对这三种方法进行教学，学生只是被动进行吸收；还有一部分教师会详细地对这三种方法进行教学，导致上课时间不够，占用了学生的休息时间，使得学生很疲倦。为了让学生形成完整清晰的知识关联思路，笔者优化教学过程，从学生的角度出发，以列表法为基础，串联画图法，突出假设法，在教学过程中关注鸡兔腿数的等量代换，让学生不断地尝试用鸡换兔，或者是用兔换鸡。接着让学生从已有的腿数变化，过渡到一步跳跃式列表法，建立列表法与画图法之间的相互联系。最后由图表转化为假设法，使得学生清楚地明白每一步计算背后的道理，构建解法之间的联系。笔者在设计过程中注重方法间的联系，关注方法间的精髓，这样学生在后续的实践应用中，就能举一反三。

二、讲究建构模型，避免机械模仿

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，核心素养的主要表现就包括模型意识，它主要是指对数学模型普适性的初步感悟。模型意识有助于开展跨学科主题学习，增强对数学的应用意识，是形成模型观念的经验基础[2]。教师在课堂中要通过建立相关的数学模型来解决数学问题，运用数学的概念与方法解释问题，设计一定的抽象教学过程，把握学生已有的生活经验，实现模型的有效建构。大部分学生在一开始解决“鸡兔同笼”实际问题时，都是直接就开始计算，没有把鸡兔进行区分。当算不出来的时候才猛然想起来需要先找出题目中鸡兔的关系，其在方法的使用上也不懂得根据实际情况进行有效的选择。一些一线教师在教学中也会让学生去找鸡兔的关系，但是并没有让学生明白“鸡兔同笼”问题的根本用意，所以就算学生找到了谁是“鸡”，谁是“兔”，也找不到解题的路径；还有一部分教师在教学中只是机械地让学生记住假设法的计算公式，却没有引导学生厘清为什么鸡兔腿数之差是2，使得学生再遇到其他类型的变式题时就会很茫然。因此，笔者建立“鸡兔同笼”模型，让学生对“鸡兔同笼”的问题模型架构形成清晰的认识，这样学生在解题时才不会出现手足无措的现象，从而使学生建立完整清晰的问题模型，对模型进行一定的固化，也就是要让学生在大量的问题情境中提炼出真正的模型。

基于以上问题，笔者在教学过程中先是从“龟鹤算问题”“货币问题”等不同情境中找出“鸡兔同笼”的初步模型意识，接着巩固模型，最后从“鸡兔同笼”问题延伸到倒扣分类型题，从而建立清晰完整的模型。“鸡兔同笼”课堂教学中的模型构建是本节课的一个重要环节。学生要先理解鸡兔的腿数、头数，明确一只兔子比一只鸡多两条腿。然后开始进行建模，假设全是兔子（鸡），计算假设后的腿数和实际相差多少，多（少）出来的腿数就是多算了的鸡（兔）的腿数，再除以每只兔子比每只鸡多出来的两条腿，结果就是鸡（兔）的腿数。最后让学生用自己的方式来表示，完成整个模型的建构。通过设置问题情境，学生能够进行原型对比、分析联系、提炼本质；通过学习建模，学生能够认识到从问题到模型，再到方法（列表、假设、画图）的逻辑思维。这样一来，学生的头脑中会形成清晰完整的解决“鸡兔同笼”问题的模型，充分体会到虽然问题的情境在变，但本质是不变的，从而提炼出“鸡兔同笼”问题的结构特征和解决问题的一般性策略，有效地构建“鸡兔同笼”问题的模型，渗透模型思想，强化数学建模核心素养的培养。

三、讲究列表推理，避免公式乱用

小学阶段核心素养中的推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。“数学广角”中“鸡兔同笼”教材的编写意图主要是利用例题来引导学生提出对鸡兔的只数和腿数的猜想假设，同时利用画图或者列表的形式进行合理的推理，进而通过调整鸡兔的只数来解决这道实际问题。虽然“鸡兔同笼”问题看起来是比较抽象的，但是在之前的教材中已经有所铺垫，即“租船问题”。

笔者在磨课过程中，时常会遇到学生出现这样的问题，即用26÷2或者26÷4这样两道除法算式，先算出全部是鸡可能有几只，或者全部是兔子可能有几只。一开始计算都是鸡的情况，刚好可以算出整数是13，但是到了计算兔子的情况就不行了，因为结果是有余数的。遇到这样的问题，有的教师就会简单地认为是学生用错了方法，从而直接否定学生的想法。然而实际上26÷2是在尝试假设全是鸡的情况可能有几只，26÷4是在尝试假设全是兔子的情况可能有几只。因此教师要深度剖析学生的思想，只有这样，才能做到因材施教。笔者在教学中为了改变学生的固定思维，先只给定一个条件，即鸡兔的头数是8，那么腿数可能有几种情况？请学生动笔列表计算。当学生在列表过程中明白鸡兔只数之和是8的腿数不同情况有9种时，就能够厘清鸡兔腿数之间的关系，感受不变中的变化，同时明白表格的规律，即增加一只兔子，减少一只鸡，总腿数增加2条。接着再给出另一个条件，即鸡兔的总腿数是18，那么可能有几种情况？让学生再次列表计算，得出鸡兔腿数之和是18的情况有5种。可以先固定兔子的只数，再变化鸡的只数，让学生再次感受不变中有变化，同时明白表格的规律，即增加1只兔子，减少2只鸡，总腿数不变。最后出示题目：鸡兔的只数是8，鸡兔的总腿数是26，那么可能有几种情况？因为学生已经有前面的两个例子做铺垫，所以一些学生很快就能够算出来。学生可以借助单个条件的经验，抓住每只鸡兔腿数分别是2和4的条件，以折中数3来进行尝试，得出鸡兔一样的情况是24条腿。因此第一次尝试用（4，4），这时候会发现腿数少了2条，所以只需要拿1只鸡换1只兔子就可以了。此外，还可以出示另外一组题目：鸡兔的只数是10，鸡兔的总腿数是38，那么可能有几种情况？学生有了前面的列表经验后，自然而然就能发现鸡兔只数一样时总腿数是30。因此第一次尝试用（5，5），这时候发现腿数少了8，所以只需要拿4只鸡换4只兔子就可以了。一些学生认为实际腿数与假设腿数差距较大，所以就考虑都是兔子的情况，那么总腿数就是40，只要把1只兔子换成1只鸡就可以了。通过几次的条件设置，学生已经具备了一定的探究基础，能够初步感知鸡兔只数的变化和腿数的变化。基于此，将计算融入表格，使学生明白利用列表可以进行折中尝试。这样一来，鸡兔的数量关系就显得很清晰，从而让学生体会列表法的妙处，同时明白通过列表推理能清晰地区别假设的前后数量关系的变化过程，进而消除之前的26÷2或者26÷4的定式思维。这样的教学方式可以使学生有效对比方法的不同之处，体会数学思想方法，进而优化教学设计。

四、讲究思想渗透，避免理解浅显

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在阐述理念时指出课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”）。这更加表明数学思想方法在小学数学课堂教学中的重要性。一些教师对教材的理解只是停留在教学上，并没有对教材进行过多的提炼和研究，导致学生对知识的认识只停留在感性层面。笔者建议在课堂教学中要通过表象看到知识的本质，最终把数学思想体现出来。因此一线教师在教学过程中，不能一味地关注基础知识和基本技能的教学，更要让学生在学习中逐步感悟数学知识背后蕴含的数学思想。

“鸡兔同笼”这节课的思想方法有：假设思想、化繁为简思想、数形结合思想、模型思想。在这几种方法中，最难设计的就是化繁为简思想，因为学生在一开始并没有考虑到数据的烦琐，也就没有想到需要对数据进行化繁为简。很多时候课堂上思想方法的渗透只是教师的主观意愿，譬如部分教师会在一开始就对学生说“为了方便研究，我们运用化繁为简的思想”，然而实际上学生并不明白为什么要简化，简化的意义是什么。笔者认为教学应该是教学生之所需，解学生之所惑，让学生真正明白化繁为简的意义。因此笔者在教学过程中会直接给出简化版的“鸡兔同笼”问题，让学生能对数据进行猜想、假设、验证，在课堂的末尾告诉学生：其实我们刚才解决的“鸡兔同笼”是降级版本的，这时候顺势出示《孙子算经》中“鸡兔同笼”的原题，使学生在读题过程中逐渐感悟到数据的大小差别，明白教师的用心良苦。一开始将数据变小，把复杂的问题简单化，能够使化繁为简数学思想潜移默化地深入学生心中。正如日本数学家、教育家米山国藏曾经说过：“学生在学校所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，那种铭刻于头脑的数学精神与数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”[3]“鸡兔同笼”的解决方法是多样的，很多时候教师只是关注到本节课的假设法、画图法、列举法，忽略了化繁为简的数学思想。化繁为简也是一种核心数学思想，一旦掌握了这种思想，复杂问题就能迎刃而解，从而构建清晰稳定的解决问题的认知结构，形成数学核心素养。通过优化“鸡兔同笼”的教学过程，不仅能使学生在解题方法上有所提升，积累一定的解题经验，同时还可以提升其数学思维，使其学会用数学思想方法解决实际问题。因此，思想方法在学生学习生活中的重要性是不言而喻的。教师在设计教学中不仅要让学生掌握必备的基础知识和基本技能，而且还要凸显基本数学思想和基本活动经验的作用。因此，有必要对化繁为简的思想进行进一步优化，最终让学生感悟数学思想方法，积累必要的活动经验。

综上所述，在小学数学“数学广角”的教学实践中，只有不断地优化教学过程，通过沟通联系，深化列表法的运用，才能实现模型的建构，达到思想上的渗透，从而积累活动经验。