求解圆锥曲线相关轨迹方程问题的不同方法应用分析

祝红梅

(菏泽市定陶区第一中学)

在高中数学的学习过程中,圆锥曲线扮演着重要的角色,涉及圆锥曲线的问题既考查基础知识,也对综合能力有一定的要求,应受到学生的重视和关注.与圆锥曲线有关的轨迹方程问题作为一类基础问题,解答的方法和思路灵活多变,需要学生掌握并熟练运用.本文主要介绍求解圆锥曲线相关轨迹方程问题的三种不同方法,并结合具体例题分析各种方法的解题思路与步骤,以便于学生学习与思考.

1 定义法

定义法是常见的一种方法,具体是指分析轨迹运动特点,推断满足特点的曲线类型,再设出曲线的标准方程并结合条件求解基本量.运用该方法求解圆锥曲线的轨迹问题的一般步骤如下.

1)分析题意,根据几何性质找出运动轨迹具备的几何数量关系;

2)凭借几何数量关系推断曲线类型,如椭圆上的动点到两个焦点的距离之和是定值;

3)设出曲线的标准方程式,代入所给条件求出基本参数,从而得到具体的轨迹方程.

2 相关点法

相关点法本质上是建立动点坐标与其他已知点坐标之间的关系式,将动点的坐标代入已知点所在的具体方程式中,得到轨迹方程.相关点法也是解题过程中较为常见的方法,一般解题的步骤如下.

1)假设所求点的坐标为(x,y),结合问题所给条件,找出动点(x,y)与其他点坐标(x0,y0)之间的数量关系式;

2)将(x,y)代入点(x0,y0)对应的方程式中,得到与x,y有关的方程,从而得到问题所求的轨迹方程.

3 参数法

参数法主要是对未知参数进行假设,用假设的参数表示所求的动点坐标x,y,根据给出的条件列出与参数相关的等式,消去参数得到x与y之间的关系式即为问题所求的轨迹方程.运用参数法求解圆锥曲线相关的轨迹方程问题,一般解题步骤如下.

1)分析问题,选择合适的参数进行假设;

2)结合所给条件,分别求出x,y对应的参数表达式,用假设的参数表示动点(x,y);

3)消去参数,运算得到x,y之间的关系式,即问题所求的具体轨迹方程.

通过上述例题分别对定义法、相关点法以及参数法求轨迹方程进行了具体分析,不同解法对应不同的求解思路与步骤,面对不同情形的设问应采取合适的解题方法.尽管方法不同,但求解圆锥曲线的轨迹方程问题都是几何性质与代数运算的综合运用,同时也提醒学生熟悉并掌握常见的几何性质、曲线定义、向量坐标运算等知识.只有熟悉基础知识和基本方法,才能正确高效地求解圆锥曲线相关的轨迹问题.

链接练习

1.已知点A(0,7),B(0,－7),C(12,2),以点C为一个焦点,作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.

2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝x2上异于坐标原点O的两不同动点A,B满足AO⊥BO,求△AOB的重心G的轨迹方程.